数学一模突破卷01（天津专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．对于实数 ，“” 是 “ ”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 4．已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．－12 B．－13 C． D． 5．已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 6．已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （    ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越弱 D．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 9．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为 ． 11．在的展开式中，的系数为 ． 12．已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 13．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 14．已知 ， ，若点 为 中点，则 在 上的投影向量为 (用 与 表示); 建立平面直角坐标系，若 为坐标原点， ，则 等于 . 15．关于函数，给出下列三个结论： ①是奇函数； ②0是的极值点； ③在上有且仅有1个零点； 其中，所有正确结论的序号为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求； (2)求； (3)求的值． 17．（15分） 如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.   (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（15分）已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（15分）已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； (3)若对于恒成立，求实数m的取值范围． 20．（16分）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)时，对于，不等式成立，求实数的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．对于实数 ，“” 是 “ ”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 4．已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．－12 B．－13 C． D． 5．已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 6．已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （    ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越弱 D．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 9．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为 ． 11．在的展开式中，的系数为 ． 12．已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 13．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 14．已知 ， ，若点 为 中点，则 在 上的投影向量为 (用 与 表示); 建立平面直角坐标系，若 为坐标原点， ，则 等于 . 15．关于函数，给出下列三个结论： ①是奇函数； ②0是的极值点； ③在上有且仅有1个零点； 其中，所有正确结论的序号为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求； (2)求； (3)求的值． 17．（15分） 如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.   (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（15分）已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（15分）已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； (3)若对于恒成立，求实数m的取值范围． 20．（16分）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)时，对于，不等式成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 由，得，又， 所以. 故选：C. 2．对于实数 ，“” 是 “ ”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由可得且； 因此可得“且”可以推出“”，反之则不成立； 所以“” 是 “ ”的必要且不充分条件. 故选：B 3．过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 4．已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．－12 B．－13 C． D． 【答案】C 【详解】设该等差数列的公差为， 则由题意得，解得， 则. 故选：C. 5．已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】 ，由，得， 即，当时， ， 画出图象，如图，由图可知，在上单调递减， 所以，当时，． 故选： 6．已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数图象可知关于原点对称，所以是奇函数. 对于，，，故错误； 对于,，当时，，与图象不符，故错误； 对于，，当，与图象不符，故错误； 故选： 7．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越弱 D．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 【答案】A 【详解】A：若，正态分布曲线关于对称. 表示在左侧的概率，表示在右侧的概率， 根据对称性，二者相等，A正确； B：，正态分布曲线关于对称，所以. ，正态分布曲线关于对称，所以. 因此，B错误； C：相关系数越接近1，变量间的线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，C错误； D：将数据排序：7，8，8，9，11，13，15，17，20，22（共10个数据） 计算指数，因此第80百分位数为，D错误. 故选：A. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 9．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 【答案】D 【详解】 把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为 选项A，正八面体的体积，设四棱锥的高为， 则，所以，A错误； 选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误； 选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故， 所以外接球体积，C错误； 选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，， 所以所以内切球表面积为.D正确. 故选：D. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为 ． 【答案】 【详解】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 11．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】由二项式定理得，二项式的展开式的通项如下， 为，其中， 令，可得，所以的系数. 故答案为：. 12．已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为 ． 【答案】 【详解】依题意，圆的方程为， 所以，所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离为 或（舍去）. 故答案为： 13．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 【答案】 【详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：， ，， ，，共种， 第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率. 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为， 质点4次运动，共有种情况， 当X=0时，，共有1种情况，则， 当X=1时，， ， ， ， ，，，共有7种情况， 所以，又， 所以X的分布列为： ， 故答案为：，. 14．已知 ， ，若点 为 中点，则 在 上的投影向量为 (用 与 表示); 建立平面直角坐标系，若 为坐标原点， ，则 等于 . 【答案】 【详解】①因为，所以， 所以是等腰直角三角形，如图所示. 因为是的中点，所以在上的投影向量为， ，， 所以， 而， 所以在上的投影向量为. ②如图建立平面直角坐标系，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故答案为：①；②. 15．关于函数，给出下列三个结论： ①是奇函数； ②0是的极值点； ③在上有且仅有1个零点； 其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【详解】对于①，, 所以函数是奇函数，所以①正确； 对于②，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递增， 所以不是函数的极值点，所以②不正确； 对于③，由，当，， 所以在单调递增，又， 所以函数在上有且仅有1个零点，所以③正确． 故答案为：①③． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求； (2)求； (3)求的值． 【详解】（1）由及正弦定理得，，           所以． 因为，所以． （2）由余弦定理，        可得，                     所以． （3）由（2）可得，                             所以，．         所以 ． 17．（15分）如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 所以， 所以，所以． （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，， 设平面为法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（15分）已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题可知，，化简得，解得. 所以椭圆的方程为. （2）设，存在点满足题意. 由，得. 所以. . . 若为定值，则， 所以，解得. 所以存在点，使得为定值，定值为. 19．（15分）已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； (3)若对于恒成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为是等差数列，所以， 得，公差，所以. 再由，，得，，且是等比数列， 所以公比，即，. 故，. （2）由，所以，，， ——① ——② ①②相减得： 即 （3）由（1）知，，，代入 得，即对于恒成立. 令，则，， 所以当时，，数列递增，即； 当时，；当时，，数列递减. 所以或3时，数列有最大值，要使对于恒成立，所以. 故实数m的取值范围. 20．（16分）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)时，对于，不等式成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可得，，则， 又，则在处的切线方程为； （2），， 若，则，则，则在上单调递增； 若或，则，由得，或， 由得，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （3）时，，由（2）可知，在上单调递增， 又，则为奇函数， 故可化为，即， 故对于，恒成立，即恒成立， 因，当且仅当时等号成立，故， 则实数的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C B B C A D A D D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12． 13． 14． 15． ①③ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【详解】（1）由及正弦定理得，，           所以． 因为，所以．------------------------------4分 （2）由余弦定理，        可得，                     所以．------------------------------8分 （3）由（2）可得，                             所以，．   ------------------------------12分      所以 ．------------------------------14分 17．(15分) 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 所以， 所以，所以．------------------------------5分 （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得，------------------------------7分 所以平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为；------------------------------10分 （3）因为，， 设平面为法向量为，则，取，------------------------------12分 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为.------------------------------15分 18．(15分) 【详解】（1）由题可知，，化简得，解得. 所以椭圆的方程为.------------------------------4分 （2）设，存在点满足题意. 由，得.------------------------------6分 所以. .------------------------------8分 . ------------------------------12分 若为定值，则， 所以，解得. 所以存在点，使得为定值，定值为.------------------------------15分 19．(15分) 【详解】（1）因为是等差数列，所以， 得，公差，所以. 再由，，得，，且是等比数列， 所以公比，即，. 故，.------------------------------4分 （2）由，所以，，， ——① ——②------------------------------6分 ①②相减得： 即------------------------------8分 （3）由（1）知，，，代入 得，即对于恒成立.----------------10分 令，则，， 所以当时，，数列递增，即；------------------------------12分 当时，；当时，，数列递减.------------------------------14分 所以或3时，数列有最大值，要使对于恒成立，所以. 故实数m的取值范围.------------------------------15分 20．(16分) 【详解】（1）由题意可得，，则， 又，则在处的切线方程为；------------------------------3分 （2），， 若，则，则，则在上单调递增；------------------------------5分 若或，则，由得，或， 由得，，------------------------------6分 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为；------------------------------8分 （3）时，，由（2）可知，在上单调递增， 又，则为奇函数，------------------------------10分 故可化为，即，- 故对于，恒成立，即恒成立，-----------------------------14分 因，当且仅当时等号成立，故， 则实数的取值范围为.------------------------------16分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．_______________________ 11．_________________________ 12．_______________________ 13．____________，___________ 14．___________，__________ 15．_________________________ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 非 作 答 区 域 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $