6.5正态分布课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦正态分布，系统讲解其概念、性质及3σ原则，通过产品寿命直方图细分的情景导入，衔接离散型随机变量知识，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和直观图示培养数学眼光，通过性质推导和3σ原则应用发展数学思维，结合质量控制实例强化数学语言表达。典例分层设计助学生掌握概率计算，教师可借清晰逻辑与实例提升教学效果。

§5 第六章 第 六 章：概 率 正 态 分 布 1.通过实例了解正态分布密度曲线及其特点，体现逻辑推理能力（重点） 2.理解正态分布的意义，并且会用图象和函数的观点分析随机变量的分布情况，体会正态分布在实际应用中的广泛性，体现数学计算能力（重难点） 学习目标 前面讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一一列举的．但在实际问题中，还有许多随机变量可以取某一区间中的所有值．例如： 1.某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取区间(0,+∞)内的所有值． 2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量，它可以取区间[0,b]或[0,+∞)内的所有值． 怎样描述这样的随机变量的分布情况呢? 情景导入 设X表示某产品的寿命(单位： h).假设人们对该产品有如下了解：寿命小于500h的概率为0.71，寿命在500h~800h的概率为0.22，寿命在800h~1000h的概率为0.07，如何用直观的方式呈现其概率分布? 可以用直方图表示概率分布，如下图． 这个直方图的缺点是比较粗糙，没有告诉我们寿命在200h~400h的概率是多少？ 情景导入 2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量，它可以取区间[0,b]或[0,+∞)内的所有值． 继续细分：假设人们对该产品有进一步的了解：寿命在0~200h的概率为0.2，寿命在200h~400h的概率为0.32，寿命在400h~600h的概率为0.25，寿命在600h~800h的概率为0.16，寿命在800h~1000h的概率为0.07，如何用直观的方式呈现其概率分布？ 可以用直方图表示概率分布，如下图． 情景导入 ...... 继续细分 那么，什么曲线可以更好表示概率分布呢？ 为了完全了解产品寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数，记为f(x)． 情景导入 X取值于区间(a,b]的概率是该曲线下相应“曲边梯形”(如下图中的阴影部分)的面积． 若将组距无限细分，一般是形状像“钟”的 光滑曲线，叫正态曲线 人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量。 最常见的连续型随机变量是由误差引起的。如图中的分布密度的图象： 1.误差在0附近的概率大，远离0的概率小，误差大于0的概率与小于0的概率相同，即误差分析具有对称性 2.连续随机变量X的分布密度函数曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线 探索新知 一、连续型随机变量 1.定义：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图, 对应的分布密度函数解析式为 其中实数μ,σ(σ>0)为参数, 这一类随机变量X的分布密度 (函数) 称为正态分布密度 (函数), 简称正态分布, 对应的图象为正态分布密度曲线, 简称为正态曲线. 探索新知 二、正态分布 2.特点： 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，也称误差模型，其特点如下： ① 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何一个实数a,b(a<b)，随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度函数在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值. ② 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记作X~N(μ,σ2),其中EX=μ,DX=σ2. 探索新知 二、正态分布 a b 3.性质 (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；(非负性) (2)曲线是单峰的，关于直线x=μ对称；(对称性) (3)曲线的最高点位于x=μ处；(集中性) (4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．(单调性) 探索新知 二、正态分布 （5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移. 参数μ的含义：参数μ反映了随机变量取值的平均水平． μ （6）当μ一定时，曲线的形状σ由确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． 正态分布随机变量X在区间(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率为阴影部分面积. 3.性质 探索新知 二、正态分布 典例讲解 例1：根据正态曲线的函数解析式，找出其均值μ和方差σ。 ， ， μ=0, σ=1 μ=1, σ= 变式训练： 已知一个正态曲线如图所示，试根据该图象写出对应正态分布 密度函数的解析式，并求其均值和方差. 解： 从给出的正态曲线可知，，最大值是 ， 所以，由得 ， 解析式为， ， 均值，方差 . 典例讲解 例2(多选题)已知三个正态分布密度函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ). AD A. B. C. D. 解：根据正态曲线关于直线 对称知， 越大，曲线越靠近右边， ，故B，C错误；又 越小数据越集中，曲线越“高瘦”， ，故A，D正确.故选 4.3σ原则的概念 P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974, 因此，随机变量X在区间(μ-σ,μ+σ]，(μ-2σ,μ+2σ]，(μ-3σ,μ+3σ]上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%. 探索新知 二、正态分布 而随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ]外取值概率只有约0.3%，通常认为这种情况在一次试验中不可能发生.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布X~N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的值，并称之为3σ原则. 例3:某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为：μ=500g，σ=lg．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理? 解：检查员是有道理的，理由如下: 当该设备正常运行，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500 g，σ=1 g，所以根据正态分布的性质可知产品的质量在区间(μ-3σ,μ+3σ]，即(497,503]之间的概率约为99.7%，而产品的质量超出这个范围的概只有0.3%，这是一个几乎不可能发生的事件． 典例讲解 但是，检查员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的． 深度思考：上面的例子反映了质量控制的基本思想，那么什么是质量控制呢？ 在产品生产过程中，假设生产过程是稳定的，则产品质量指标X~N(μ,σ2)． 当生产正常时，产品质量指标观测值应在区间(μ-3σ,μ+3σ]内，而一旦观测值取值于区间(μ-3σ,μ+3σ]外，则属于小概率事件，由小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的原理，我们有理由拒绝“生产过程稳定”的假设，即认为生产过程的稳定性遭到破坏，须采取措施，以确保生产正常进行，此即为质量控制的基本思想，其实质是一个假设检验问题． 在产品质量处于稳定的条件下，可利用质量控制及时发现问题，在生产实践中，通常使用既直观又简单的控制图去实施质量控制． 典例讲解 典例讲解 例4 设 ，试求： （1）；（2）；（3） . 其中 ； ； . （2）∵ ， ∴ . 解：（1） 因为，所以， . （1） . . 典例讲解 （3） . 典例讲解 方法总结 对于正态分布，求在某个区间内取值的概率的方法 （1）利用<m></m>落在区间<m></m>，<m></m>内 的概率分别是<m></m>，<m></m>，<m></m>求解. （2）充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解： ①熟记正态曲线关于直线<m></m> 对称，从而在关于直线<m></m> 对称的区间上 概率相等； <m></m>，<m></m>. 巩固训练：某厂包装白糖的生产线正常情况下包装出来的白糖质量(单位： ) 服从正态分布 . （1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，其质量小于 的概率约为多少. （保留四位有效数字） （2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于 , 检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修.检测员 的判断是否合理？请说明理由.（概率小于 视为不可能事件） 参考数据：若，则 ， ， . 典例讲解 典例讲解 [解析] （1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖的质量为 ， 由题意可知. 因为，所以根据正态分布的对称性与 原则可知 . （2）检测员的判断是合理的.理由如下：如果生产线不出现异常的话， 由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为 ，概率小于 ，为不可能事件， 但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常， 因此检测员的判断是合理的 课堂检测 1.已知正态曲线 ，则( ). C A.， B.， C.， D.， 2.设随机变量，且，则 ( ). D A.0 B. C. D. 3. 若随机变量，且，则 ( ). D A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.34 4. 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布 ，规定低于60分为不及格. （1）成绩不及格的人数占总人数的比重是多少？ （2）成绩在 分的学生占总人数的比重是多少？ 课堂检测 [解析] （1）设学生的得分为随机变量，则，其中， . 成绩在分的学生人数的概率 ， ， 即成绩不及格的学生人数约占总人数的 . （2） ， ， 即成绩在分的学生约占总人数的 4. 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布 ，规定低于60分为不及格. （1）成绩不及格的人数占总人数的比重是多少？ （2）成绩在 分的学生占总人数的比重是多少？ $