第10讲 简单几何体的表面展开图（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

本初中数学讲义聚焦简单几何体的表面展开图核心知识点，系统梳理直棱柱（含正方体11种展开图类型）、圆柱、圆锥的展开图概念及特征，构建从几何体到展开图的转化脉络，形成知识学习支架。 资料以“知识详解+典例分析+习题巩固”为框架，典例举一反三（如由展开图确定正方体相对面、还原几何体）培养空间观念与推理意识，习题结合无盖笔筒、粮囤等生活实例提升应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第10讲 简单几何体的表面展开图（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：直棱柱的表面展开图 知识点02：圆柱的表面展开图 知识点03：圆锥的表面展开图 典例分析 （举三反三） 考点1：由正方体表面展开图确定正方体相对面 考点2：由表面展开图还原几何体 考点3：几何体展开与折叠的有关计算 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（3） 三、解答题（4） 【知识点01】直棱柱的表面展开图 1.几何体的表面展开图：将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. 2.直棱柱的表面展开图 直棱柱的表面展开图有以下特征： （1）两个底面的展开图全等； （2）侧面展开图均为矩形，且各个矩形有一条边相等. 常见直棱柱的表面展开图 直棱柱 表面展开图举例 三棱柱 四棱柱 五棱柱 3.正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 类型 图示（共11种） 一四一型 二三一型 （或一三二 型） 二二二型 三三型 【知识点02】圆柱的表面展开图 1.圆柱的概念 如图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（ ）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体. , 旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆. 旋转所成的面就是圆柱的侧面， 不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线. 2.圆柱的表面展开图 如果沿圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图.一般地，一个底面半径为 ，母线长为 的圆柱的表面展开图如图所示. 3.圆柱的侧面积和全面积 圆柱的侧面积 ；圆柱的全面积 （其中 为底面半径， 为母线长）. 【知识点03】圆锥的表面展开图 1.圆锥的概念 如图，圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（ ）旋转一周， 它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边 旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边 旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边 不论转动到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. 2.圆锥的表面展开图 一般地，一个底面半径为 ，母线长为 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长 ，弧长为底面圆周长 的扇形.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，如图. 注意 （1）扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；（2）扇形的面积等于圆锥的侧面积. 3.圆锥的侧面积、全面积和侧面展开图扇形的圆心角度数 如图，圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，侧面展开图扇形的圆心角为 ，则 圆锥的侧面积 ；圆锥的全面积 ； 圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数 . 关于 的推证 方法一 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得 ， . 方法二 根据扇形的面积等于圆锥的侧面积得 ， . 【题型一】由正方体表面展开图确定正方体相对面 【典例1-1】如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【典例1-2】如图，是一个正方体的表面展开图，则数字“2”所对的面是（　　） A．1 B．7 C．快 D．乐 【典例1-3】如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是 ． 【变式1-1】如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“前”字所在面相对的面上的字是（    ） A．祝 B．你 C．似 D．锦 【变式1-2】为纪念我市成功创建“全国文明城市”，某玩具厂特制了一批正方体模具，其展开图如图所示，则在原正方体中，“全”字所在面的对面上所标的字是（    ） A．文 B．明 C．城 D．市 【变式1-3】如图是一个正方体的平面展开图，其中每两个相对面上的数的和都相等，则A表示的数字为 . 【题型二】由表面展开图还原几何体 【典例2-1】下列图形是棱锥侧面展开图的是（　　） A．   B．   C．   D．   【典例2-2】下面图形中，是直棱柱的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】如图是某几何体的表面展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．直三棱柱 【变式2-1】如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【变式2-2】下列图形不可能是长方体展开图的是(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【题型三】几何体展开与折叠的有关计算 【典例3-1】一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 【典例3-2】仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或立方体）铁盒（不浪费材料）．甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒．现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要②号铁片 块． 【典例3-3】每个正方体相对两个面上写的数之和等于2． （1）求下面正方体看不见的三个面上的数字的积． （2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图），求所有看不见的七个面上所写的数的和．      【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，BC=CD=4，AB=7，AB⊥BC，CD⊥BC．把四边形ABCD绕AB旋转一周，则该几何体的表面积为(　　) A．48π B．56π C．68π D．72π 【变式3-2】如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号） 【变式3-3】一块材料的形状是等腰△ABC，底边 BC=120 cm，高 AD=120 cm． (1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC 上（如图 1），则这个正方形的边长为多少？ (2)若把这块材料加工成正方体零件（如图 2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？ 一、单选题 1．下列图形不是一个几何体的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 2．一个圆柱的侧面展开图是个正方形，这样圆柱的高和底面直径的比是（　　） A． B． C． D． 3．棱长为1的正方体容器内装有部分液体，若无论如何摆放水平液面不会出现三角形，则这部分液体的体积不可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个正六棱柱的表面展开后正好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出3cm，宽留出0.5cm，则该六棱柱的侧面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图是某工件的三视图．则此工件的表面积为（    ） A．20πcm2 B．36πcm2 C．56πcm2 D．24πcm2 二、填空题 6．圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为 ． 7．已知圆柱的底面圆的半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是 ． 8．如图1是卷筒纸，如图2是它的轴截面的示意图，将厚度为0.02cm的卷筒纸卷在直径为10cm的圆筒上，卷成的卷纸直径为20cm． （1）求卷纸围成的轴截面积 ． （2）求这卷卷筒纸的总长度 ．（取3.14） 三、解答题 9．如图是一个无盖长方体的展开图． (1)若①②④⑤四个面上分别标有x、、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，分别求出x、y的值； (2)若将这个展开图折叠成一个无盖长方体，请根据图中所给数据求出该无盖长方体的表面积．（用含c的式子表示） 10．宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 11．小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 12．有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图. （1）画出该粮囤模型的俯视图； （2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算： ①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？ ②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留和根号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 简单几何体的表面展开图（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：直棱柱的表面展开图 知识点02：圆柱的表面展开图 知识点03：圆锥的表面展开图 典例分析 （举三反三） 考点1：由正方体表面展开图确定正方体相对面 考点2：由表面展开图还原几何体 考点3：几何体展开与折叠的有关计算 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（3） 三、解答题（4） 【知识点01】直棱柱的表面展开图 1.几何体的表面展开图：将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. 2.直棱柱的表面展开图 直棱柱的表面展开图有以下特征： （1）两个底面的展开图全等； （2）侧面展开图均为矩形，且各个矩形有一条边相等. 常见直棱柱的表面展开图 直棱柱 表面展开图举例 三棱柱 四棱柱 五棱柱 3.正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. 类型 图示（共11种） 一四一型 二三一型 （或一三二 型） 二二二型 三三型 【知识点02】圆柱的表面展开图 1.圆柱的概念 如图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（ ）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体. , 旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆. 旋转所成的面就是圆柱的侧面， 不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线. 2.圆柱的表面展开图 如果沿圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图.一般地，一个底面半径为 ，母线长为 的圆柱的表面展开图如图所示. 3.圆柱的侧面积和全面积 圆柱的侧面积 ；圆柱的全面积 （其中 为底面半径， 为母线长）. 【知识点03】圆锥的表面展开图 1.圆锥的概念 如图，圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（ ）旋转一周， 它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边 旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边 旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边 不论转动到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. 2.圆锥的表面展开图 一般地，一个底面半径为 ，母线长为 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长 ，弧长为底面圆周长 的扇形.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，如图. 注意 （1）扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；（2）扇形的面积等于圆锥的侧面积. 3.圆锥的侧面积、全面积和侧面展开图扇形的圆心角度数 如图，圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，侧面展开图扇形的圆心角为 ，则 圆锥的侧面积 ；圆锥的全面积 ； 圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数 . 关于 的推证 方法一 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得 ， . 方法二 根据扇形的面积等于圆锥的侧面积得 ， . 【题型一】由正方体表面展开图确定正方体相对面 【典例1-1】如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字和实数运算，倒数，绝对值，相反数的定义，根据正方体展开图的特征可以求出“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2，进而求出a，b，c的值． 【详解】解：由图形可知“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2， ∵a面上的数与它对面的数互为倒数， ，故选项A错误； ∵b面上的数等于它对面上的数的绝对值， ； ∵c面上的数与它对面的数互为相反数， ， 故选：C． 【典例1-2】如图，是一个正方体的表面展开图，则数字“2”所对的面是（　　） A．1 B．7 C．快 D．乐 【答案】B 【分析】根据几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意， 数字“2”所对的面是“7”． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 【典例1-3】如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积．根据圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算． 【详解】解：这个圆柱的侧面积． 故答案为：． 【变式1-1】如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“前”字所在面相对的面上的字是（    ） A．祝 B．你 C．似 D．锦 【答案】B 【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“祝”字与“似”字在相对面上，“程”字与“锦”字在相对面上，“前”字与“你”字在相对面上， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键． 【变式1-2】为纪念我市成功创建“全国文明城市”，某玩具厂特制了一批正方体模具，其展开图如图所示，则在原正方体中，“全”字所在面的对面上所标的字是（    ） A．文 B．明 C．城 D．市 【答案】B 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：由正方体的展开图特点可得：与“全”字所在的面相对的面上标的字应是“明”． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，掌握正方体相对面的特点是解题的关键． 【变式1-3】如图是一个正方体的平面展开图，其中每两个相对面上的数的和都相等，则A表示的数字为 . 【答案】14 【分析】利用正方形及其表面展开图的特点可知，-2与A，x+4与3x，3与所在的面为相对面，再根据在这个正方形中相对面上的数的和都相等，列出方程即可得出A所表示的数. 【详解】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中-2与A，x+4与3x，3与所在的面为相对面， ∵在这个正方形中相对面上的数的和都相等， ∴-2+A=x+4+3x=3+， 解得x=2，A=14. 故答案为14. 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题 【题型二】由表面展开图还原几何体 【典例2-1】下列图形是棱锥侧面展开图的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键． 由棱锥的侧面展开图的特征可知答案． 【详解】解：棱锥的侧面展开图是三角形． 故选：D． 【典例2-2】下面图形中，是直棱柱的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直三棱柱及其表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：B中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故能围成三棱柱，是三棱柱的表面展开图． 其余选项不能围成三棱柱． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确棱柱的展开图的特征，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧． 【典例2-3】如图是某几何体的表面展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．直三棱柱 【答案】C 【分析】根据常见立体图形的展开图特点，结合展开图进行解答． 【详解】解：一个圆与一个扇形可围成圆锥． 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键．注意一个扇形与一个圆也可围成圆锥． 【变式2-1】如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【答案】A 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图． 【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， ∴展开图可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 【变式2-2】下列图形不可能是长方体展开图的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方体展开图与正方体展开图类似，不同的是正方体展开图的六个面都是相同的正方形，长方体展开图只有对面是相同的长方形（特殊情况有相对的两个面是相同的正方形）．图A展开图折叠后会产生重叠现象，不是长方体展开图． 【详解】解：A、此展开图折叠后，出现重叠现象，故A符合题意； B、此展开图是长方体的展开图，故B不符合题意； C、此展开图是长方体的展开图，故C不符合题意； D、此展开图是长方体的展开图，故D不符合题意； 故答案为：A． 【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，长方体展开图比较复杂．长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图分“1-4-1”型，有27种；“1-3-2”型，18种；“2-2-2”型，6种；“3-3”型，3种，共计54种． 【变式2-3】下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体、长方体、三棱柱及四棱锥的展开图依次进行判断即可． 【详解】A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图； B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图； C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图； D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】题目主要考查常见几何体的平面展开图，熟练掌握各种几何体的展开图是解题关键． 