第四单元 第3课时 长方体的体积(分层作业)数学北师大版五年级下册

第四单元 第3课时 长方体的体积 分层作业 1．长方体的体积＝（ ），用字母表示为（ ）（a、b、h分别表示长、宽、高）。 2．正方体的体积＝（ ），用字母表示为（ ）（a表示棱长），注意a³读作“a的立方”，表示3个a相乘，不是a×3。 3．长方体和正方体体积的通用公式：体积＝（ ），用字母表示为（ ）（S表示底面积）。 4．强调“单位统一”：计算体积时，长、宽、高（或棱长）的单位必须相同，最终体积单位是对应的立方单位。 5．公式推导：用棱长1厘米的小正方体摆长方体，摆的总个数＝每行个数（长）×每列个数（宽）×层数（高），总个数就是长方体的体积。 1．如图是一个棱长为5厘米的正方体木块，从各个面正中间打一个边长为1厘米的方孔（直至其对面），这木块的体积是（    ）立方厘米。 A．25 B．112 C．125 D．150 2．观察下图，如果每个小正方体的体积为1立方厘米，那么，图中的长方体能装（    ）个这样的小正方体。 A．9 B．12 C．27 D．36 3．如图，甲的体积与乙的体积相比较，（    ）大。 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 4．我国古代数学名著《九章算术》中指出底面为正方形的长方体，体积是“方自乘，以高乘之即积尺”。意思是先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积。如果底面边长为a，高为h，底面积为S，体积为V。下列选项（    ）表述的是《九章算术》中这种求体积的方法。 A．V＝Sh B．S＝a2 C．V＝a2h D．V＝4ah 5．把一块棱长是3厘米的正方体橡皮泥捏成一个长是5厘米，宽是2厘米的长方体，这个长方体的高是（    ）厘米。 A．0.9 B．1.8 C．2.7 D．5.4 6．将一个长8cm，宽4cm，高5cm的长方体截成一个体积最大的正方体，截成的正方体的体积是（    ）。 A．64cm3 B．125cm3 C．160cm3 D．512cm3 7．一个横截面面积是8dm²的方木，长3dm，这根方木的体积是( )dm³。 8．如图，三个棱长均为2cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3，它的表面积比原来减少( )cm2。 9．一个长方体盒子从里面量，底面积是36cm2，高是12cm。这个盒子容积有( )cm3。 10．一个长方体的长是8cm，宽和高都是5cm，这个长方体有2个面是( )形，其余的面是( )形，这个长方体的棱长和是( )cm，体积是( )cm3． 11．一个长方体木块，长6厘米、宽4厘米、高5厘米，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。如果将它切成两个长方体，表面积至少增加( )平方厘米。 12．如图，5个棱长都是3分米的正方体纸箱放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米。若继续搭，至少还需要( )个这样的正方体纸箱，才能搭成一个更大的正方体。 13．计算下列图形的表面积和体积。 表面积：            体积： 表面积：            体积： 表面积：            体积： 14．一个长方体木块，长9厘米、宽6厘米、高7厘米。把这个木块削成了一个最大的正方体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 15．淘气家有一个纸巾盒（如下图，单位：厘米）。一包纸巾长22厘米、宽10厘米，体积为2200立方厘米。这包纸巾能装进这个纸巾盒吗？请说明理由。 16．如下图，把这个长方体左面沿长的方向截去5厘米之后，表面积减少40平方厘米，并且剩下部分是一个正方体。求原来长方体的体积是多少立方厘米？ 17．下面长方体截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少？ 18．一个长方体，如果仅仅长增加3厘米，则体积就增加45立方厘米；如果仅仅宽增加4厘米，则体积就增加160立方厘米；如果仅仅高增加5厘米，则体积就增加120立方厘米。求原长方体的表面积。 19．笑笑家有一个收纳盒（如图1），她想把家里散落的小包纸巾（如图2）分别放入收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。这个收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？（单位：厘米） 20．素养提升：一个长10厘米、宽8厘米的长方体容器中的水深6厘米。现将一根底面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与容器底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深多少厘米？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】从各个面中间打一个边长为1厘米的方孔（直至其对面），所以只要打三次，每次打下的体积是（立方厘米），但中间的交叉的部分是一个的立方体，从每一面打通时都遇到它，所以用正方体木块的体积减去三次打下的就多减了两次这个的立方体；据此解答即可。 【详解】 （立方厘米） 因此，这木块的体积是112立方厘米。 故答案为：B 2．D 【分析】从图中可知，这个长方体的长、宽、高分别装有3个、4个、3个相同的小正方体，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出长方体的体积，体积是几就能装几个这样的小正方体。 【详解】3×4×3＝36（立方厘米） 36÷1＝36（个） 图中的长方体能装36个这样的小正方体。 故答案为：D 3．C 【分析】观察图形可知，甲、乙两个图形的长都是由3个相同的小正方体的棱长组成，宽和高都是由2个相同的小正方体的棱长组成，说明它们的长、宽、高都是一样的，且都缺少1个相同的小正方体；用大长方体的体积减去1个小正方体的体积，即是甲、乙的体积，所以它们的体积一样大。 【详解】从图中可知，两个大长方体的长、宽、高相等，则大长方体的体积相等，每个小正方体的体积也相等； 甲的体积＝乙的体积＝大长方体的体积－1个小正方体的体积 所以，甲的体积与乙的体积相比较，一样大。 故答案为：C 4．C 【分析】题目中提到“先用底面边长乘边长，再乘高得到长方体的体积”，底面边长为a，那么“底面边长乘边长”就是a×a＝a2。再“乘高h”，所以按照这种方法，体积V＝a2×h＝a2h。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．V＝Sh，其中S是底面积，这是长方体体积的一般公式（底面积×高），但不是题干中《九章算术》所描述的先由底面边长计算的方法，所以该选项错误。 B．S＝a2，这只是计算底面正方形面积的公式，不是体积公式，所以该选项错误。 C．V＝a2h，与根据题干分析得出的“底面边长乘边长（a2）再乘高（h）”的体积计算方法一致，所以该选项正确。 D．V＝4ah，不符合题干中描述的体积计算逻辑，所以该选项错误。 选项C中的公式符合题意。 故答案为：C 5．C 【分析】根据题意可知，正方体橡皮泥捏成一个长方体，正方体的体积和长方体的体积相等，根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体的体积，也就是长方体的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。 【详解】3×3×3÷（5×2） ＝9×3÷10 ＝27÷10 ＝2.7（厘米） 把一块棱长是3厘米的正方体橡皮泥捏成一个长是5厘米，宽是2厘米的长方体，这个长方体的高是2.7厘米。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式、正方体体积公式是解答本题的关键。 6．A 【分析】由于在长方体中截成一个体积最大的正方体，即正方体最大，那么当正方体的棱长等于长方体的长、宽、高中最短的一条边，即正方体的棱长是4cm，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式即可求解。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 所以截成的正方体的体积是64cm3。 【点睛】本题主要考查正方体的体积公式，要注意正方体的棱长是对应长方体中最短的一条边。 7．24 【分析】已知一个横截面面积是8dm²的方木，即方木的底面积是8dm²，长3dm，即方木的高是3dm，根据长方体的体积＝底面积×高，即可算出这根方木的体积。 【详解】（立方分米） 一个横截面面积是8dm²的方木，长3dm，这根方木的体积是24dm³。 8． 56 24 16 【分析】将三个棱长均为2cm的正方体拼成一个长方体，长方体的长为2×3＝6cm、宽为2cm、高为2cm，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”即可求出长方体的表面积；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”即可求出长方体的体积；将三个小正方体拼成一个长方体，减少了4个正方形面的面积，根据“正方形面积＝边长×边长”求出1个面的面积，再乘4即可求出减少的表面积。 【详解】2×3＝6（cm） （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝（24＋4）×2 ＝28×2 ＝56（cm2） 6×2×2 ＝12×2 ＝24（cm3） 2×2×4 ＝4×4 ＝16（cm2） 因此，这个长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3，它的表面积比原来减少16cm2。 9． 432 【分析】已知长方体盒子从里面量，底面积是36cm2，高是12cm，根据“长方体体积（容积）＝底面积×高”即可求出长方体盒子的容积。 【详解】36×12＝432（cm3） 所以这个盒子容积有432cm3。 10． 正方 长方 72 200 【分析】已知长方体的长是8cm，宽和高都是5cm，长方体有6个面，相对的面完全相同，由于宽和高都是5cm，因此宽和高相等的两个面是正方形，其余四个面是由长和宽或长和高组成的长方形。 根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”可求出长方体的棱长总和；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”即可求出长方体的体积。 【详解】由于宽和高都是5cm，因此宽和高相等的两个面是正方形，其余四个面是由长和宽或长和高组成的长方形。 （8＋5＋5）×4 ＝（13＋5）×4 ＝18×4 ＝72（cm） 8×5×5 ＝40×5 ＝200（cm3） 因此，这个长方体有2个面是正方形，其余的面是长方形，这个长方体的棱长和是72cm，体积是200cm3。 11． 120 148 40 【分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出长方体的体积；再根据“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出长方体的表面积；把一个长方体切成两个长方体，其表面积增加两个切面的面积，前后两个面面积最大，左右两个面面积最小，要使表面积增加最少，可以平行于最小面切割，据此回答。 【详解】体积：6×4×5＝120（立方厘米） 表面积：（6×4＋4×5＋6×5）×2 ＝（24＋20＋30）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 表面积最少增加：4×5×2＝40（平方厘米） 所以一个长方体木块，长6厘米、宽4厘米、高5厘米，它的体积是120立方厘米，表面积是148平方厘米。如果将它切成两个长方体，表面积至少增加40平方厘米。 12． 90 3 【分析】（1）要求露在外面的面积，已知正方体的棱长是3分米，可得一个面的面积，从右面看有3个面，从上面看有4个面，从前面看有3个面，共有个面，即可求出露在外面的面积是多少； （2）现有正方体棱长为3分米，要搭成更大的正方体，棱长至少由2个小正方体棱长组成，再计算更大正方体所需小正方体总数，用小正方体总数减去现有的小正方体数量，即可求出至少还需要多少小正方体才能搭成一个更大的正方体。 【详解】（1）一个面的面积：（平方分米） 面数： （个） 总面积：（平方分米） （2）所需小正方体总数： （个） 还需要小正方体数量：（个） 因此如图，5个棱长都是3分米的正方体纸箱放在墙角，露在外面的面积是90平方分米。若继续搭，至少还需要3个这样的正方体纸箱，才能搭成一个更大的正方体。 13．270cm2；243cm3 1.5dm2；0.125dm3 580cm2；776cm3 【分析】（1）这是一个长方体，长方体表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（其中a为长，b为宽，h为高），体积公式为V＝abh。将数值代入公式计算即可。 （2）这是一个正方体，正方体表面积公式为S＝6a2（其中a为棱长），体积公式为V＝a3。将数值代入公式计算即可。 （3）该图形可看作一个大长方体挖去一个小正方体。表面积方面，挖去小正方体后，原来大长方体表面减少了小正方体2个面的面积，但同时又增加了小正方体4个面的面积，总体相当于增加了小正方体2个面的面积，正方体一个面的面积为：a2（其中a为棱长）；体积方面，用大长方体体积减去小正方体体积即可。 【详解】（1）表面积： （9×9＋9×3＋9×3）×2 ＝（81＋27＋27）×2 ＝135×2 ＝270（cm2） 体积：9×9×3＝243（cm3） 所以，这个长方体的表面积为270cm2，体积为243cm3。 （2）表面积： 6×0.52 ＝6×0.25 ＝1.5（dm2） 体积：0.53＝0.125（dm3） 所以，这个正方体的表面积为1.5dm2，体积为0.125dm3。 （3）表面积： （12×10＋12×7＋10×7）×2＋42×2 ＝（120＋84＋70）×2＋16×2 ＝274×2＋16×2 ＝548＋32 ＝580（cm2） 体积：12×10×7－43 ＝840－64 ＝776（cm3） 所以，这个立体图形的表面积为580cm2，体积为776cm3。 14． 162立方厘米 【分析】要削成最大的正方体，正方体的棱长由长方体的最短边决定。原长方体长9厘米、宽6厘米、高7厘米，最短边为6厘米，所以正方体棱长为6厘米。 根据“长方体体积＝长×宽×高”求出长方体的体积，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体的体积，最后用长方体的体积减去正方体的体积即可求出削去部分的体积。据此解答。 【详解】9×6×7 ＝54×7 ＝378（立方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 378－216＝162（立方厘米） 答：削去部分的体积是162立方厘米。 15．不能，纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，则长方体的高＝长方体的体积÷长÷宽，根据公式代入数据计算出纸巾的高，并和纸巾盒的高9厘米作比较。如果纸巾盒高度＞纸巾高度，则这包纸巾能装进这个纸巾盒，反之则装不进去。据此列式解答即可。 【详解】2200÷22÷10 ＝100÷10 ＝10（厘米） 纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米，这包纸巾放不进纸巾盒。 答：这包纸巾不能装进这个纸巾盒。 16．28立方厘米 【分析】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，剩下部分是一个正方体，说明长方体的宽和高相等，所以表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和，每个长方形的长是5厘米，宽是正方体的棱长。 已知表面积减少了40平方厘米，那么一个这样的长方形的面积是40÷4＝10平方厘米。又因为长方形的长是5厘米，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得长方形的宽（即正方体的棱长）为10÷5＝2厘米。原来长方体的长比正方体的棱长多5厘米，所以原来长方体的长为2＋5＝7厘米。原来长方体的宽和高都等于正方体的棱长，即2厘米，根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。 【详解】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和。 40÷4＝10（平方厘米） 10÷5＝2（厘米） 2＋5＝7（厘米） 7×2×2＝28（立方厘米） 答：原来长方体的体积是28立方厘米。 17．93立方厘米 【分析】由题意可知，截去最大的正方体，这个正方体的棱长是长方体的最短边，即3厘米，根据和，用长方体的体积减正方体的体积即可得解。 【详解】 （立方厘米） 答：剩下的体积是93立方厘米。 18．158平方厘米 【分析】长增加3厘米，则体积就增加45立方厘米，增加的是一个长方体，用45除以3可得到宽乘高的积，同样的思路，160除以4可得到长乘高的积，120除以5可得到长乘宽的积。根据，代入数据计算即可得解。 【详解】 （平方厘米） 答：原长方体的表面积是158平方厘米。 19．12包 【分析】收纳盒的长为15厘米，宽是14厘米，高是6厘米。收纳盒的长与纸巾的长重合，可以放（15÷5）包纸巾；收纳盒的宽与纸巾的宽重合，可以放（14÷7）包纸巾；收纳盒的高与纸巾的高重合，可以放（6÷3）包纸巾，最后相乘求出收纳盒放置纸巾的总数量，据此解答。 【详解】（15÷5）×（14÷7）×（6÷3） ＝3×2×2 ＝6×2 ＝12（包） 答：这个收纳盒中最多可以放置12包纸巾。 20．8厘米 【分析】长方体容器中放入长方体铁棒后，水的体积没有变化，由于放入的铁棒占据了部分底面积，所以底面积等于原来长方体容器的底面积－铁棒的底面积；这时，水的形状变成一个中间被抽去一个长方体的中空的长方体，求这样一个中空的长方体的体积，根据：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，即可求出现在水的高度。 【详解】10×8×6÷（10×8－20） ＝80×6÷（80－20） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：现在水深8厘米。 【点睛】明确水的体积不变以及熟练掌握和运用长方体体积公式是解答本题的关键。 $