第10讲 解直角三角形+用锐角三角函数解决问题（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦解直角三角形及锐角三角函数应用核心知识点，系统梳理从直角三角形边角关系（勾股定理、锐角三角函数）到解直角三角形（已知两元素求未知元素），再到非直角三角形“化斜为直”转化，最终应用于坡角、仰角、方向角等实际问题的知识脉络，构建完整学习支架。 资料以“知识详解+典例分析（举一反三）+分层习题”为框架，通过摩天轮高度、升旗仰角等真实情境案例，引导学生用数学眼光抽象问题，用数学思维推理转化，用数学语言构建模型。课中助力教师高效教学，课后便于学生巩固提升，查漏补缺。

第10讲 解直角三角形+用锐角三角函数解决问题 （知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：解直角三角形 知识点02：“化斜为直法”解非直角三角形 知识点03：有关坡角、坡度的应用 知识点04：有关摩天轮旋转高度的应用 知识点05：有关仰角和俯角的应用 知识点06：方向角的应用 典例分析 （举三反三） 考点1：解直角三角形 考点2：解非直角三角形 考点3：用锐角三角函数解决实际问题 考点4：方案设计问题 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】解直角三角形 1. 定义 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 2. 直角三角形中的边角关系 (1)如图7.5-1，在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，那么除直角∠C外的5个元素之间有如下关系： ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)； ②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； ③ 边、角之间的关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝. (2)运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：①两锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A；②三边之间的关系：a＝，b＝，c＝；③边、角之间的关系：a＝c·sin A，a＝c·cos B，a＝b·tan A，b＝c·sin B，b＝c·cos A，b＝a·tan B. (3)解直角三角形的常见类型 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c 已知条件 解法步骤 两边 斜边和一直角边 如a、c ①由sin A＝，求∠A；②∠B＝90° －∠A；③ b＝ 两直角边 a、b ①由tan A＝，求∠A；②∠B＝90°－∠A；③ c＝ 一锐 角一 边 一锐角和 斜边 如∠A、c ①∠B＝90°－∠A； ② a＝c•sin A；③ b＝c•cos A 一锐角和 对边 如∠A、a ①∠B＝90°－∠A；② b＝； ③ c＝ 一锐角和 邻直角边 如∠A、b ①∠B＝90°－∠A； ② a＝b•tan A；③ c＝ 【知识点02】“化斜为直法”解非直角三角形 1. 解题方法 对于出现非直角三角形的问题，可以通过添加辅助线，将其转化为直角三角形来解. 2. 常见类型 类型 添加辅助线 图例 无直角的三角形 作高线 有直角但无三角形的多边形 延长某些边 无直角的多边形 构造直角三角形 【知识点03】有关坡角、坡度的应用 1. 坡角与坡度(坡比)的定义 (1)坡角：坡面与水平面所成的夹角， 如图7.6-1 中的α. (2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)(如图7.6-1 所示)，坡度(坡比)也可写成i＝h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶ x的形式. 2. 坡度与坡角的关系 i＝＝tan α，即坡度是坡角的正切 值，坡角越大，坡度也就越大. 3. 基本图形及关系式 图形 关系式 图形 关系式 BC＝BD＋DC＝AD· BC＝BE＋EF＋CF＝BE＋AD＋CF＝AD＋h· 4. 解决实际问题的一般步骤 (1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题； (2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 【知识点04】有关摩天轮旋转高度的应用 随着摩天轮的旋转，游客相对于地面的高度也发生着变化. 如图7.6-3，点C距离地面的高度CH＝DA＝OA－OD＝OB＋AB－OD＝OB＋AB－OC•cos ∠COD＝R＋AB－R•cos ∠COD. 【知识点05】有关仰角和俯角的应用 1. 仰角和俯角的定义 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 2. 示意图(如图7.6-5) 3. 基本图形及关系式 图形 关系式 图形 关系式 AC＝BC·tan α， AG＝AC＋BE BC＝DC－BD＝ AD·(tan α－tan β ) AB＝DE=AE·tan β ， CD＝CE＋DE＝AE· (tan α＋tan β ) BD＝BC－DC =AC·， AG＝AC＋CG ＝AC＋BE 【知识点06】方向角的应用 1. 方向角的定义 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90°. 2. 示意图 如图7.6-7，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、 北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向. 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏常州·月考）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【典例1-2】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图所示的网格是正方形网格，线段绕点A顺时针旋转后与相切，则α的值为 ． 【典例1-3】（24-25九年级上·江苏南通·月考）在中，，，，解这个直角三角形． 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式1-3】（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，内接于，是的直径，点在半径的延长线上，连接， (1)若，判断直线和的位置关系并证明； (2)在（1）的基础上，若，，求的长． 【题型二】解非直角三角形 【典例2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【典例2-2】在△ABC中，已知AB＝2，∠B＝30°，AC＝．则S△ABC＝ . 【典例2-3】如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【变式2-1】如图，在中， ，，，求、的长． 【变式2-2】等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求． 【变式2-3】如图，在△ABC中，，，，求的长．    【题型三】用锐角三角函数解决实际问题 【典例3-1】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【典例3-2】（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，升国旗时，李明站在离旗杆底部的处以平行于水平面的角度行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为，若他的双眼离地面的高度为，则旗杆的高度是 ． 【典例3-3】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 【变式3-1】小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为 ．    【变式3-3】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 【题型四】方案设计问题 【典例4-1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为．求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【典例4-2】如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角及的长； (2)原坡面底部的正前方米外（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参考数据：） 【典例4-3】要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案． （1）求小亮设计方案中甬路的宽度x； （2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同） 【变式4-1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： (1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写） (2)在下图中画出你的测量方案示意图； (3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，，等字母表示测得的数据； (4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，，等字母表示） 【变式4-2】纵观古今，解码测量背后的数学智慧． (1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． (2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）一场暴风雨后，小明家的一扇拱形窗户受损严重，窗框变形需要更换．小明同学参考了一些类似形状的窗框设计，绘制了如图1所示的图形．该图形为轴对称图形，曲线是抛物线的一部分，点O、C和最高点D在同一条直线上．已知，，，点E、F在抛物线上，且关于对称，． (1)根据上述信息，请以点O为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求曲线所在抛物线的关系式； (2)根据窗框设计图和相关数据，小明同学利用勾股定理计算出了窗棱的长，在计算窗棱的长时犯了难，请你帮助小明完成计算； (3)窗框设计完成后，需要定制特殊形状的玻璃，对于图1中形状的玻璃，工人师傅需要在矩形玻璃中切割出来，现有两种切割方案： 【方案一】在矩形中切割掉阴影部分（如图2），其中边，分别在过点C，D作的水平线上，边，分别在过点E，F作的铅垂线上； 【方案二】在矩形中切割掉阴影部分（如图3），其中边与重合，边、与抛物线有且仅有一个公共点（即边、刚好贴在抛物线的边缘），边经过点E． 本着节约的原则，请你帮小明计算哪种切割方案更节省材料． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（   ）米． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．鑫鑫乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行130米，则她下降的高度为（    ） A．25米 B．50米 C．60米 D．120米 4．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（　　） A．4 B．3+ C．5 D．2+2 5．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在梯形中，，，，，则的长（　　） A． B．4 C． D．4 6．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在矩形中，，扇形的圆心在边上，点在边上，弧与边相切，切点为，则弧的长度为（　　） 如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上， A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ． 8．（25-26九年级上·江苏南京·月考）雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为 米． 9．如图，若，，，且，则AC等于 ． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长度为 ． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，D为边上的一点，，，则 ． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点，在半径为的上，点在内，，，则长最小值为 ． 三、解答题 13．某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 14．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，海岸上有两点，相距200米，又、两点观测海上一灯塔，测得，，求灯塔到海岸的距离． 15．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图， 图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具----“碓（）”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若 分米， 分米，，求点到水平线的距离的长． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在三角形中，已知，，点D为边上一点，且，，求的长． 17．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 解直角三角形+用锐角三角函数解决问题 （知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：解直角三角形 知识点02：“化斜为直法”解非直角三角形 知识点03：有关坡角、坡度的应用 知识点04：有关摩天轮旋转高度的应用 知识点05：有关仰角和俯角的应用 知识点06：方向角的应用 典例分析 （举三反三） 考点1：解直角三角形 考点2：解非直角三角形 考点3：用锐角三角函数解决实际问题 考点4：方案设计问题 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】解直角三角形 1. 定义 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 2. 直角三角形中的边角关系 (1)如图7.5-1，在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，那么除直角∠C外的5个元素之间有如下关系： ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)； ②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； ③ 边、角之间的关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝. (2)运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：①两锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A；②三边之间的关系：a＝，b＝，c＝；③边、角之间的关系：a＝c·sin A，a＝c·cos B，a＝b·tan A，b＝c·sin B，b＝c·cos A，b＝a·tan B. (3)解直角三角形的常见类型 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c 已知条件 解法步骤 两边 斜边和一直角边 如a、c ①由sin A＝，求∠A；②∠B＝90° －∠A；③ b＝ 两直角边 a、b ①由tan A＝，求∠A；②∠B＝90°－∠A；③ c＝ 一锐 角一 边 一锐角和 斜边 如∠A、c ①∠B＝90°－∠A； ② a＝c•sin A；③ b＝c•cos A 一锐角和 对边 如∠A、a ①∠B＝90°－∠A；② b＝； ③ c＝ 一锐角和 邻直角边 如∠A、b ①∠B＝90°－∠A； ② a＝b•tan A；③ c＝ 【知识点02】“化斜为直法”解非直角三角形 1. 解题方法 对于出现非直角三角形的问题，可以通过添加辅助线，将其转化为直角三角形来解. 2. 常见类型 类型 添加辅助线 图例 无直角的三角形 作高线 有直角但无三角形的多边形 延长某些边 无直角的多边形 构造直角三角形 【知识点03】有关坡角、坡度的应用 1. 坡角与坡度(坡比)的定义 (1)坡角：坡面与水平面所成的夹角， 如图7.6-1 中的α. (2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)(如图7.6-1 所示)，坡度(坡比)也可写成i＝h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶ x的形式. 2. 坡度与坡角的关系 i＝＝tan α，即坡度是坡角的正切 值，坡角越大，坡度也就越大. 3. 基本图形及关系式 图形 关系式 图形 关系式 BC＝BD＋DC＝AD· BC＝BE＋EF＋CF＝BE＋AD＋CF＝AD＋h· 4. 解决实际问题的一般步骤 (1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题； (2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 【知识点04】有关摩天轮旋转高度的应用 随着摩天轮的旋转，游客相对于地面的高度也发生着变化. 如图7.6-3，点C距离地面的高度CH＝DA＝OA－OD＝OB＋AB－OD＝OB＋AB－OC•cos ∠COD＝R＋AB－R•cos ∠COD. 【知识点05】有关仰角和俯角的应用 1. 仰角和俯角的定义 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 2. 示意图(如图7.6-5) 3. 基本图形及关系式 图形 关系式 图形 关系式 AC＝BC·tan α， AG＝AC＋BE BC＝DC－BD＝ AD·(tan α－tan β ) AB＝DE=AE·tan β ， CD＝CE＋DE＝AE· (tan α＋tan β ) BD＝BC－DC =AC·， AG＝AC＋CG ＝AC＋BE 【知识点06】方向角的应用 1. 方向角的定义 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90°. 2. 示意图 如图7.6-7，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、 北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向. 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏常州·月考）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 【典例1-2】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图所示的网格是正方形网格，线段绕点A顺时针旋转后与相切，则α的值为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了旋转的性质和解直角三角形，解题的关键是勾画出示意图，熟练解直角三角形． 线段AB绕点A顺时针旋转后与相切，切点为，连接,根据切线的性质可知,利用三角函数求得，最后求即可． 【详解】 解：如图所示，线段AB绕点A顺时针旋转后与相切，切点为，连接, ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【典例1-3】（24-25九年级上·江苏南通·月考）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题考查了解直角三角形：由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数以及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形和勾股定理． 利用锐角三角函数求出的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【变式1-2】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由菱形的性质来证明，再利用相似三角形对应边成比例的性质来求得的长；同理，求出的长度；然后根据三角形的边角关系求出菱形的高；最后求出菱形的面积和梯形的面积，进而求得阴影部分的面积． 【详解】解：在和中，， ∵图中是三个菱形排列， ∴， ∴，， ∴， ∴； 又∵，，， ∴； 同理，求得； ∵菱形的较小锐角为，即， ∴梯形，即菱形的高 ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，内接于，是的直径，点在半径的延长线上，连接， (1)若，判断直线和的位置关系并证明； (2)在（1）的基础上，若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的性质、三角形的外角的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握切线的性质定理是解题的关键． （1）利用直径所对圆周角为直角，结合，推导，即，从而证得结论． （2）先根据角的等量关系推出、，再在中，用三角函数求出，最后依据且，判定是等边三角形，得出． 【详解】（1）直线与相切 证明：是的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ，， 为等边三角形， ． 【题型二】解非直角三角形 【典例2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【典例2-2】在△ABC中，已知AB＝2，∠B＝30°，AC＝．则S△ABC＝ . 【答案】或 【分析】分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论，然后分别解直角△ABD与直角△ACD，求出AD、BD、CD的长，再根据S△ABC=BC•AD，代入数值计算即可． 【详解】当△ABC是锐角三角形时， 过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB=2，∠B=30°， ∴AD=AB=1， ∴由勾股定理可知：BD=， ∵AC=， ∴由勾股定理可知：CD=， ∴BC=BD+DC=+1， ∴S△ABC=BC•AD=×（+1）×1=； 当△ABC是钝角三角形时， 同理可得：BD=，CD=1， ∴BC=BD-DC=-1， ∴S△ABC=BC•AD=×（-1）×1=． 故答案为或 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形、三角形的面积，利用数形结合与分类讨论是解题的关键． 【典例2-3】如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【变式2-1】如图，在中， ，，，求、的长． 【答案】 【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：过作，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 【变式2-2】等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求． 【答案】 【分析】作BC边的高AD，根据等腰三角形的性质求出DC，再由已知条件和三角函数的定义求出． 【详解】解：如图，作AD⊥BC于D， ∵AB=AC， ∴DC=BC=6=3， 在RtACD中，DC=3，AC=5， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解． 【变式2-3】如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 【题型三】用锐角三角函数解决实际问题 【典例3-1】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角函数解决有关仰角，俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题． 作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出和的长，根据即可求解． 【详解】作于点， 依题意得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ， 同理， ， 故选D． 【典例3-2】（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，升国旗时，李明站在离旗杆底部的处以平行于水平面的角度行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为，若他的双眼离地面的高度为，则旗杆的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．根据仰角的正切函数求得目高以上旗杆的高度，再加上目高即得旗杆的高度． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 在中，， ， 故答案为：． 【典例3-3】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 【答案】铁塔的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于E，由题意可知，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， 由题意可知：，， 在中，， 在中，， ∴， 答：铁塔的高度为． 【变式3-1】小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理，先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案，熟练掌握坡度的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， 斜坡的坡度， 故选：C． 【变式3-2】已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为 ．    【答案】 【分析】根据，和勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可得到以及的长，进而得到答案． 【详解】解：， ， 过点作．交的延长线于， 在中，， ， ， ， ， 即， ， ， 在中，，， ， ．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键． 【变式3-3】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 【答案】(1)斜坡A地到B地的距离为100米 (2)小明跑到A地时，无人机已经回到A地 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，过点作，解直角三角形求出的长，根据坡度求出，进而推出为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为100米； （2）解：是，理由如下： 在中，， ∴， 在中，， ∴小明跑到A地时需要秒； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴小明跑到A地时，无人机已经回到A地． 【题型四】方案设计问题 【典例4-1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为．求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． 设，解，得到．解，求出，再求出求出，根据即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． ，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 【典例4-2】如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角及的长； (2)原坡面底部的正前方米外（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：（ 1）如图，过点作，垂足为， ∵新坡面的坡度为 ∴ ∴，即新坡面的坡角为， ∴米 （2）解：新的设计方案能通过，理由如下： ∵坡面的坡度为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴新的设计方案能通过． 【点睛】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，理解坡角的概念是解题的关键． 【典例4-3】要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案． （1）求小亮设计方案中甬路的宽度x； （2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同） 【答案】（1）2m   （2）2299平方米 【分析】（1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可． （2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可． 【详解】解：（1）根据小亮的设计方案列方程得：， 解得：x=2或x=98（舍去） ∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m． （2）作AI⊥CD，垂足为I， ∵AB∥CD，∠1=60°， ∴∠ADI=60°， ∵BC∥AD， ∴四边形ADCB为平行四边形， ∴BC=AD 由（1）得x=2， ∴BC=HE=2=AD 在Rt△ADI中，AI=2sin60°= ∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48-52×2-48×2+（）2=2299平方米． 【变式4-1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： (1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写） (2)在下图中画出你的测量方案示意图； (3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，，等字母表示测得的数据； (4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，，等字母表示） 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm (4) 【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一； 可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：；即AB=． 【详解】（1）解：①②； （2）解：测量方案示意图； （3）解：EA（镜子离树的距离）＝am EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm； （4）解：根据相似三角形的性质； 可得：； 即AB=． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题． 【变式4-2】纵观古今，解码测量背后的数学智慧． (1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． (2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)山体高度约为160米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质求解即可． （2）选择方案二进行问题解决：在和中，解直角三角形求出，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， （米），（米），（米）， 解得：（米）． （2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题． 选择方案二进行问题解决： 根据题意可得， ，， ， ，， ， 可得， （米）， （米）， 山体高度约为160米． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）一场暴风雨后，小明家的一扇拱形窗户受损严重，窗框变形需要更换．小明同学参考了一些类似形状的窗框设计，绘制了如图1所示的图形．该图形为轴对称图形，曲线是抛物线的一部分，点O、C和最高点D在同一条直线上．已知，，，点E、F在抛物线上，且关于对称，． (1)根据上述信息，请以点O为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求曲线所在抛物线的关系式； (2)根据窗框设计图和相关数据，小明同学利用勾股定理计算出了窗棱的长，在计算窗棱的长时犯了难，请你帮助小明完成计算； (3)窗框设计完成后，需要定制特殊形状的玻璃，对于图1中形状的玻璃，工人师傅需要在矩形玻璃中切割出来，现有两种切割方案： 【方案一】在矩形中切割掉阴影部分（如图2），其中边，分别在过点C，D作的水平线上，边，分别在过点E，F作的铅垂线上； 【方案二】在矩形中切割掉阴影部分（如图3），其中边与重合，边、与抛物线有且仅有一个公共点（即边、刚好贴在抛物线的边缘），边经过点E． 本着节约的原则，请你帮小明计算哪种切割方案更节省材料． 【答案】(1) (2)50 (3)方案二更省材料 【分析】本题考查数学建模，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，解直角三角形； （1）设抛物线的关系式为，将代入，即可求解； （2）过点B作，交于点G，过点G作，交于点P，，过点F作，证明可得，，利用三角形面积可得，再利用解直角三角形可求出点G坐标为，进而求出直线解析式为，将与抛物线解析式联立为方程组可求出点F的坐标为，最后可求出的长度； （3）可先求出，再分别求出直线、直线、直线的解析式，再利用平行线间的距离公式求出、的值，进而求出，进而可判断出方案二更节省材料. 【详解】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∵，，， ∴，，， ∵抛物线顶点为D，经过点A、点B， ∴可设抛物线的关系式为，将代入得：， 解得：， ∴抛物线的关系式为. （2）解：过点B作，交于点G，过点G作，交于点P，，过点F作，如图所示： ∵，，， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点G坐标为， ∵点C坐标为， ∴可设直线解析式为，代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，将与抛物线解析式联立为方程组得： ，解得：或（舍去） ∴点F的坐标为， ∴，， ∴， ∴. （3）解：方案一：如图所示， 由（2）得：， ∵点E、F在抛物线上，且关于对称， ∴， ∴， 又∵， ∴， 方案二：如图所示， 由（2）可得直线解析式为， ∵矩形中，， ∴可设直线解析式为，代入得：， 解得：， ∵矩形中，， ∴可设直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， 令，即， ∵边与抛物线有且仅有一个公共点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵矩形中，， ∴可设直线的解析式为， 令，即， ∵边与抛物线有且仅有一个公共点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴方案二更节省材料． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． 利用正弦函数进行求解即可． 【详解】解：根据正弦函数得，升高的高度为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数及解直角三角形的实际应用，关键是在直角三角形中使用恰当的三角函数解题；在直角三角形中，利用余弦求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．鑫鑫乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行130米，则她下降的高度为（    ） A．25米 B．50米 C．60米 D．120米 【答案】B 【分析】本题考查了坡度，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据坡度定义，设下降的高度为米，则水平距离为米，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为米， ∵坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得（舍去负值）， 故选：B． 4．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（　　） A．4 B．3+ C．5 D．2+2 【答案】C 【分析】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，在Rt△BCD中，求出BD的长，即可求出AB的长. 【详解】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=, ∴AD=. 在Rt△BCD中， ∵tanB=， ∴BD=2， ∴AB=AD+BD=3+2=5. 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理等知识才能解决问题. 5．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在梯形中，，，，，则的长（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、矩形的性质与判定，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作于点，过点作交的延长线于点，易得到四边形是矩形，进而得到，再根据，进行求解的长即可． 【详解】解：过点作于点，过点作交的延长线于点，如图： 在中，、， ， 、， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，、， ， 故选：A． 6．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在矩形中，，扇形的圆心在边上，点在边上，弧与边相切，切点为，则弧的长度为（　　） 如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上， A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质定理，矩形的性质，解直角三角形，正方形的判定定理和性质，弧长公式，综合应用这些知识点是解题关键．连接，先根据矩形的性质和与边相切，得到四边形是正方形，从而求出，进而求出，，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵弧与边相切，切点为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵弧与边相切，切点为， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图，根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故答案为：米． 8．（25-26九年级上·江苏南京·月考）雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为 米． 【答案】35 【分析】本题考查了坡比的概念以及勾股定理的应用，理解坡比的概念是解题的关键．坡比是指坡面的垂直高度和水平距离的比值，已知坡比和下滑的斜边长度，设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，根据勾股定理建立方程求解竖直方向下滑的高度． 【详解】解：设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，因为雪道坡比为，所以水平方向移动的距离为米， 根据勾股定理，可列方程：， 解得或(长度不能为负舍去)， 因此，该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为35米． 故答案为：35． 9．如图，若，，，且，则AC等于 ． 【答案】 【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，证明得到根据等腰三角形的性质得到得到进而求出CE的长度，设 根据列出方程，求出，即可求解. 【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N， , ∵, ∵ 设 解得：   故答案为 【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键. 10．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，结合坡度以及特殊角度，分别计算出、、的长度，最终得出的长度． 【详解】过点作交于点，如下图： ∵，，， 得四边形为矩形， ∴， ∵，∴， 解得， ∵的坡度为，即， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，D为边上的一点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点，在半径为的上，点在内，，，则长最小值为 ． 【答案】 【分析】证明，作的外接圆，圆心为，作的直径，连接、、、，与交于点，则，证明点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即垂直平分线段，垂足为，根据垂径定理可知，为的中点，当、、三点共线时，有最小值，的最小值为的值，即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，锐角三角函数的概念，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，解答本题的关键是掌握利用圆内接四边形的性质证明角相等的思路与方法． 【详解】解：当点落在上点处时，点落在点处，连接、，如图： ，的半径为， 是的直径， ， ， ， 在中，， ，即， ， ， ， ，即， ， 又， ， ， 作的外接圆，圆心为，作的直径，连接、、、，与交于点，则， 四边形内接于，四边形内接于， ，， 又， ， ， 在中，，， ， ， ，， ，， 点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即垂直平分线段，垂足为， 根据垂径定理可知，为的中点，` 又为的中点，为的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，的最小值为的值， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 13．某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 【答案】建筑物的高度为. 【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解. 【详解】解：过点作，垂足为.过点作，垂足为. ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，. ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∴，. 根据题意，，， 在中，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，. 又∵， ∴，解得， ∴. 答：建筑物的高度为. 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义. 14．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，海岸上有两点，相距200米，又、两点观测海上一灯塔，测得，，求灯塔到海岸的距离． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作于点，根据和的正切值得到和，根据求解的长即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 在中，， 在中，， 根据得， ， 解得米， 因此，灯塔到海岸的距离为米． 15．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图， 图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具----“碓（）”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若 分米， 分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】分米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点，连接，由可得分米，分米，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交直线于点，连接， 在中，，分米， ∴分米， ∴分米， ∵， ∴， 即， 解得分米， 答：点到水平线的距离的长为分米． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在三角形中，已知，，点D为边上一点，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关键． 过作交于，由可得，再根据可解得，再由，则即可求得，再由求解即可． 【详解】过作交于， ，， ，即， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 故的长为． 17．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $