（新课预习）第二单元 因数和倍数（章节复习）（新知总结+十三大重点难点题型讲练+难度分层训练 共56题）-2026年人教版数学五年级寒假学习讲义

第二单元 因数和倍数（章节复习） 【解析版】 知识总结 2 知识点梳理01：因数与倍数 2 知识点梳理02：2、5、3的倍数的特征 2 知识点梳理03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 2 知识点梳理04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） 3 重点难点题型讲练 3 题型一：因数和倍数的认识 3 题型二：找一个数的因数及因数的特征 4 题型三：根据因数的特征解决问题 5 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 6 题型五：根据倍数的特征解决问题 6 题型六：倍数和因数的综合应用 7 题型七：2、5的倍数特征 8 题型八：奇数与偶数的认识 9 题型九：3的倍数特征 10 题型十：2、3、5的倍数特征综合 11 题型十一：质数与合数的认识 12 题型十二：质数与合数的综合应用 13 题型十三：运算性质（奇数和偶数) 14 难度分层训练 15 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 15 能力提升练（共10题 限时20分钟） 19 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 23 【学习目标】 1．理解因数和倍数的概念，能举例说明。 2．掌握2、3、5倍数的特点，能准确判断2、3、5的倍数，促进数感的发展。 3．掌握质数、合数的概念，能找出100以内的质数与合数，能熟练判断20以内的质数与合数。 4．知道有关概念间的关系，发展学生的抽象能力、推理能力。 5．了解奇数、偶数的概念，能准确判断奇数、偶数，以及和的奇偶性。 【重点难点】 重点：理解因数、倍数，质数、合数、奇数、偶数的概念，掌握2、3、5倍数的特征，掌握两数和的奇偶性。 难点：掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道相关概念间的联系和区别。 知识点梳理01：因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点梳理02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点梳理03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点梳理04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2)最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 13前面是2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：因数和倍数的认识 【例1】（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2        ②3÷8＝0.375       ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7     ⑤55÷11＝5       ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9      ⑧24÷4＝6       ⑨14÷3＝4……2 第一类：（       ），第二类：（                ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 【思路引导】第一类：（①④⑤⑦⑧），第二类：（②③⑥⑨） 倍，因 【思路引导】观察算式可知，①④⑤⑦⑧属于整数除法，商是整数且无余数；②③⑥⑨属于非整数除法，含小数商或有余数。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。如，我们就说36是18的倍数，18是36的因数。 整数除法中，当被除数能被除数整除（商为整数、无余数）时，被除数与除数存在 “倍数 - 因数” 的关系；若不能整除，则商为小数或存在余数，不构成倍数 - 因数关系。 【完整解答】由分析可得： 第一类：①④⑤⑦⑧； 第二类：②③⑥⑨； 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【变式】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）由于5.4＝3×1.8，所以说5.4是3的倍数。( )（判断对错） 【思路引导】× 【思路引导】因数和倍数的研究对象必须是整数。5.4＝3×1.8中，5.4和1.8均为小数，不符合整数要求，因此不能说明5.4是3的倍数，据此判断。 【完整解答】根据因数和倍数的定义，它们只在整数范围内讨论。题目中5.4和1.8均为小数，不符合整数条件，因此结论不成立，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【例2】（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数的最小倍数是24，这个数的因数有( )个。 【思路引导】8 【思路引导】根据“一个数的最小倍数是它本身”可知，一个数的最小倍数是24，则这个数是24；然后列举出24的所有因数，再数出因数的个数即可。 根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】一个数的最小倍数是24，则这个数是24； 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 这个数的因数有8个。 【变式】（24-25五年级下·湖南株洲·期末）完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：，则6是一个完全数。下面选项中，（    ）是完全数。 A．8 B．14 C．28 【思路引导】C 【思路引导】先找出每个选项中数字的所有因数，然后去掉该数字本身，将其余因数相加，看结果是否等于该数字，若等于则是完全数，否则不是。 【完整解答】A．8的因数有1，2，4，8，除自身8外的因数和为：1＋2＋4＝7，所以8不是一个完全数。 B．14的因数有1，2，7，14，除自身14外的因数和为：1＋2＋7＝10，所以14不是一个完全数。 C．28的因数有1，2，4，7，14，28，除自身28外的因数和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是一个完全数。 故答案为：C 题型三：根据因数的特征解决问题 【例3】（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）五（1）班有42人，大课间分组活动，每组人数相等且超过2人（组数大于1）。可以分成几组？每组几人？ 【思路引导】分成14组，每组3人；分成7组，每组6人；分成6组，每组7人；分成3组，每组14人；分成2组，每组21人 【思路引导】分析题目，先找出42的因数，则每组人数是42的因数中大于2且小于42的数，据此确定每组的人数，最后用总人数除以每组人数即可得到分成的组数。 【完整解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42； 每组的人数可能是3，6，7，14，21； 42÷3＝14（组） 42÷6＝7（组） 42÷7＝6（组） 42÷14＝3（组） 42÷21＝2（组） 答：可以分成14组，每组3人；分成7组，每组6人；分成6组，每组7人；分成3组，每组14人；分成2组，每组21人。 【变式】（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 【思路引导】 14 42 【思路引导】根据题意先找出42的因数，再从42的因数里面找出同时是2和7的倍数的数，小的数是小红的年龄，大的数是妈妈的年龄。 【完整解答】小红的年龄：需同时是2和7的倍数，即最小公倍数为14。 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。 其中只有14和42是14的倍数。排除不合理数据（如14岁与小红同龄），妈妈的年龄应为42岁。 因此，小红14岁，妈妈42岁。 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 【例4】（24-25五年级下·河北保定·期中）一个数的最大因数和最小倍数的和是16，这个数是( )。 【思路引导】8 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。则这个数的最大因数和最小倍数相等，两个相等的数相加是16，则这个数就是8。 【完整解答】16÷2＝8 这个数是8。 【变式】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 【思路引导】 98 35 【思路引导】最大的两位数是99，用99除以7求出商和余数，用99减去余数即是所求；一个数的因数最小是1，最大是它本身。据此解答。 【完整解答】 因此，在7的倍数中，最大的两位数是98； 一个数只有a、5、7、35四个因数，即该数最小的因数是a，最大的因数是35，因此，这个数是35。 题型五：根据倍数的特征解决问题 【例5】（23-24五年级下·全国·假期作业）小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【思路引导】小明14岁；爸爸42岁 【思路引导】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【完整解答】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 【变式】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【思路引导】181本 【思路引导】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【完整解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 题型六：倍数和因数的综合应用 【例6】（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【思路引导】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【思路引导】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【完整解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 【变式】（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 【思路引导】17 【思路引导】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，一个数的最大因数是17，说明这个数是17，最小倍数也是它本身，即17。 题型七：2、5的倍数特征 【例7】（24-25五年级下·河北邯郸·期中）同时能被2、3、5整除的最小三位数是( )，最大两位数是( )。 【思路引导】 120 90 【思路引导】能同时被2、3、5整除的数的特征是个位是0且各个数位上数字之和是3的倍数，据此找最小三位数和最大两位数。 【完整解答】最小三位数：个位是0，百位最小是1，十位满足1＋0＋十位数字是3的倍数，十位最小是2，所以最小三位数是120。 最大两位数：个位是0，十位最大是9，9＋0＝9是3的倍数，所以最大两位数是90。 【变式】（24-25五年级下·山东济宁·期中）78□是一个三位数，要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填( )；要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填( )。 【思路引导】 0、6 0 【思路引导】2的倍数特征是个位数是0、2、4、6、8；3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征是个位数是0或5。 【完整解答】（1）在780到790之间，是2的倍数的是：780、782、784、786、788、790，满足3的倍数特征的有780和786，即要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填0或6； （2）在780到790之间，因为5的倍数特征是个位数是0或5，所以满足5的倍数特征的是780和785，个位上可以是0或5，又因为，，15为3的倍数，满足3的倍数特征，所以780是3的倍数，又因为，，21为3的倍数，满足3的倍数特征，所以786是3的倍数，所以满足3的倍数特征的有780和786，因此要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填0。 因此78□是一个三位数，要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填0或6；要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填0。 题型八：奇数与偶数的认识 【例8】（24-25五年级下·福建福州·期中）从下面4张卡片中取出3张，按要求组成三位数。（每小题写两个数）              (1)奇数： ， ； (2)偶数： ， ； (3)2，5的倍数： ， ； (4)2，3，5的倍数： ， 。 【思路引导】(1) 603 635 (2) 306 630 (3) 630 350 (4) 630 360 【思路引导】（1）在自然数中，不是2的倍数的数是奇数； （2）在自然数中，是2的倍数的数是偶数； （3）既是2的倍数，又是5的倍数的特征，数的个位是0； （4）同时是2、3、5的倍数的特征，个位是0，且各位数字之和是3的倍数。 【完整解答】（1）奇数：603，635；（答案不唯一） （2）偶数：306，630；（答案不唯一） （3）2，5的倍数：630，350；（答案不唯一） （4）6＋3＋0＝9 9÷3＝3 2，3，5的倍数：630，360。 【变式】（24-25五年级下·福建莆田·期末）2025年6月2日上午，莆田百艘龙舟竞渡木兰溪，从玉湖到白塘湖，途经10公里荔林水乡，传统古村落等，比赛期间，莆田白塘湖公园举办精彩的文艺展演，某民俗腰鼓队的入场队列如下图所示，这个腰鼓队在表演时的队列可能是（    ）。 A． B． C． D． 【思路引导】A 【思路引导】观察腰鼓队入场队列，前面有一名领队，后面有两列纵队。两列纵队不管每列多少人，一定是2的倍数，也就是偶数。再加上领队，腰鼓队入场队列总人数一定是奇数。再根据四个选项的队列总人数来判断可能是哪个即可。 【完整解答】 A．观察，总人数是奇数。 B．观察，总人数是偶数。 C．观察，第一行是奇数，第二行是偶数，第三行是奇数。奇数＋奇数＝偶数，所以总人数是偶数。 D．观察，发现每行都是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数，所以总人数是偶数。 所以只有选项A中的总人数是奇数，其它选项的都是偶数。 故答案为：A 题型九：3的倍数特征 【例9】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）如果一个数有因数9，那么这个数一定是3的倍数。( )（判断对错） 【思路引导】√ 【思路引导】根据因数和倍数的定义，若一个数有因数9，则这个数一定是9的倍数，即可以表示为9k（k为整数）。由于9是3的倍数，因此9k必然可以分解为3×3k，即该数也是3的倍数。 【完整解答】假设这个数为N，且有因数9，则N＝9k（k为整数）。 因为9＝3×3，所以N＝3×3k＝3×（3k），其中3k为整数。根据3的倍数定义，N能被3整除，因此N一定是3的倍数。 例如：当k＝2时，N＝9×2＝18，18÷3＝6，是3的倍数；当k＝5时，N＝45，45÷3＝15，也是3的倍数。由此可知，命题成立。 故答案为：√ 【变式】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）王阿姨在网络上卖陶瓷杯子，她刚好有一份需要57个杯子的订单，有以下三种规格的盒子：①每盒装3个；②每盒装4个；③每盒装5个。如果只能选择用同一种规格的盒子，那么她选择哪种规格的盒子合适？请说明理由。 【思路引导】①；理由见详解 【思路引导】要选择合适的盒子规格，需判断57是否能被3、4、5整除。若能被整除，则说明该规格的盒子能刚好装完杯子，否则会有剩余。 【完整解答】①57÷3＝19（盒） ②57÷4＝14（盒）……1（个） ③57÷5＝11（盒）……2（个） 答：选择规格①的盒子合适，因为只有每盒装3个的盒子能刚好装完57个杯子。 题型十：2、3、5的倍数特征综合 【例10】（24-25五年级下·江苏南京·期末）李阿姨的行李箱设置了一个四位数密码“521□”，这个四位数既是2的倍数，又是3的倍数，李阿姨设置的这个密码有（    ）种可能。 A．1 B．2 C．3 【思路引导】A 【思路引导】根据2的倍数的性质，即个位为0、2、4、6、8中任意一个；再根据3的倍数的特征，即每个数位的数字之和为3的倍数，将0、2、4、6、8依次与5＋2＋1求和即可求解。 【完整解答】5＋2＋1＝8，若个位为0则8＋0＝8不是3的倍数，则5120不是密码；若个位为2则8＋2＝10不是3的倍数，则5122不是密码；若个位为4则8＋4＝12是3的倍数，则5124是密码；若个位为6则8＋6＝14不是3的倍数，则5126不是密码；若个位为8则8＋8＝16不是3的倍数，则5128不是密码，即李阿姨设置的这个密码只有1种可能。 故答案为：A 【变式】（24-25五年级下·重庆梁平·期末）密码锁的历史悠久，它见证了科技发展和人们对安全需求的双重推动。小明行李箱的密码由一个三位数组成，它百位和十位上的数字相同，又同时是2、3、4、5的倍数，小明行李箱的密码是( )。 【思路引导】660 【思路引导】先根据2、5的倍数特征可知这个三位数的个位一定是0，再结合“它百位和十位上的数字相同”，以及3、4的倍数特征确定这个三位数。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4的倍数特征：若一个数的最后两位数字组成的两位数能被4整除，则该数一定是4的倍数。 【完整解答】三位数是2、5的倍数，所以这个三位数的个位是0； 这个三位数的百位和十位上的数字相同，且需满足3、4的倍数，可能是： 1＋1＋0＝2，2不是3的倍数，不符合题意； 2＋2＋0＝4，4不是3的倍数，不符合题意； 3＋3＋0＝6，6是3的倍数；最后两个数字30不是4的倍数，不符合题意； 4＋4＋0＝8，8不是3的倍数，不符合题意； 5＋5＋0＝10，10不是3的倍数，不符合题意； 6＋6＋0＝12，12是3的倍数，最后两个数字60是4的倍数，符合题意； 7＋7＋0＝14，14不是3的倍数，不符合题意； 8＋8＋0＝16，16不是3的倍数，不符合题意； 9＋9＋0＝18，18是3的倍数，最后两个数字90不是4的倍数，不符合题意； 所以，小明行李箱的密码是660。 题型十一：质数与合数的认识 【例11】（24-25五年级下·全国·课后作业）请在括号里填上不同的质数。 25＝( )＋( )                   ( )×( )＝51 ( )×( )×( )＝30          ( )＋( )＋( )＝15 【思路引导】 2 23 3 17 2 3 5 3 5 7 【思路引导】51以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，据此找出合适的质数进行解答即可。 【完整解答】 【变式】（24-25五年级下·全国·课后作业）20以内所有质数的和是（    ）。 A．57 B．67 C．77 D．78 【思路引导】C 【思路引导】先找出20以内的所有质数，再将这些质数相加求和。质数是指除了1和它本身以外，没有其他的因数。20以内的数中，质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。20以内质数之和：。 【完整解答】选项A：57不符合所求； 选项B：67不符合所求； 选项C：77是20以内质数之和，符合； 选项D：78不符合所求。 故答案为：C 题型十二：质数与合数的综合应用 【例12】（22-23五年级下·河南南阳·期中）乐乐的电脑密码是ABCDEF，其中，A是6的最小倍数，B是最小自然数，C是7的最大因数，D是最小的偶数，E既不是质数也不是合数，F是最小的质数，乐乐的电脑密码是 。 【思路引导】607012 【思路引导】一个数的最小倍数是它本身，A是6的最小倍数，则A是6；最小的自然数是0，则B是0；一个数的最大因数是它本身，C是7的最大因数，则C是7；最小的偶数是0，则D是0；1既不是质数也不是合数，则E是1；最小的质数是2，则F是2。据此解答即可。 【完整解答】由分析可知： 乐乐的电脑密码是607012。 【变式】（22-23五年级下·湖南岳阳·期末）一个四位数，千位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是最小的偶数，这个数是（    ）。 A．1422 B．1420 C．1412 D．1240 【思路引导】B 【思路引导】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。 【完整解答】最小的奇数是1，千位上数是1； 最小的合数是4，百位上的数是4； 最小的质数是2，十位上的数是2； 最小的偶数是0，个位上的数是0； 所以这个四位数是1420。 故答案为：B 【考点再现】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，以及奇数与质数、偶数与合数的区别，才能做出正确的解答。 题型十三：运算性质（奇数和偶数) 【例13】（24-25五年级下·江西九江·期中）2x＋2、14x＋8、3x＋8、0，以上各数或表示数的式子（x是整数）中，一定是偶数的共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引导】C 【思路引导】判断这几个数或式子是否一定为偶数，可以通过偶数定义：能被2整除的数是偶数；或者结果奇偶性判断：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。 【完整解答】①判断2x＋2 因为x是整数，2x表示x的2倍，任何整数乘2都能被2整除，所以2x一定是偶数。 因为2是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数，所以2x＋2一定是偶数。 ②判断14x＋8   当x为奇数时，14x为偶数（奇数×偶数＝偶数）；8是偶数，14x＋8是偶数。（偶数＋偶数＝偶数）   当x为偶数时，14x为偶数（偶数×偶数＝偶数）；8是偶数，14x＋8是偶数。（偶数＋偶数＝偶数）   所以14x＋8一定是偶数。 ③判断3x＋8 当x为奇数时，3x为奇数（奇数×奇数＝奇数）；8是偶数，3x＋8是奇数。（奇数＋偶数＝奇数）  当x为偶数时，3x为偶数（奇数×偶数＝偶数）；8是偶数，3x＋8是偶数。（偶数＋偶数＝偶数）    所以3x＋8不一定是偶数。 ④判断0 能被2整除的数是偶数，0能被2整除，所以0是偶数。 综上，2x＋2，14x＋8，0一定是偶数，共3个。 故答案为：C 【变式】（24-25五年级下·河南焦作·期中）哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，其内容为“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中，（    ）符合这个猜想。 A．11＝5＋6 B．28＝11＋17 C．46＝22＋24 D．30＝25＋5 【思路引导】B 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。结合“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”分析各选项，进而确定正确答案。 【完整解答】A．11是奇数，不符合“大于2的偶数”这一条件，且6不是质数（6＝2×3），所以该选项不符合。 B．28是大于2的偶数，11和17都是质数（11的因数只有1和11；17的因数只有1和17），所以28＝11＋17符合哥德巴赫猜想。 C．22和24都不是质数（22＝2×11；24＝2×12＝3×8＝4×6），所以该选项不符合。 D．25不是质数（25＝5×5），所以该选项不符合。 故答案为：B 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）下列各数中，因数个数最多的是（    ）。 A．18 B．24 C．48 D．60 【思路引导】D 【思路引导】如果自然数a和自然数b的乘积是c，即，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。 先分别找出每个选项中数的所有因数，数出因数个数，再比较得出个数最多的选项。 【完整解答】A.，，，因此，18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个； B.，，，，因此，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个； C.，，，，，因此，48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个； D.，，，，，，因此，60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共12个。 ，所以60的因数个数最多。 故答案为：D 2．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）已知a、b均为非0自然数，且a×b＝c，那么a是c的（    ）。 A．因数 B．倍数 C．质数 D．合数 【思路引导】A 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答。 【完整解答】已知a、b均为非0自然数，且a×b＝c，则c÷a＝b，所以c是a和b的倍数，a和b是c的因数。 故答案为：A 3．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）下面各组数中，第一个是第二个的倍数的是（    ）。 A．15和10 B．6和18 C．36和0.6 D．48和8 【思路引导】D 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此逐项分析。 【完整解答】A．15÷10＝1.5，1.5是小数，所以15不是10的倍数； B．18÷6＝3，所以18是6的倍数，6是18的因数； C．36÷0.6＝60，0.6是小数，所以36不是0.6的倍数； D．48÷8＝6，所以48是8的倍数。 故答案为：D 4．（24-25五年级下·天津和平·期末）m表示任意自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 【思路引导】B 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，奇数－奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数。据此解答。 【完整解答】A．m表示任意自然数，2是偶数，那么2m是偶数，2m＋2同样是偶数，所以不符合； B．m表示任意自然数，2是偶数，那么2m是偶数，1是奇数，2m＋1是奇数，所以符合； C．m表示任意自然数，1是奇数，若m是偶数，则m＋1为奇数，若m为奇数，则m＋1为偶数，所以不能确定m＋1为奇数还是偶数，所以不符合； D．m表示任意自然数，1是奇数，若m是偶数，则m－1为奇数，若m为奇数，则m－1为偶数，所以不能确定m－1为奇数还是偶数，所以不符合； 故答案为：B 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）和为奇数。 77＋5☐，☐里可填( )。    48☐＋160，☐里可填( )。 【思路引导】 0，2，4，6，8 1，3，5，7，9 【思路引导】和为奇数，则加数应为一个偶数一个奇数；末尾数字为1、3、5、7、9，这样的数就是奇数，末尾数字为0、2、4、6、8，这样的数为偶数。据此进行分析。 【完整解答】要使为奇数，77是奇数那么应为偶数，所以☐里可填0、2、4、6、8； 要使为奇数，160是偶数那么应为奇数，所以☐里可填1、3、5、7、9。 和为奇数77＋5☐，☐里可填0、2、4、6、8。48☐＋160，☐里可填1、3、5、7、9。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）和为偶数。 23＋8☐，☐里可填( )。    22☐＋308，☐里可填( )。 【思路引导】 1，3，5，7，9 0，2，4，6，8 【思路引导】和为偶数，则加数应为两个偶数或两个奇数；末尾数字为1、3、5、7、9，这样的数就是奇数，末尾数字为0、2、4、6、8，这样的数为偶数。据此进行分析。 【完整解答】要使为偶数，23是奇数那么应为奇数，所以☐里可填1、3、5、7、9； 要使为偶数，308是偶数那么应为偶数，所以☐里可填0、2、4、6、8。 和为偶数23＋8☐，☐里可填1、3、5、7、9。22☐＋308，☐里可填0、2、4、6、8。 7．（17-18五年级下·全国·单元测试）任何两个自然数的积一定是合数。( )（判断对错） 【思路引导】× 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【完整解答】假设两个自然数为1和2，它们的积为1×2＝2。2是质数，不是合数。 因此，任何两个自然数的积不一定是合数。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）王先生和李先生是同一研究所的科研人员，他们总是相隔不同的天数到图书馆查阅资料。王先生每3天去一次，李先生每5天去一次，8月8日他们都去了图书馆。下次两人同一天去图书馆的日期是几月几日？ 【思路引导】8月23日 【思路引导】两人再次同一天去图书馆的时间间隔，是他们各自去图书馆周期（3天、5天）的最小公倍数，再结合日期推算即可得到结果。 【完整解答】求时间间隔（最小公倍数）： 3和5是互质数，最小公倍数为， 即再过15天两人会再次同一天去图书馆。推算日期：（日）。 答：下次两人同一天去图书馆的日期是8月23日。 9．（24-25五年级下·湖北孝感·期中）一个数的最大因数和最小倍数的和是90，这个数是多少？ 【思路引导】45 【思路引导】由“一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身”可知，一个数的最大因数和最小倍数的和是90，也就是说这个和是它本身的2倍，用和除以2即可求出这个数。 【完整解答】90÷2＝45 答：这个数是45。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【思路引导】7：00 【思路引导】用枚举法，不重复不遗漏有序列举出12路车与17路车每一次发车时间后，比较得出下一次同时发车时间。 【完整解答】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）运动会上每个班的所有学生都要参加入场仪式和团体操，五（1）班入场队列如右图所示。表演团体操的几个队列如下，（    ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 【思路引导】D 【思路引导】根据图示可知，五（1）班的学生数是奇数，据此选择即可。 【完整解答】A．（人），五（1）班的学生数是奇数，不符合题意。 B． （人），五（1）班的学生数是奇数，不符合题意。 C． （人），五（1）班的学生数是奇数，不符合题意。 D． （人），五（1）班的学生数是奇数，符合题意。 故答案为：D 2．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）“任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和”被称为“哥德巴赫猜想”，是“数学皇冠上的明珠”。下面算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．40＝19＋21 C．19＝2＋17 D．14＝11＋3 【思路引导】D 【思路引导】根据哥德巴赫猜想，需验证各选项是否满足以下条件：①和为大于2的偶数；②两个加数均为质数。 【完整解答】A．：20是偶数，但1不是质数，此选项错误； B．：40是偶数，但21（因数）是合数，此选项错误； C．：19是奇数，不符合猜想前提，此选项错误； D．：14是偶数，11和3均为质数，此选项正确。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·河南开封·期末）被称为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，是数学中一个著名的难题。猜想认为：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。下列式子中能反映这个猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．11＝9＋2 C．18＝3＋15 D．20＝7＋13 【思路引导】D 【思路引导】分析各选项中的算式是否符合“每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和”，符合的算式即能反映这个哥德巴赫猜想。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【完整解答】A．8＝1＋7中，1既不是质数又不是合数，不能反映哥德巴赫猜想； B．11＝9＋2中，11是奇数，不是偶数，不能反映哥德巴赫猜想； C．18＝3＋15，15是合数，不是质数，不能反映哥德巴赫猜想； D．20＝7＋13中，20是大于4的偶数，7、13既是奇数又是质数，能反映哥德巴赫猜想。 故答案为：D 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）1×2＋3×4＋5×6＋…＋49×50的和是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 【思路引导】B 【思路引导】观察每一项，如，其中1是奇数，2是偶数，奇数×偶数＝偶数；同理，中，3是奇数，4是偶数，奇数×偶数＝偶数；以此类推，每一项都是奇数乘偶数，结果均为偶数，根据偶数的性质：偶数相加的和仍为偶数。由于原式中每一项都是偶数，所以多个偶数相加的结果还是偶数。 【完整解答】 由分析可知和为偶数。 故答案为：B 【考点再现】先分析每一项的奇偶性，再根据偶数相加的性质判断整个和的奇偶性。 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是7的最小倍数，个位上是2和3的倍数，这个数是( )。 【思路引导】476 【思路引导】先分别确定这个三位数的百位、十位、个位上的数字，再将它们组合起来得到这个三位数。 合数是指除了1和它本身以外还有其他因数的数。最小的合数是4，所以百位上的数字是4 。一个数的最小倍数是它本身，7的最小倍数是7，所以十位上的数字是7。个位上的数字是一位数，且是2和3的倍数。2和3的倍数即6的倍数，一位数中6的倍数是6，所以个位上的数字是6，由此可得到这个数。 【完整解答】由分析可知，这个数是476。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）在1，4，11，39，51，23，72这些数中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 【思路引导】 4，72 1，11，39，51，23 11，23 4，39，51，72 【思路引导】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；据此解答。 【完整解答】由分析可知，这些数中，偶数有4，72，奇数有1，11，39，51，23，质数有11，23，合数有4，39，51，72。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝          ②2＋3＝       ③15＋17＝     ④24＋19＝        ⑤43＋15＝        ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 【思路引导】12；5；32   43；58；39   ②④⑥；①③⑤；偶数；奇数；偶数 【思路引导】先把每个算式算出结果，再根据结果是奇数还是偶数进行分类，再由算式的特征得出发现，据此解答。 【完整解答】①，10和2都是偶数，所得的结果也是偶数，由此可知偶数＋偶数＝偶数 ②，2是偶数，3是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ③，15和17都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ④，24是偶数，19是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ⑤，43和15都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ⑥，21是奇数，18是偶数，所得的结果是奇数，由此可知即奇数＋偶数＝奇数 因此，得数是奇数的算式有（填序号）：②④⑥；得数是偶数的算式有（填序号）：①③⑤； 如下图： 我发现：奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇、海海和乐乐三人今年的年龄和是奇数。5年后，他们三人的年龄和是奇数还是偶数？为什么？ 【思路引导】偶数。因为5年后三人增加的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 【思路引导】由奇偶数的性质可知：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；据此解答。 【完整解答】5年后他们三人增加的年龄和（岁）是奇数，三人今年的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 答：5年后，他们三人的年龄和是偶数，因为5年后三人增加的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【思路引导】丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【思路引导】根据找一个因数的方法先找出30的因数，接着从30的因数中找出5的倍数，即找出个位是0或5的数，据此解答。 【完整解答】 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 10．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）万老师在体育用品店买了一些普通跳绳和计数跳绳。他付给售货员60元，找回3元。售货员找回的钱对吗？为什么？ 普通跳绳：5元/根 计数跳绳：10元/根 【思路引导】不对；理由见详解 【思路引导】5的倍数特征：个位上是0或5的数。由此可知，普通跳绳、计数跳绳的单价都是5的倍数，根据“单价×数量＝总价”可知，无论买多少根，总钱数都应该是5的倍数；用付的钱数－找回的钱数＝花钱数，判断花的钱数是否是5的倍数，即可得出找回的钱是否正确。 【完整解答】60－3＝57（元） 57不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 答：售货员找回的钱不对，因为花的总钱数不是5的倍数。 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 1．如图，a，b，c，d，e分别是1~5中的一个数，如果每个圆环内的数字之和都等于k，那么k最大可以是（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【思路引导】C 【思路引导】根据题意可知，3k＝（a＋b）＋（b＋c＋d）＋（d＋e）＝（a＋b＋c＋d＋e）＋（b＋d），因为a，b，c，d，e分别是1~5中的一个数，所以a＋b＋c＋d＋e＝1＋2＋3＋4＋5＝15，3k＝＝b＋d＋15；因为3k是3的倍数，15是3的倍数，所以b＋d也是3的倍数；1~5中符合两个数相加为3的倍数有3、6、9；根据题意可知，a＋b＝b＋c＋d＝d＋e，如果b＋d最大为4＋5＝9，则a＋b大于9， d＋e也大于9，不符合a＋b＋c＋d＋e＝15；所以b＋d最大为6，把6代入b＋d＋15，可得3k为21，用21除以3即可求出k。 【完整解答】3k ＝（a＋b）＋（b＋c＋d）＋（d＋e） ＝（a＋b＋c＋d＋e）＋（b＋d） ＝1＋2＋3＋4＋5＋（b＋d） ＝15＋（b＋d） 1~5中符合两个数相加为3的倍数有3、6、9； 如果b＋d最大为4＋5＝9，则a＋b大于9， d＋e也大于9，不符合a＋b＋c＋d＋e＝15； 所以b＋d最大为6， 15＋6＝21 21÷3＝7 k最大可以是7。 故答案为：C 【考点再现】本题可通过所有字母和数字的总和进行分析，再利用3的倍数知识进行解答。 2．（23-24五年级下·全国·课后作业）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 【思路引导】D 【思路引导】如果小明只有1张5元和1张1元的纸币，那么小明一共有（5＋1）元，现在小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，说明小明的总钱数是6的倍数，只要找到是6的倍数的数即可。 【完整解答】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍数，不符合题意； B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍数，不符合题意； C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍数，不符合题意； D．36÷6＝6，所以36是6的倍数，符合题意。 因此小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有36元。 故答案为：D 【考点再现】此题考查了倍数的应用，明确总钱数是6的倍数是解决本题的关键。 3．一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引导】D 【思路引导】4的因数有：1、2、4；9的因数有：1、3、9；有3个因数的数是4和9。 6的因数有：1、2、3、6；8的因数有：1、2、4、8；有4个因数的数是6和8。 据此解答。 【完整解答】一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数有46、48、96、98共有4个。 故选：D 【考点再现】掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。 【思路引导】957 【思路引导】先确定去掉末位数后所得两位数的最大19的倍数，再根据3的倍数特征确定末位数，从而得到最大的三位数。 【完整解答】两位数中19的最大倍数是95，即所求的数前两位是95。又知这个三位数是3的倍数，即95□是3的倍数，□里可以填1，4，7，当□里填7时，这个三位数最大，是957。 所以，一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是957。 【考点再现】判断最大的19的倍数，再通过3的倍数特征求得这个满足条件的最大的数。 5．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 【思路引导】 12 5 【思路引导】第1个空：题目要求的是用所有的苹果和桃正好全部用完，且每个礼盒中苹果和桃的数量都要相同。那么，礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，因为只有这样可以确保苹果和桃都能被完整地分配到每个礼盒中，不会有剩余。所以找出来36和24的最大公因数即可。 第2个空：第1问中礼盒数已经知道了，接下来只需要用每种水果的总数除以礼盒数，即可得到每个礼盒中该水果的数量。问礼盒中有多少个水果，就把礼盒中每种水果的个人加起来即可。 【完整解答】第1个空：首先，找出36和24的最大公因数。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 它们共同的因数有：1，2，3，4，6，12。其中，最大的是12。 所以，用这些苹果和桃最多能做12个礼盒。 第2个空：首先，计算每个礼盒中每种水果各有多少个。 每个礼盒中的苹果数＝总苹果数÷礼盒数 36÷12＝3（个） 每个礼盒中的桃数＝总桃数÷礼盒数 24÷12＝2（个） 3＋2＝5（个） 所以，每个礼盒中有5个水果。 【考点再现】首先，本题的关键是理解礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，这样才能确保所有的苹果和桃都能被完整地用完。 其次，通过找出最大公因数，可以计算出最多能做的礼盒数。 最后，再进一步计算出每个礼盒中的水果数量。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）所有自然数中，相邻的两个数都是质数的只有2和3。( )（判断对错） 【思路引导】√ 【思路引导】自然数包括0、1、2、3、···。质数是大于1且除了1和它本身没有其他因数的自然数。相邻自然数差为1，因此总是一个奇数一个偶数（除0和1外）。偶数中只有2是质数（其他大于2的偶数都能被2整除，不是质数）。与2相邻的自然数是1和3，1不是质数，3是质数。因此，只有2和3这对相邻数都是质数。其他相邻对中，偶数大于2时不是质数，因此不可能两个都是质数。 【完整解答】自然数中，相邻的两个数相差1。质数是大于1的自然数，且除了1和它本身没有其他因数。在相邻的两个自然数中，必有一个是偶数。大于2的偶数都能被2整除，因此不是质数。所以，只有当偶数是2时，才可能两个都是质数。2的相邻数是1和3，1不是质数，3是质数。因此，只有2和3这对相邻数都是质数。故该说法正确。 故答案为：√ 【考点再现】掌握质数的定义是解题的关键。 7．（20-21六年级下·浙江·期中）将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 【思路引导】14人；18人；175个 【思路引导】两筐的苹果数量相等，每班一筐，苹果的数量在100到200之间，甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个，就是说这筐苹果个数减去6个，就是13的倍数；乙班每人分得10个就有1人分得5个苹果，就是说这筐苹果个数减去5个，就是10的倍数，这筐苹果苹果的数量被13除余6，被10除余5的数，余数是5，这个数的末尾数是5，算出苹果的数量再求甲、乙两班的人数，即可解答。 【完整解答】100到200之间，被13除余6的数有： 13×8＋6＝110 13×9＋6＝123 13×10＋6＝136 13×11＋6＝149 13×12＋6＝162 13×13＋6＝175 13×14＋6＝188 末尾数是5的数是175 175÷10＝17……5 符合题意的只有175，即两筐苹果分别有175个； 甲班人数13＋1＝14（人） 乙班人数有：175÷10＝17……5 17＋1＝18（人） 答：甲班有14人；乙班有18人；每筐苹果各有175个。 【考点再现】本题是找出一个既是13的倍数余6，又是10的倍数余5，根据余数是5的特点，它的末尾数是5 ，找出对应的数，解答问题。 8．自然数a除以3的余数是2，自然数b除以3的余数是1，且。a与b的和是3的倍数吗？a与b的差呢？ 【思路引导】a与b的和是3的倍数；a与b的差不是3的倍数 【思路引导】a是3的x倍多2，b是3的y倍多1，求出a与b的和是3的（x＋y）倍多3，由此判断和是不是3的倍数。再计算a与b的差是3的（x－y）倍多1，再判断差是不是3的倍数。 【完整解答】a是3的x倍多2，b是3的y倍多1，所以a与b的和是3的倍多3，3正好也是3的倍数，所以a与b的和是3的倍数。a与b的差是3的倍多1，1不是3的倍数，所以a与b的差不是3的倍数。 【考点再现】本题考查3的倍数特征，解答本题的关键是掌握3的倍数特征。 9．围棋棋盘是纵横各19条线交叉形成的，每个交叉点上都可以放棋子，在每个交叉点上都放上黑色或白色的棋子，如果黑子的颗数是奇数，那么白子的颗数是奇数还是偶数？ 【思路引导】白子的颗数是偶数 【思路引导】纵横各19条线交叉形成的交叉点的总数是一个奇数，白子颗数等于总数减去黑子颗数，如果黑子的颗数是奇数，根据奇数－奇数＝偶数可以知道，白子的颗数是偶数。 【完整解答】根据奇数×奇数＝奇数可以知道，纵横各19条线交叉形成的交叉点的总数是（个），361是一个奇数。如果黑子的颗数是奇数，根据奇数－奇数＝偶数可以知道，白子的颗数是偶数。 【考点再现】本题考查奇数与偶数的运算性质，解答本题的关键是掌握奇数与偶数的概念。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 因数和倍数（章节复习） 【原卷版】 知识总结 2 知识点梳理01：因数与倍数 2 知识点梳理02：2、5、3的倍数的特征 2 知识点梳理03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 2 知识点梳理04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） 3 重点难点题型讲练 3 题型一：因数和倍数的认识 3 题型二：找一个数的因数及因数的特征 3 题型三：根据因数的特征解决问题 4 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 4 题型五：根据倍数的特征解决问题 4 题型六：倍数和因数的综合应用 5 题型七：2、5的倍数特征 5 题型八：奇数与偶数的认识 5 题型九：3的倍数特征 6 题型十：2、3、5的倍数特征综合 6 题型十一：质数与合数的认识 6 题型十二：质数与合数的综合应用 6 题型十三：运算性质（奇数和偶数) 7 难度分层训练 7 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 7 能力提升练（共10题 限时20分钟） 8 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 10 【学习目标】 1．理解因数和倍数的概念，能举例说明。 2．掌握2、3、5倍数的特点，能准确判断2、3、5的倍数，促进数感的发展。 3．掌握质数、合数的概念，能找出100以内的质数与合数，能熟练判断20以内的质数与合数。 4．知道有关概念间的关系，发展学生的抽象能力、推理能力。 5．了解奇数、偶数的概念，能准确判断奇数、偶数，以及和的奇偶性。 【重点难点】 重点：理解因数、倍数，质数、合数、奇数、偶数的概念，掌握2、3、5倍数的特征，掌握两数和的奇偶性。 难点：掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道相关概念间的联系和区别。 知识点梳理01：因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点梳理02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点梳理03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点梳理04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2)最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 13前面是2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：因数和倍数的认识 【例1】（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2        ②3÷8＝0.375       ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7     ⑤55÷11＝5       ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9      ⑧24÷4＝6       ⑨14÷3＝4……2 第一类：（       ），第二类：（                ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 【变式】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）由于5.4＝3×1.8，所以说5.4是3的倍数。( )（判断对错） 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【例2】（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数的最小倍数是24，这个数的因数有( )个。 【变式】（24-25五年级下·湖南株洲·期末）完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：，则6是一个完全数。下面选项中，（    ）是完全数。 A．8 B．14 C．28 题型三：根据因数的特征解决问题 【例3】（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）五（1）班有42人，大课间分组活动，每组人数相等且超过2人（组数大于1）。可以分成几组？每组几人？ 【变式】（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 【例4】（24-25五年级下·河北保定·期中）一个数的最大因数和最小倍数的和是16，这个数是( )。 【变式】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 题型五：根据倍数的特征解决问题 【例5】（23-24五年级下·全国·假期作业）小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【变式】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 题型六：倍数和因数的综合应用 【例6】（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【变式】（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 题型七：2、5的倍数特征 【例7】（24-25五年级下·河北邯郸·期中）同时能被2、3、5整除的最小三位数是( )，最大两位数是( )。 【变式】（24-25五年级下·山东济宁·期中）78□是一个三位数，要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填( )；要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填( )。 题型八：奇数与偶数的认识 【例8】（24-25五年级下·福建福州·期中）从下面4张卡片中取出3张，按要求组成三位数。（每小题写两个数）              (1)奇数： ， ； (2)偶数： ， ； (3)2，5的倍数： ， ； (4)2，3，5的倍数： ， 。 【变式】（24-25五年级下·福建莆田·期末）2025年6月2日上午，莆田百艘龙舟竞渡木兰溪，从玉湖到白塘湖，途经10公里荔林水乡，传统古村落等，比赛期间，莆田白塘湖公园举办精彩的文艺展演，某民俗腰鼓队的入场队列如下图所示，这个腰鼓队在表演时的队列可能是（    ）。 A． B． C． D． 题型九：3的倍数特征 【例9】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）如果一个数有因数9，那么这个数一定是3的倍数。( )（判断对错） 【变式】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）王阿姨在网络上卖陶瓷杯子，她刚好有一份需要57个杯子的订单，有以下三种规格的盒子：①每盒装3个；②每盒装4个；③每盒装5个。如果只能选择用同一种规格的盒子，那么她选择哪种规格的盒子合适？请说明理由。 题型十：2、3、5的倍数特征综合 【例10】（24-25五年级下·江苏南京·期末）李阿姨的行李箱设置了一个四位数密码“521□”，这个四位数既是2的倍数，又是3的倍数，李阿姨设置的这个密码有（    ）种可能。 A．1 B．2 C．3 【变式】（24-25五年级下·重庆梁平·期末）密码锁的历史悠久，它见证了科技发展和人们对安全需求的双重推动。小明行李箱的密码由一个三位数组成，它百位和十位上的数字相同，又同时是2、3、4、5的倍数，小明行李箱的密码是( )。 题型十一：质数与合数的认识 【例11】（24-25五年级下·全国·课后作业）请在括号里填上不同的质数。 25＝( )＋( )                   ( )×( )＝51 ( )×( )×( )＝30          ( )＋( )＋( )＝15 【变式】（24-25五年级下·全国·课后作业）20以内所有质数的和是（    ）。 A．57 B．67 C．77 D．78 题型十二：质数与合数的综合应用 【例12】（22-23五年级下·河南南阳·期中）乐乐的电脑密码是ABCDEF，其中，A是6的最小倍数，B是最小自然数，C是7的最大因数，D是最小的偶数，E既不是质数也不是合数，F是最小的质数，乐乐的电脑密码是 。 【变式】（22-23五年级下·湖南岳阳·期末）一个四位数，千位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是最小的偶数，这个数是（    ）。 A．1422 B．1420 C．1412 D．1240 题型十三：运算性质（奇数和偶数) 【例13】（24-25五年级下·江西九江·期中）2x＋2、14x＋8、3x＋8、0，以上各数或表示数的式子（x是整数）中，一定是偶数的共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（24-25五年级下·河南焦作·期中）哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，其内容为“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中，（    ）符合这个猜想。 A．11＝5＋6 B．28＝11＋17 C．46＝22＋24 D．30＝25＋5 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）下列各数中，因数个数最多的是（    ）。 A．18 B．24 C．48 D．60 2．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）已知a、b均为非0自然数，且a×b＝c，那么a是c的（    ）。 A．因数 B．倍数 C．质数 D．合数 3．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）下面各组数中，第一个是第二个的倍数的是（    ）。 A．15和10 B．6和18 C．36和0.6 D．48和8 4．（24-25五年级下·天津和平·期末）m表示任意自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）和为奇数。 77＋5☐，☐里可填( )。    48☐＋160，☐里可填( )。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）和为偶数。 23＋8☐，☐里可填( )。    22☐＋308，☐里可填( )。 7．（17-18五年级下·全国·单元测试）任何两个自然数的积一定是合数。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）王先生和李先生是同一研究所的科研人员，他们总是相隔不同的天数到图书馆查阅资料。王先生每3天去一次，李先生每5天去一次，8月8日他们都去了图书馆。下次两人同一天去图书馆的日期是几月几日？ 9．（24-25五年级下·湖北孝感·期中）一个数的最大因数和最小倍数的和是90，这个数是多少？ 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25五年级下·全国·课后作业）运动会上每个班的所有学生都要参加入场仪式和团体操，五（1）班入场队列如右图所示。表演团体操的几个队列如下，（    ）可能是五（1）班。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）“任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和”被称为“哥德巴赫猜想”，是“数学皇冠上的明珠”。下面算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．40＝19＋21 C．19＝2＋17 D．14＝11＋3 3．（24-25五年级下·河南开封·期末）被称为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，是数学中一个著名的难题。猜想认为：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。下列式子中能反映这个猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．11＝9＋2 C．18＝3＋15 D．20＝7＋13 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）1×2＋3×4＋5×6＋…＋49×50的和是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是7的最小倍数，个位上是2和3的倍数，这个数是( )。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）在1，4，11，39，51，23，72这些数中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝          ②2＋3＝       ③15＋17＝     ④24＋19＝        ⑤43＋15＝        ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇、海海和乐乐三人今年的年龄和是奇数。5年后，他们三人的年龄和是奇数还是偶数？为什么？ 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 10．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）万老师在体育用品店买了一些普通跳绳和计数跳绳。他付给售货员60元，找回3元。售货员找回的钱对吗？为什么？ 普通跳绳：5元/根 计数跳绳：10元/根 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 1．如图，a，b，c，d，e分别是1~5中的一个数，如果每个圆环内的数字之和都等于k，那么k最大可以是（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24五年级下·全国·课后作业）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 3．一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。 5．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）所有自然数中，相邻的两个数都是质数的只有2和3。( )（判断对错） 7．（20-21六年级下·浙江·期中）将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 8．自然数a除以3的余数是2，自然数b除以3的余数是1，且。a与b的和是3的倍数吗？a与b的差呢？ 9．围棋棋盘是纵横各19条线交叉形成的，每个交叉点上都可以放棋子，在每个交叉点上都放上黑色或白色的棋子，如果黑子的颗数是奇数，那么白子的颗数是奇数还是偶数？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $