第04讲 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题（思维导图+2大知识点+5大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义以含参数二次函数为核心，通过思维导图系统构建知识体系，将一元二次不等式、二次函数与方程及不等式的对应关系等知识点，用对比表格呈现图象、方程根与不等式解集的内在联系，清晰梳理最值、单调性等重难点脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如含参二次函数最值问题结合具体例题及变式，培养学生数学思维的逻辑性；恒成立、能成立问题通过多情境变式，提升用数学语言转化问题的能力。过关测试覆盖各类题型，助力学生自主自检，也为教师实施分层教学提供精准素材。

第04讲 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：一元二次不等式 4 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：含参二次函数最值问题 5 题型二：单调性问题 8 题型三：恒成立问题 10 题型四：能成立问题 12 题型五：双变量问题 15 05 过关测试 20 知识点一：一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 题型一：含参二次函数最值问题 【例1】（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)若对任意实数，都有，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【解析】（1）因为，所以的图象关于直线对称. 因为的图象的对称轴为直线，所以，解得. （2）因为在上单调递增，所以， 则，故的取值范围是. （3）当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， . 故. 【变式1-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)①在给定的坐标系作出函数的图象； ②若在上的值域为，写出的取值范围. (3)当时，求的最小值的解析式. 【解析】（1）函数是上的奇函数，当时，， 则当时，，，而， 所以函数的解析式是. （2）①当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数在时的图象，再将所作图象关于原点对称，并作点即得函数的图象，如图， ②由在上的值域为，得， 当或时，；当时，，观察图象得， 所以的取值范围是. （3）当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，； 当时，函数在上单调递增， 当时，； 当时，，， 所以. 【变式1-2】（25-26高一上·安徽·月考）已知函数. (1)若实数，满足，求关于的不等式的解集； (2)若，求函数在上的最小值的解析式； (3)若，对恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得， 若，则； 若，则不等式解集为； 若，则不等式解集为； 若，则不等式解集为或； 综上所述：时，不等式解集为，时，不等式解集为， 时，不等式解集为，时，不等式解集为或； （2）若，即， 易知在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，则， 若，即时，则， 若，即时，则， 综上； （3）若，即， 所以， 令，易知时，，设， 由对勾函数的性质知在上单调递增，所以， 故对恒成立等价于 对恒成立， 由二次函数的性质可知，所以, 即 【变式1-3】（25-26高一上·宁夏固原·期中） 已知函数 . (1)若， 求的最大值； (2)若的最小值为， 求的解析式. 【解析】（1）当时，，对称轴为， 因为抛物线开口向上，, 所以当时，. （2）当，即时，在上递增，； 当，即时，在上递减，； 当，即时，在上递减，在上递增，； 综上， 的最小值. 题型二：单调性问题 【例2】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，在上单调递增， 当时，函数单调递增，则，即； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数单调递增，则， 故函数在上单调递增， 则有，解得． 故选：C． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】∵函数开口向上，且对称轴为, ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴或， ∴或. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·安徽·月考）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数图象的对称轴为， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得． 故实数的取值范围为． 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的对称轴为直线， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在区间上单调递减， 所以， 故选：A 题型三：恒成立问题 【例3】（25-26高一上·宁夏银川·月考）已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数 的对称轴为 ， 要使 在区间 上单调， 需满足对称轴不在区间内部， 即 或 ，解得 或 . 因此，实数 的取值范围为 （2）由 得 ， 因为 ，所以 ， 令 ，则 对任意 恒成立等价于 ， 由基本不等式得， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为 ，故 ， 因此实数 的取值范围是 . 【变式3-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数a的取值范围； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若函数在区间上的最小值为2，求实数a的值． 【解析】（1）因为方程有两个不相等的正实数根， 所以由题意可得，解得． （2）因为对任意，不等式恒成立,所以，其中. 当时，在单调递增，，解得，故； 当时，，解得，故； 当时，在单调递减，，解得，无解； 综上，. （3）当时，，，最小值为，解得，符合条件； 当时，，，故，最小值为，解得(舍去负根)，符合条件； 当时，，但，此时最小值为0，最小值为，无解； 当时， 在单调递减，，，故最小值为0，，符合条件； 综上所述，或或. 【变式3-2】（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，； （2）因为是开口向上的抛物线，对称轴为，则自变量离对称轴越远，函数值越大.因，则区间中点对应数字为. ①当，即时， ，解得：，满足要求： ②当，即时， ，解得：，满足要求； 综上：或． （3）； ，令，当且仅当时取等号； 由题意，恒成立，即为，恒成立， 又在上单调递减，所以当时，，所以，即． 【变式3-3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数，并且在上单调递增. (1)求此幂函数表达式； (2)若函数在上单调，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由为幂函数，则，解得或3， 又在上单调递增，所以，此时. （2）由（1），则， 因为在上单调，所以或，得或， 所以得取值范围为. （3），即在R上恒成立， ，解得. 所以实数得取值范围为. 题型四：能成立问题 【例4】（25-26高一上·山西阳泉·月考）已知函数，． (1)若不等式的解集为，求a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集． (3)若y能取到不小于0的任意实数，求a的取值范围． 【解析】（1）不等式的解集为， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为， 当时，解得；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）由y能取到不小于0的任意实数，得函数的值域包含正实数集， 显然，否则函数值域为，不符合题意； 因此函数为二次函数，由其值域包含0和正实数集， 得该函数图象开口向上，且与轴有公共点，则，解得， 所以a的取值范围是. 【变式4-1】（25-26高一上·江苏·期中）设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ，，， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立，， 问题转化为：存在，使得成立，， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 【变式4-3】（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知，即， 因为，所以不等式化简可得， 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； （2）由已知不等式在上有解， 化简可得， 设，则， 又函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 题型五：双变量问题 【例5】（25-26高一上·北京顺义·期中）已知二次函数． (1)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； (3)若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，在上能成立， 所以，可得或； （2）图象的开口向上，对称轴是， 故在上单调递减，而，， 所以的值域为； （3）因为在区间上是减函数，所以， 因此任意的，总有， 而，只需即可， 所以，即，则，解得， 又，因此. 【变式5-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 【变式5-2】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设． (1)求函数在上的值域； (2)若对任意的恒成立，求的最大值； (3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 【解析】（1）根据题意，函数的周期为. 由.所以. 当时，，所以，所以， 即所求函数的值域为：. （2）由题意：. 所以. 因为当时，，所以. 由. 因为（当时取“”）. 所以. 所以的最大值为：. （3）当时，的值域为. 设函数的值域为，由题意：. 设，则，则函数，，对称轴为. 所以，，. 由或. 当时，，所以函数在上单调递减，所以， 由； 当时，，所以函数在上单调递增，所以， 由. 综上的取值范围为：. 【变式5-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由二次函数，则其对称轴为， 由函数在区间上具有单调性，则，即或. （2）由函数在上单调递减，则， 易知二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，解得，此时无解； 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，，解得，此时； 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，解得，此时； 综上所述，可得. 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，可得对称轴为， 且且为最小值， 又由， 函数的定义域为，值域为， 可得， 即有的取值范围是， 故选：A． 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，函数，则， 因此函数在上的值域为，函数在上递增， 因此函数在上的值域为，即， 由，，使得， 得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 4．（25-26高一上·广东·期中）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象的开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而函数在为增函数， 则由在R上单调递增，可得，解得. 故选：D 5．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 6．（25-26高一上·广西·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图象的对称轴为直线，若在上单调，则， 对于A，“”是“函数在上单调”的一个充要条件，故A错误； 对于B，“”是“函数在上单调”的一个必要不充分条件，故B正确； 对于C，“”是“函数在上单调”的一个充分不必要条件，故C错误； 对于D，“”是“函数在上单调”的一个既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：B 7．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．. 【答案】A 【解析】因的图象的对称轴为直线，且开口向下； 依题意在区间上单调递减， 则. 故选：A 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，函数的对称轴为， 且， 函数在闭区间上有最大值为3，最小值为， 则. 故选：B 9．（25-26高一上·江苏·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，二次函数的对称轴为， 因为且，所以函数在上单调递增， 因此函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减； 因为，所以，即， 所以，，解得或，即. 故答案为：. 10．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】函数的图象的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增. 因为函数在上具有单调性，所以，或，解得，或. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．（25-26高一上·云南曲靖·期中）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最小值为 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 则，解得， ，所以， 所以， 所以当时，函数取得最小值. 12．（25-26高一上·广东·期末）已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，原式即为，恒成立. 当时，由可得恒成立，即. 而，当且仅当即时取等号，所以． 综上所述， 故答案为：． 13．（25-26高一上·湖南长沙·期中）函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数的开口向上，对称轴为， 由于在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 15．（25-26高一上·江苏·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】关于的不等式在区间有解， 则，使得不等式成立，即， 令，则， 令，函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 16．（25-26高一上·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立． （2）设，当时，恒成立． 当且仅当，即，解得或， 所以的取值范围是． （3）因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上为增函数， 所以，所以， 所以的取值范围是． 17．（25-26高一上·河北·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知：，． (1)用单调性的定义证明在上是增函数； (2)若，都有，求实数的取值范围． 【解析】（1）证明：任取，且， 则 因为，所以，故，即. 因此，在上是增函数. （2）由对恒成立， 代入函数得： 整理得： 当时：不等式变为，恒成立，符合条件. 当时：需满足“二次函数开口向上且判别式”， 开口向上：；判别式，解得， 结合，得. 综上，实数的取值范围是. 19．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函数. (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），即为，此不等式在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是； （2）因为在上恒成立， 若，函数在先单调递减后单调递增，则，，所以， 若，函数在单调递增，则，则，所以， 若，函数在单调递减，则，则，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 20．（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． （2）①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 21．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数． (1)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数在区间上是单调递增函数， 且的函数图象抛物线开口向上，对称轴为，则有．     所以实数的取值范围为. （2）若对一切实数都成立， 则，解得． 所以实数的取值范围为. 22．（25-26高一上·广东江门·期中）设函数． (1)若，求的解集． (2)若，求的解集． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【解析】（1）当时，，若，即，，解得. 故若， 的解集为. （2）当时，，则不等式为，分式不等式等价于，解得或. 故若，的解集为. （3）不等式对一切实数恒成立可整理为对一切实数恒成立. 当时，不等式变为，不满足对一切实数恒成立，舍去； 当时，对一切实数恒成立需满足对应的二次函数开口向上且，即 ，整理得，解得. 故的取值范围为. 23．（21-22高一上·山东日照·期中）已知函数 (1)若函数在上存在零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以该函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减； 又因为函数在上存在零点，所以， 所以，解得，所以a的取值范围为； （2）若对任意的，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集. 当时，的值域为. 当时，为常数，不符合题意舍去； 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 综上，的取值范围为. 24．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）令，可得， 由可得； 所以函数的解析式为 （2）由（1）可得， 易知函数关于对称，且开口向上， 当时，，此时函数在上单调递增， 因此； 当时，，函数在上单调递减，在单调递增； 因此； 当时，，此时函数在上单调递减， 因此 综上可知，函数在的最小值为； （3）易知，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 因此对任意，满足恒成立， 由“对任意，总存在，使得”可得即可， 因此； 又因为， 由（2）中分析可知当时，， 所以只需满足即可，解得； 当时，，因此只需满足，解得与矛盾，此时无解； 综上可知， 所以实数的取值范围为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：一元二次不等式 4 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：含参二次函数最值问题 5 题型二：单调性问题 6 题型三：恒成立问题 6 题型四：能成立问题 7 题型五：双变量问题 8 05 过关测试 10 知识点一：一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 题型一：含参二次函数最值问题 【例1】（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)若对任意实数，都有，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【变式1-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)①在给定的坐标系作出函数的图象； ②若在上的值域为，写出的取值范围. (3)当时，求的最小值的解析式. 【变式1-2】（25-26高一上·安徽·月考）已知函数. (1)若实数，满足，求关于的不等式的解集； (2)若，求函数在上的最小值的解析式； (3)若，对恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-3】（25-26高一上·宁夏固原·期中） 已知函数 . (1)若， 求的最大值； (2)若的最小值为， 求的解析式. 题型二：单调性问题 【例2】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【变式2-2】（25-26高一上·安徽·月考）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：恒成立问题 【例3】（25-26高一上·宁夏银川·月考）已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数a的取值范围； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若函数在区间上的最小值为2，求实数a的值． 【变式3-2】（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【变式3-3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数，并且在上单调递增. (1)求此幂函数表达式； (2)若函数在上单调，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 题型四：能成立问题 【例4】（25-26高一上·山西阳泉·月考）已知函数，． (1)若不等式的解集为，求a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集． (3)若y能取到不小于0的任意实数，求a的取值范围． 【变式4-1】（25-26高一上·江苏·期中）设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式4-3】（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 题型五：双变量问题 【例5】（25-26高一上·北京顺义·期中）已知二次函数． (1)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； (3)若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 【变式5-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【变式5-2】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设． (1)求函数在上的值域； (2)若对任意的恒成立，求的最大值； (3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 【变式5-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东·期中）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广西·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．. 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是 . 10．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 11．（25-26高一上·云南曲靖·期中）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最小值为 12．（25-26高一上·广东·期末）已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 13．（25-26高一上·湖南长沙·期中）函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 15．（25-26高一上·江苏·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 16．（25-26高一上·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 17．（25-26高一上·河北·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知：，． (1)用单调性的定义证明在上是增函数； (2)若，都有，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函数. (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 21．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数． (1)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 22．（25-26高一上·广东江门·期中）设函数． (1)若，求的解集． (2)若，求的解集． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 23．（21-22高一上·山东日照·期中）已知函数 (1)若函数在上存在零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数的取值范围. 24．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $