第10讲 圆周角和圆心角的关系（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦“圆周角和圆心角的关系”核心知识点，从圆周角的定义与特征（顶点在圆上、两边相交）切入，对比圆心角明确联系与区别，进而阐述圆周角定理及推论（同弧等弧所对圆周角相等、直径对直角），最后扩展到圆内接四边形对角互补性质，构建从概念到定理再到应用的递进学习支架。 资料以“知识详解+典例举一反三+分层习题”为特色，知识详解通过表格对比培养几何直观，典例含选择、填空、解答题（如圆周角定理证明题）提升推理意识，17道分层习题课中辅助分层教学，课后助学生查漏补缺，用数学语言表达几何关系，发展应用意识。

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第10讲圆周角和圆心角的关系（知识详解+2典例分析+习题巩固） 目标导航 知识详解 知识点01：圆周角 知识点02：圆周角定理的推论 知识点03：圆内接四边形 典例分析 考点1：圆周角定理及推论的应用 考点2：巧用圆内接四边形的性质 (举三反三) 习题巩固 一、单选题(6) 二、填空题(6) 三、解答题(5) 知识详解 【知识点01】圆周角 1.圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角. 特征圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 特别提醒 圆心角与圆周角的区别与联系： 名称 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉。一 在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都与圆相交 2.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 如图3-41，∠ACB=号∠A0B. 特别警示：定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，故不能把同一条弧这个前提省略。 B 图3-4-1 【知识点2】圆周角定理的推论 1.推论1同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.推论2（①直径所对的圆周角是直角： (2)90°的圆周角所对的弦是直径 3.“五量关系”定理（拓展归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等。 【知识点3】圆内接四边形 1.圆内接四边形 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆， 2.圆周角定理的推论3 圆内接四边形的对角互补 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 典5列分新 【题型一】圆周角定理及推论的应用 【典例1-1】(25-26九年级上·全国期末)如图，在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠A0B=60°，则弧AB所对的圆周角 ∠ACB的度数是() A 60° B A.30° B.60° C.20° D.150° 【典例1-2】(25-26九年级上全国期末)如图，AB是00的直径，∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙0的半径 为 【典例1-3】(2025九年级上山东·专题练习)如图，⊙0为ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D,直径AE平分 ∠BAD交BC于点F,连接BE. B E (I)证明：∠AEB=∠AFD; 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)若AB=10,BF=5,求AF的长 【变式1-1】(25-26九年级上浙江温州·期中)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD,若 ∠BAC=30°，则∠D的度数为() B D A.30° B.45° C.60° D.75° 【变式1-2】(24-25九年级上湖北恩施·月考)AB为⊙0的内接正三角形的一边，AC为⊙0的内接正方形的一边， 则∠BAC= 【变式1-3】(25-26九年级上全国期末)如图，AB是O0的直径，弦CD1AB于点E,G是AC上任意一点，连接 AD,AG,GD. D (1)若LADC=70°，求∠AGD的度数. 2)若BE=2,AE=8,求CD的长. 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 .CD的长是8 【题型二】巧用圆内接四边形的性质 【典例2-1】(23-24九年级上广东广州期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，E为BC延长线上一点，若∠A=70°， 则∠DCE的度数为() A.110° B.120° C.70° D.60 【典例2-2】(25-26九年级上福建莆田·月考)如图，四边形ABCD是00的内接四边形，连接0A,0C.若 ∠ABC=108°，则∠AOC的度数为 【典例2-3】(25-26九年级上湖南株洲·月考)如图，己知四边形ABCD内接于⊙0，AB=AC,∠ADC=120°，连接 BD (1)求∠ADB的度数： (2)求证：BD=AD+CD. 【变式2-1】(25-26九年级上河南信阳·期中)如图，AB为O的直径，C、D是O上的两个点，连接 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 CA,CD,AD.若∠ADC=131°，则∠CAB的度数是() D B 0 A.31° B.40° C.41° D.49 【变式2-2】(25-26九年级上广东清远期中)如图，点A、B、C、D、E在O上，且∠A0B=50°，则 ∠E+LC= E D y 【变式2-3】(25-26九年级上北京·期末)如图，ABC是O0的内接三角形，延长BC至点D,CE平分∠ACD交 OO于点E,连接AE,BE,求证：AE=BE, E D B 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 100 习题R因 一、单选题 1. (25-26九年级上河南许昌·月考)已知AB是圆的直径，C是圆上一点，∠BAC=30°，则∠ABC的度数为() A.30 B.45 C.60 D.90 2.(25-26九年级上·湖北武汉·期中)ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,若A,B,C三个顶点均在圆0上，则 圆0的半径为() A.5 B. 5-2 号 D.2 3. (25-26九年级上安微阜阳月考)点P是O0上异于点A,B的一点，若LA0B=70°，则∠APB的度数为() A.35° B.140 C.40°或140° D.35°或145° 4.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，∠ABD=52°，则∠BCD的度 数为() D B A.30° B.389 C.48° D.52° 5.(25-26九年级上山东·月考)如图所示，⊙0的内接四边形ABCD中，∠0AB+∠0CB=115°，则∠ADC的度数是 () D B 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末一 A.115° B.120° C.65 D.130° 6.(2025九年级上山东济南专题练习)如图，CD是⊙0的直径，点A,B在⊙0上.若AC=BC,LA0C=36°， 则∠D=() D B C A.9° B.18 C.36 D.45° 二、填空题 7.(25-26九年级上·浙江衢州月考)直角三角形两直角边长分别为2和3，那么它的外接圆的直径是 8.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠A=115°，则∠BOD的度数为 A D B 9.(25-26九年级上北京期末)如图，点A,B,C都在⊙0上，若∠BAC=15°，则∠B0C的度数为 10.(24-25九年级上黑龙江齐齐哈尔月考)在直径为8的⊙0中，弦AB=4,AC=43,则弦BC的长为一 11.(24-25九年级上山东聊城期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°， 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 AB=4,AD=5,则O0的半径为 B 0 12.(25-26九年级上广东广州月考)如图，在⊙0中，若∠CDB=60°，⊙0的直径AB等于4，则AC的长为 B C D 三、解答题 13.(25-26九年级上江西南昌·月考)如图，∠BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点 E. E D (I)求证：DE=DB: (2)若∠BAC=90°，BD=5√2，求ABC外接圆的半径. 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。一 14.(24-25九年级上·吉林松原期中)如图，四边形ABCD内接于⊙0，D是AC的中点，延长BC到点E,使 CE=AB,连接BD,ED,AC. D 0 E (I)求证：BD=ED: (②)若∠ABC=60°，AD=5,求00的直径长. 15.(25-26九年级上广东广州期末)如图，AB为O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC. B D (I)证明：LB=∠ACD: (2)若AE=2,BE=8,求弦CD的长. 10宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第10讲圆周角和圆心角的关系（知识详解+2典例分析+习题巩固） 目标导航 知识详解 知识点01：圆周角 知识点02：圆周角定理的推论 知识点03：圆内接四边形 典例分析 考点1：圆周角定理及推论的应用 考点2：巧用圆内接四边形的性质 (举三反三) 习题巩固 一、单选题(6) 二、填空题(6) 三、解答题(5) 知识详解 【知识点01】圆周角 1.圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角. 特征圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 特别提醒 圆心角与圆周角的区别与联系： 名称 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉。一 在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都与圆相交 2.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 如图3-41，∠ACB=号∠A0B. 特别警示：定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，故不能把同一条弧这个前提省略。 B 图3-4-1 【知识点2】圆周角定理的推论 1.推论1同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.推论2（①直径所对的圆周角是直角： (2)90°的圆周角所对的弦是直径 3.“五量关系”定理（拓展归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等。 【知识点3】圆内接四边形 1.圆内接四边形 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆， 2.圆周角定理的推论3 圆内接四边形的对角互补 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 典5列分新 【题型一】圆周角定理及推论的应用 【典例1-1】(25-26九年级上·全国期末)如图，在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠A0B=60°，则弧AB所对的圆周角 ∠ACB的度数是() A 60° B A.30° B.60° C.20° D.150° 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握定理内容是解题的关键 根据圆周角定理解题即可， 【详解】解：如图： B 由圆周角定理可知，LAC8∠A0B=32 故选：A. 【典例1-2】(25-26九年级上·全国期末)如图，AB是O0的直径，LACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙0的半径 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【答案】√5 【分析】本题关键在于运用圆周角定理（直径对直角、同弧圆周角相等）推导线段相等关系，再结合勾股定理计算直 径，进而求得半径.掌握圆周角定理及其推论是突破此类圆相关几何题的核心.要解决此问题，需结合圆周角定理（直 径所对圆周角为直角)、同弧所对圆周角相等及等腰三角形判定来推导.首先利用直径性质得∠ADB=90°；再由同弧 AD对应的圆周角LACD与∠ABD相等，结合已知∠ACD=LCAB,推出∠CAB=LABD,进而得AD=BD;最后通过 勾股定理计算直径AB,从而求得半径. 【详解】解：如图，连接BC。 D B ∠ACD=∠CAB, ·AD=BC .AD BC=2 :AB是O0的直径， .∠ACB=90° 在Rt ABC中，AC=4,BC=2, ∴.O的直径AB=VAC2+BC2=V42+22=25. O的半径为5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故答案为：5 【典例1-3】(2025九年级上山东·专题练习)如图，⊙0为ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D,直径AE平分 ∠BAD交BC于点F,连接BE. D E (I)证明：∠AEB=∠AFD; (2)若AB=10,BF=5,求AF的长. 【答案】(1)证明见详解 (2)3V5 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，余角的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的三线合一是解题的关 键. (1)根据圆周角定理得到∠ABE=90°，根据等角的余角相等证明结论； (2)过点B作BH⊥AE于H,根据勾股定理求出AE,根据三角形的面积公式求出BH,根据勾股定理计算即可. 【详解】(1)证明：：AE平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF, :AD⊥BC, .∠DAF+∠AFD=90°， :AE为⊙0的直径， ∴.∠ABE=90°， 5 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考令 o. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .LAEB+∠BAF=90°， .∠AEB=∠AFD; (2)解：过点B作BH⊥AE于H, D E :∠AFD=∠BFE,∠AFD=∠AEB, ∴.∠BFE=∠AEB, :BE=BF=5, 在Rt△ABE中，AB=I0,∠ABE=90°， 则AE=√AB2+BE2=V52+102=5√5， 、1 △MBE=AB·BE=AE·BL :BH=4B:BE-10x5=2N5, AE 5√5 EH=FH=√BE2-BH=√5， .AF=AE-EF=AE-2EH=35. 【变式1-1】(25-26九年级上·浙江温州期中)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD,若 ∠BAC=30°，则∠D的度数为() 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 B E D A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理， 由圆周角定理得到LACB=90°，∠D=∠ABC,求出∠ABC=60°，即可得到∠D的度数. 【详解】解：连接BC, :AB是圆的直径， D ∠ACB=90°， ∠BAC=30°， ∠ABC=90°-30°=60°， :∠D=∠ABC=60°. 故选：C 【变式1-2】(24-25九年级上湖北恩施·月考)AB为⊙0的内接正三角形的一边，AC为⊙0的内接正方形的一边， 则∠BAC= 【答案】15°或75° 【分析】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质，等边三角形的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，由正方形 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 的性质得到∠EAC=∠AED=90°，则可证明CE,AD是O的直径，则可得到∠AOC=90°，再由等边三角形的性质和 圆周角定理可得∠A0B=120°，则可得到∠B0C=∠A0B-∠40C=30°，由圆周角定理可得∠BAC=∠B0C=15°： 2 同理可求出C、E位置互换时∠BAE的度数，进而求出对应的∠BAC的度数即可. 【详解】解：如图所示，：四边形ACDE是O的内接正方形， ∴.∠EAC=∠AED=90°， .CE,AD是OO的直径， .∠A0C=90°： :△ABF是O的内接正三角形， .∠AFB=60°， .∠A0B=2∠AFB=120°， .LB0C=∠A0B-∠A0C=30°， .∠BAC=5∠BOC=15° F E D B 如图所示，正方形AEDC是O的内接正方形，△ABF是O的内接正三角形， 同理可得∠BAE=15°， ∠CAE=90°， .∠BAC=∠CAE-∠BAE=75°； 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 综上所述，∠BAC的度数为15°或75°. 故答案为：15°或75°. 【变式1-3】(25-26九年级上全国期末)如图，AB是O0的直径，弦CD⊥AB于点E,G是AC上任意一点，连接 AD,AG,GD. (I)若∠ADC=70°，求∠AGD的度数. (2)若BE=2,AE=8,求CD的长. 【答案】(1)70° (2)8 【分析】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，正 确地添加辅助线是解题的关键， (I)连接AC,由AB是OO的直径，弦CD⊥AB于点E,得CE=DE,由AB垂直平分CD,得AC=AD,则 ∠ACD=∠ADC=70°，所以∠AGD=∠ACD=70°； (2)连接0C,由BE=2,AE=8,求得AB=10,则0C=0B=5,所以0E=3,则CE=VOC2-OE2=4,求得 CD=2CE=8. 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 0. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】(1)解：连接AC, G O 国BAB是O0的直径，弦CD1AB于点E, :CE =DE, :AB垂直平分CD, :AC=AD, .LACD=LADC=70°， .∠AGD=∠ACD=70°， .LAGD的度数是70°； (2)解：连接0C, 7 E B BE=2,AE=8, ∴.AB=BE+AE=10, 0C=0B=AB=5, ..OE=OB-BE=3, :∠0EC=90°， 10