第1章 3 弧度制（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数中的弧度制，涵盖概念定义、角度弧度互化、特殊角对应及扇形公式等核心知识点，通过问题链衔接角度制旧知，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于问题驱动与素养导向结合，以单位圆中弧长与圆心角关系探究定义培养数学抽象，通过互化计算和扇形公式应用提升运算与推理能力，例题-跟踪训练-检验闭环设计帮助学生深化理解，为教师提供结构化教学资源。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §3　弧度制 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（三） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 长度等于1 rad 弧度数 弧度 第一章　三角函数 必修第二册 数学 正数 负数 0 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 |α|r 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（三） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念． 2．能进行角度与弧度之间的互化．熟悉特殊角的弧度数． 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题． 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　弧度概念 [问题]　 在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 答：将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． ►知识填空 1．弧度制的定义 在单位圆中，把_______________的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号__________表示，读作弧度．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的__________．这种以________作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 一般地，弧度与实数一一对应．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______． 知识点二　弧度与角度的换算 [问题]　 在单位圆中，圆周角用角度制度量是多少度？用弧度制度量是多少弧度？你能进行角的角度数与弧度数的换算吗？ 答：360°； 2π；即360°＝2π⇔180°＝π， 可以，即1°＝ eq \f(π,180) rad，1 rad＝ eq \f(180,π) . ►知识填空 1．弧度与角度的换算 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) π 知识点三　扇形的弧长和面积公式 ►知识填空 设扇形的半径为r，弧度为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ eq \f(|α|πr,180°) l＝________ 扇形的面积 S＝ eq \f(|α|πr2,360°) S＝_________＝___________ eq \f(1,2) lr eq \f(1,2) |α|r2 [自主检验] 1．下列命题中，假命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的 eq \f(1,360) ，1 rad的角是周角的 eq \f(1,2π) C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案：D 2．1 920°的角化为弧度数为(　　) A． eq \f(16,3) 　　　　　　　 B． eq \f(32,3) C． eq \f(16,3) π D． eq \f(32,3) π 答案：D 3．若α＝－2 rad，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 4．周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为________cm2. 解析：设扇形的半径为r，弧长为l， 由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝9，,l＝r，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝3，)) 所以S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(9,2) (cm2). 答案： eq \f(9,2) 题型一　弧度与角度的换算 [例1]　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； (2) －300°； (3)2; (4)－ eq \f(2π,9) . 解：(1)72°＝72× eq \f(π,180) ＝ eq \f(2π,5) . (2) －300°＝－300× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(5π,3) . (3)2＝2× eq \f(180°,π) ＝ eq \f(360°,π) . (4)－ eq \f(2π,9) ＝－ eq \f(2π,9) × eq \f(180°,π) ＝－40°. [反思感悟] 角度与弧度互化问题的注意点 (1)角度与弧度的互化关系为π rad＝180°，则度数× eq \f(π,180) ＝弧度数，弧度数× eq \f(180°,π) ＝度数． (2)将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用1°＝ eq \f(π,180) rad化为弧度即可． 将下列角度与弧度进行互化： (1)－ eq \f(7π,12) ；(2) eq \f(511,6) π；(3)10°； (4)－855°. 答案：(1)－105°　(2)15 330°　(3) eq \f(π,18) 　(4)－ eq \f(19π,4) 题型二　用弧度制表示终边相同的角 [例2]　把下列各角化成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式，并指出是第几象限角． (1)－1500°； (2) eq \f(23π,6) ；(3) －4. 解： (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋ eq \f(5π,3) ，是第四象限角． (2)∵ eq \f(23π,6) ＝2π＋ eq \f(11π,6) ， ∴ eq \f(23π,6) 与 eq \f(11π,6) 终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)， eq \f(π,2) <2π－4<π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [反思感悟] 1．弧度制下与角α终边相同角的表示 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α，k∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用，单位要统一． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域范围内的角． (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋k·360°，k∈Z)))) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))) (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合． 解析：(1)选D　150°＝150× eq \f(π,180) ＝ eq \f(5π,6) ， 故与150°角终边相同的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))) . (2)终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即θ＝ eq \f(3π,4) ＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即θ＝－ eq \f(π,6) ＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分的角θ的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ≤θ≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))) . 题型三　扇形的弧长与面积公式的应用 [例3]　如图，扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的圆心角及弦AB的长． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm， 依题意有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝8，　 ①，,\f(1,2)l·r＝4　 ②，)) 由①②得r＝2，l＝4，∴θ＝ eq \f(l,r) ＝2. 过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA， 又∠BOA＝2 rad， ∴∠BOC＝1 rad， ∴BC＝OB·sin 1＝2sin 1(cm)， ∴AB＝2BC＝4sin 1(cm). 故所求扇形的圆心角为2 rad，弦AB的长为4sin 1 cm. [反思感悟] 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ eq \f(1,2) lR＝ eq \f(1,2) αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积． 解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， ∵216°＝216× eq \f(π,180) ＝ eq \f(6π,5) ， ∴l＝α·r＝ eq \f(6π,5) r＝30π，解得r＝25， ∴S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) ×30π×25＝375π. [课堂小结] 1．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知： 度数× eq \f(π,180) rad＝弧度数，弧度数× eq \f(180°,π) ＝度数． 2．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度． $