【题型三】几何体展开与折叠的有关计算 【典例3-1】一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 【答案】B 【分析】计算三棱柱的无盖表面积即可． 【详解】解：由题意知，笔筒的表面积为：（平方厘米）． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了几何体的表面积．解题的关键在于正确的运算． 【典例3-2】仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或立方体）铁盒（不浪费材料）．甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒．现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要②号铁片 块． 【答案】400 【分析】根据题意得出甲型盒是由两个①两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成，然后得出结论即可． 【详解】解：根据题意得，甲型盒是由两个①两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成， （块）， 故答案为：400． 【点睛】本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键． 【典例3-3】每个正方体相对两个面上写的数之和等于2． （1）求下面正方体看不见的三个面上的数字的积． （2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图），求所有看不见的七个面上所写的数的和．      【答案】（1）－4；（2） 【分析】（1）根据相对面上的数字的和等于2，分别求出看不见的三个数字，然后相乘即可得解； （2）根据相对面上的数字的和等于2，分别求出看不见的七个数字，然后相加即可得解． 【详解】解：（1）∵每个正方体上相对两个面上写的数字之和都等于2， ∴正方体的下底面数字是1，后面的数字是4，左面的数字是－1， ∴它们的积是； （2）∵每个正方体上相对两个面上写的数字之和都等于2， ∴左边的正方体的下底面数字是1，后面的数字是，左右两面的数字的和是2， 右面的正方体下底面数字是6，左面的数字是－1，后面的数字是0， ∴它们的和是1＋＋2＋6−1＋0＝8． 【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，需要注意左边正方体的左右两面都看不见，所以不需要知道具体数字，只要利用它们的和等于2即可． 【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，BC=CD=4，AB=7，AB⊥BC，CD⊥BC．把四边形ABCD绕AB旋转一周，则该几何体的表面积为(　　) A．48π B．56π C．68π D．72π 【答案】C 【分析】首先判断该四边形经过旋转后得到的几何体的形状是一个下面是圆柱，上面是圆锥的几何体，然后求其表面积即可． 【详解】解：作DE⊥AB于点E， 把四边形ABCD绕直线AB旋转一周形成一个下面是圆柱，上面是圆锥的几何体， 圆柱的高CD=4，底面半径BC=4，圆锥的母线长AD==5， ∴该几何体的表面积为πRl+2πRh+πR2=π×4×5+2π×4×4+π×16=68π， 故选：C． 【点睛】本题主要考查几何体的表面积，圆柱表面积公式为：；圆锥的表面积公式为：.解此题的关键在于根据题意准确得到旋转后的几何体. 【变式3-2】如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号） 【答案】（75+360）cm2． 【详解】试题分析：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积． 试题解析：∵其高为12cm，底面半径为5， ∴其侧面积为6×5×12=360cm2 密封纸盒的底面积为：12×5××5×=75cm2， ∴其全面积为：(75+360)cm2. 【变式3-3】一块材料的形状是等腰△ABC，底边 BC=120 cm，高 AD=120 cm． (1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC 上（如图 1），则这个正方形的边长为多少？ (2)若把这块材料加工成正方体零件（如图 2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？ 【答案】(1)这个正方形的边长为60cm； (2)正方体的表面积为3456cm2 【分析】（1）设正方形的边长为xcm，证明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出x值即可； （2）设正方体的棱长为acm，同样证明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出a值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为xcm， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC， ∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∵BC=120 cm， AD=120 cm， ∴， 解得：x=60， 答：方形的边长为60cm； （2）解：设正方体的棱长为acm， 由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， 解得：a=24 ∴正方体的表面积为6×242=3456cm2． 【点睛】本题考查相似三角形的应用举例，涉及正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、正方体的展开图和表面积等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 一、单选题 1．下列图形不是一个几何体的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用常见几何体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：A．图形是三棱锥的表面展开图，本选项不符合题意； B．图形是三棱柱的表面展开图，本选项不符合题意； C．不是一个几何体的表面展开图，本选项不符合题意； D．图形是四棱柱的表面展开图，本选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是掌握常见几何体的展开图的特征． 2．一个圆柱的侧面展开图是个正方形，这样圆柱的高和底面直径的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆柱的计算和几何体的展开图，根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式解答即可．关键是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用． 【详解】解：设圆柱的底面直径为， 底面周长是， 这个圆柱的侧面展开图是个正方形， 圆柱的高也是， 则这样的圆柱的高和底面直径的比是， 故选：C． 3．棱长为1的正方体容器内装有部分液体，若无论如何摆放水平液面不会出现三角形，则这部分液体的体积不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，画出图形，可得要使无论如何摆放水平液面不会出现三角形，则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积，然后求出三棱锥的体积和多面体的体积即可判断． 【详解】解：如下图所示 要使无论如何摆放水平液面不会出现三角形，则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积 ∵三棱锥的体积=×AB·AD·A1A=×1×1×1= 多面体的体积=－=1×1×1－×1×1×1= 即＜液体的体积＜ 只有A选项不在此范围内 故选A． 【点睛】此题考查的是求棱柱、棱锥的体积，掌握棱柱、棱锥的体积公式是解决此题的关键． 4．如图，一个正六棱柱的表面展开后正好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出3cm，宽留出0.5cm，则该六棱柱的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，由题意得到a=1，，再由六棱柱的侧面积是6ah求解. 【详解】解：设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm， 挪动前长为，宽为， 挪动后长为，宽为4acm， 由题意得：. ， ∴六棱柱的侧面积是， 故选A． 【点睛】本题考查正六棱柱的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 5．如图是某工件的三视图．则此工件的表面积为（    ） A．20πcm2 B．36πcm2 C．56πcm2 D．24πcm2 【答案】B 【分析】根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案． 【详解】解：由三视图，得： OB=8÷2=4cm，OA=3cm， 由勾股定理得AB==5cm， 圆锥的侧面积为：×8π×5=20πcm²， 圆锥的底面积为：π×4²=16πcm²， ∴圆锥的表面积为：20π+16π=36πcm². 故答案为：B. 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，利用三视图得出圆锥是解题关键，注意圆锥的侧面积等于圆锥的底面周长与母线长乘积的一半． 二、填空题 6．圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为 ． 【答案】10π 【分析】根据已知中圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm，代入圆柱侧面积公式，可得答案． 【详解】解：∵圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm， ∴圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×5=10πcm2， 故答案为：10π． 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的侧面积公式，，直接代入运算即可． 7．已知圆柱的底面圆的半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可，熟练掌握圆柱侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵圆柱的底面圆的半径为，母线长为， ∴圆柱的侧面积是， 故答案为：． 8．如图1是卷筒纸，如图2是它的轴截面的示意图，将厚度为0.02cm的卷筒纸卷在直径为10cm的圆筒上，卷成的卷纸直径为20cm． （1）求卷纸围成的轴截面积 ． （2）求这卷卷筒纸的总长度 ．（取3.14） 【答案】 【分析】（1）根据圆的面积公式，即可求出答案． （2）如图，卷筒纸卷着的时的面积与拉开后的面积相等，设展开后的长度为，根据长方形面积公式，即可求出答案． 【详解】（1）卷纸围成的轴截面积为： 故答案为：． （2）如图，卷筒纸卷着的时的面积与拉开后的面积相等，设展开后的长度为 厚度为0.02cm ，取3.14 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆及长方形的面积计算公式，利用面积不变建立等量关系是解题的关键． 三、解答题 9．如图是一个无盖长方体的展开图． (1)若①②④⑤四个面上分别标有x、、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，分别求出x、y的值； (2)若将这个展开图折叠成一个无盖长方体，请根据图中所给数据求出该无盖长方体的表面积．（用含c的式子表示） 【答案】(1) (2)46 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． （1）根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，字两端是对面判断即可； （2）利用长方体的表面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知： 与5相对，与相对， ； （2）无盖长方体的表面积为：， 无盖长方体的表面积为46． 10．宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， 先求出，即可知折叠为长方体的长、宽、高分别为，再根据长方体的表面积和体积公式得出答案． 【详解】解：由，，可得， 长方体的表面积：， 体积：． 11．小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长为；宽为 (2) 【分析】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽． （1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长； （2）利用长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：宽为：， 长为：， 答：长方体盒子的长为，宽为。 （2）解：体积：， 答：这个包装盒的体积是． 12．有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图. （1）画出该粮囤模型的俯视图； （2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算： ①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？ ②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留和根号） 【答案】（1）见解析；（2）①需要平方米油毡；②最多可以存放立方米粮食. 【分析】（1）根据三视图的画法画图即可. (2)根据圆锥侧面积计算公式即可解答. (3)根据圆柱体积计算公式即可解答. 【详解】解：（1） （2） 答：需要平方米油毡. （3）解： 答：最多可以存放立方米粮食. 【点睛】本题考查图形的三视图画法和圆锥侧面积计算公式、圆柱体积计算公式，掌握相关公式是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $