第10讲 抛物线（知识梳理+5大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第10讲 抛物线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点2：抛物线的标准方程 1、推导过程 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 2、抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 知识点3：抛物线的几何性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点4：方法技巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点5：二级结论 1、点P（）与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． x y O F A B M N α 2、p（p＞0）的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有 以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 4、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为 【题型1 抛物线的定义】 例1（22-23高二上·上海闵行·期末）是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】D 【分析】设动圆的圆心为，因为圆是过定点与定直线相切的，所以，由抛物线的定义，即可判断轨迹． 【详解】解：设动圆的圆心为，定直线为， 因为圆是过定点与定直线相切的， 所以， 即圆心到定点和定直线的距离相等．且在外， 由抛物线的定义可知， 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选：D． 例2（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 【答案】抛物线 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析判断. 【详解】因为，可知， 且抛物线的定义：动点到定点距离等于到定直线距离， 所以点P的轨迹是抛物线. 故答案为：抛物线. 变式1（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且，设O是坐标原点，则线段OM的长为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求得点M的坐标，进而求得|OM|． 【详解】设，由抛物线定义得，又因为，所以， 得，所以． 故答案为：． 变式2（23-24高二下·上海·月考）拋物线的焦点到其准线的距离是 ． 【答案】6 【分析】由焦点到准线的距离为可求得结果 【详解】由，得，得， 因为抛物线的焦点到准线的距离为， 所以拋物线的焦点到其准线的距离是6， 故答案为：6 变式3（24-25高二上·上海·课后作业）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两条抛物线的焦点到对应准线的距离分别为、.给出下面四个关系式：①；②；③；④.其中正确的关系式为 . 【答案】①②④ 【分析】由已知，结合图象，把直线向左平移1个单位得到直线，可得到的距离与到的距离相等，则圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，可得，同理可得，当时，拋物线不完整，计算即可判断所给四个关系式. 【详解】由题意知圆的半径为1，设圆的半径为，当圆与圆相外切时，如图所示， 则有点到直线的距离为，， 把直线向左平移1个单位得到直线，可得到的距离与到的距离相等， 故圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以， 当圆与圆相内切时，如图所示， 把直线向右平移1个单位得到直线，可得到的距离与到的距离相等， 故圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以， 当时，拋物线不完整，所以 所以，，， . 故答案为:①②④. 【题型2抛物线的标准方程】 例3（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 例4（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标求标准方程. 【详解】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线C的标准方程为． 故答案为：． 变式1（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点和准线位置可知其开口方向，并求得其焦准距，即得抛物线方程. 【详解】由准线方程得，解得， 且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴上），故可设，代入即得，． 故答案为：. 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】分或(）两种情况讨论，由面积列方程即可求解 【详解】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得， 所以抛物线的方程是或. 故答案为：或. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米．水面升高1米后，水面宽是多少米？ 【答案】米 【分析】利用抛物线的标准方程求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则,    设拱桥满足的抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为， 当时，， 所以此时的水面宽为米. 【题型3抛物线几何性质的简单应用】 例5（24-25高二上·上海·期中）若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】将焦点坐标代入直线方程可得. 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B 例6（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点P、Q分别为抛物线C：与圆M：上的动点，且的最小值为2，则抛物线C的焦点到准线的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线与圆的性质确定取最小值时端点位置，从而求得值后可得结论． 【详解】如图圆心在轴正半轴，抛物线是顶点在原点，焦点在轴负半轴的抛物线， 当与（圆与轴的交点在线段上），与原点重合时，最小， 所以，，即抛物线C的焦点到准线的距离为3. 故答案为：3. 变式1（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 变式2（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】； 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 所以取得最小值，此时三点共线，即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 点的坐标为.    【题型4直线与抛物线】 例7（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【详解】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D 例8（22-23高二上·上海浦东新·月考）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线方程求解，即可得出结果. 【详解】当斜率不存在时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； 当斜率存在时，设为k，则直线方程为， 联立，得， ①当时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； ②当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点. 所以满足题意的直线有3条. 故选：C 变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解. 【详解】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上， 因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点， 即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为， 联立，化简得，， 由，即， 因式分解为：，解得， 又因为，所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式2（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 【答案】0或 【分析】由题意知，直线斜率存在，且经过定点，由图知，过点斜率存在且与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条与轴平行，一条与与抛物线相切,求之即得. 【详解】    如图，因直线的斜率为,且经过定点，又抛物线的对称轴为轴， 故当时，直线与抛物线有且只有一个公共点； 由消去，得：， 由，解得：，此时直线与抛物线相切. 综上，或. 故答案为：0或. 变式3（25-26高二上·上海·期中）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程． 【答案】、和 【分析】讨论斜率存在和不存在两种情况，且当讨论斜率存在时，联立直线和抛物线方程，细分二次项系数是否为零进一步求得直线的斜率，最后由直线的斜率即可求得直线方程． 【详解】当直线斜率不存在时，又过定点，此时直线方程为， 将代入抛物线方程，得，即，只有一个公共点，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为k，又过定点，则直线方程为， 将其代入抛物线方得，展开并整理， 当时，方程即为，解得，代入直线方程得，只有一个公共点，此时直线方程为，符合题意； 当时，此时方程是一元二次方程，因为只有一个公共点，所以判别式， 即，解得， 将代入直线方程，得，即， 综上，满足条件的直线方程为、和． 【题型5抛物线有关的最值，定值问题及综合应用】 例9（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】如图，若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，即抛物线的焦点在轴的负半轴， 设抛物线方程为，如图，平移直线，当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离为最小值1，    设切线方程为，切点到直线的距离为平行线间的距离， 即，得或（舍），所以切线方程为， 联立，得，，得或（舍）， 所以抛物线方程为. 故答案为： 例10（22-23高二上·上海浦东新·月考）若直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，则 ． 【答案】2 【分析】设，，根据抛物线的焦半径公式求的，联立方程，利用韦达定理求出，，化简整理即可得解. 【详解】解：易知焦点，准线方程为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，， 所以， 当直线斜率存在时，设过点的直线方程为， 代入抛物线方程得， 化简后为， 设，， 则有，， ，， ∴， 综上. 故答案为：2. 例11（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 变式1（22-23高二下·上海徐汇·期中）求抛物线：上的点到直线：的最小距离． 【答案】 【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答. 【详解】设抛物线上的点，则点P到直线， 即的距离，当且仅当时取等号， 所以所求最小距离为. 变式2（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)直线l过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据直线的倾斜角为45°可以确定直线的斜率为1，抛物线Γ：的焦点为，根据点斜式可求得直线的方程； （2）设，，联立消去，根据韦达定理可知的值，在求出，在用向量乘法运算法则可求解. 【详解】（1）焦点F(2,0)，斜率，故直线的方程为； （2）设，，联立消去x， 整理得，由可知且， 根据韦达定理可知，， 由，即，得， 即，直线：， 故直线过定点. 变式3（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，代入化简求解轨迹方程即可； （2）设直线的方程为，设，联立方程组，得到韦达定理形式，最后表达出，求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【答案】6 【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果. 【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得， 所以． 故答案为：6. 2．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 . 【答案】/ 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 3．（22-23高二下·上海虹口·月考）已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点，根据点到直线的距离公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为点在抛物线 上，设点， 则点到直线的距离为， 当且仅当时，等号成立，所以， 即点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是 ． 【答案】/ 【分析】联立方程，利用弦长公式计算即可. 【详解】设直线与曲线交于点， 将代入整理得：， 则有， 故. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用在x轴正方向上的投影为，求得点的坐标，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】 因为在x轴正方向上的投影为，则，且，则， 所以， 则. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质，化简得到，设坐标，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 8．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】设，得到点，根据是等边三角形，列出方程组求得的值，即可求解. 【详解】因为为等边三角形，则， 由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线， 设，则点， 又由焦点，是等边三角形，所以， 解得，因此抛物线方程为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·上海青浦·期末）若集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】讨论、研究集合A，有且，再结合集合B中求交点，即可得交集. 【详解】当，即，则恒成立，此时集合A为空； 当，即，则集合A中，可得，代入， 所以，可得（舍）或，此时， 综上，. 故答案为： 10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有 条． 【答案】 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，根据已知条件，求得参数之间的关系，结合一元二次方程根的情况，即可判断结果. 【详解】抛物线的焦点， 设直线方程为，，， 联立，整理可得， 则，所以，解得：， 当时，无解，此时直线不存在； 当时，，此时直线只有条； 当时，此时直线有条； 故当时，直线条数为条；当时，直线条数为条；当时，直线条数为条， 所以直线最多有条. 故答案为： 11．（23-24高二上·上海·月考）设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据三角形两边之差小于第三边判断三点的位置，再结合两点间距离公式求出即可. 【详解】 设圆心为，则，半径， 由图象可知，当且仅当三点共线时取等号， 令，则，将代入可得 ， 因为点在抛物线上，所以， 故时，，此时， 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【答案】3 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据即可求解. 【详解】设为抛物线上任意一点， 圆的圆心, 则， 因为，且在单调递增， 所以当时，. 故答案为：. 二、单选题 13．（25-26高二上·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程； 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D 14．（24-25高二上·上海·月考）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 由可得两个交点的坐标分别为， 所以， 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 联立，消去可得， 则，， 综上可得，， 所以. 故选：B 15．（24-25高二下·上海·期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出曲线的图形，即可根据相切求解斜率，结合图形即可求解. 【详解】当时，，此时曲线为开口向右的抛物线， 由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下： 直线恒过定点, 当直线与相切时，则， 故，解得或， 结合图形可知此时，故， 同理直线与相切时，， 故当与直线没有公共点，则或， 故选：B 16．（24-25高二下·上海·单元测试）设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（    ）． A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示点P到直线l的距离，表示点P到点B的距离， 由，得动点P到直线l的距离等于到点B的距离，且点B不在直线l上，故点P的轨迹为抛物线， 故选：B 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点． (1)若的顶点都在抛物线上，且的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程； (2)设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，若，求斜率的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及重心坐标进行求解；（2）联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理写出、，由知，与、联立即可求出k的值. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 设直线BC的方程为，， ， ，， ， 因为点F为的重心，所以， 所以，解得， 所以直线BC的方程为：即. （2）设，直线l的方程为：， ， 且，解得且， ①，②， 因为，所以③， 联立①②③式可得或，均满足且， 所以或. 18．（23-24高二下·上海·月考）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】 （1）利用直线的点斜式方程求出直线，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理及向量关系转化为坐标关系即可求解； （2）根据（1）的结论，利用直线的点斜式方程求出直线，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理及判别式，结合中点坐标公式及直线的截距的定义即可求解. 【详解】（1）如图所示 设， 当直线的斜率是时，的方程为，即， 由，消化简整理，得， 所以，① 又．，② 由①②和得，，， 则抛物线的方程为； （2）设，的中点坐标为， 由，消去化简整理，得， 所以， 所以，， 所以线段的中垂线方程为， 所以线段的中垂线在轴上的截距为， 由得或，可得， 所以的取值范围为． 19．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立，设，，由韦达定理可得，，根据弦长公式即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理结合直线方程可得，，根据已知可知，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以焦点坐标为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即， 联立，整理得， 设，，所以，， 所以； （2） 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 所以且， 所以，， 所以， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以, 又，，所以，即， 解得，满足且， 所以直线的方程为，即. 20．（25-26高二上·上海·开学考试）有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．    (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可； （2）利用割补法结合梯形的面积计算即可. 【详解】（1）易知：，利用抛物线的定义可知曲线为抛物线， 为其焦点，所以； （2）    如图所示作， 易知， ， ， 所以 ， 而正方形的面积为4，所以面积比为 21．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，则由已知结合抛物线的焦点弦公式得，设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合前面的式子可求出，再结合中点坐标公式可求得答案； （2）设，，，，，表示出直线的方程，从而表示出，化简即可. 【详解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数．    【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是利用圆锥曲线中常用的方法“设而不求”，设出直线方程，设出交点坐标，考查计算能力，属于较难题. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 抛物线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点2：抛物线的标准方程 1、推导过程 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 2、抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 知识点3：抛物线的几何性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点4：方法技巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点5：二级结论 1、点P（）与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． x y O F A B M N α 2、p（p＞0）的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有 以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 4、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为 【题型1 抛物线的定义】 例1（22-23高二上·上海闵行·期末）是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 例2（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 变式1（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且，设O是坐标原点，则线段OM的长为 ． 变式2（23-24高二下·上海·月考）拋物线的焦点到其准线的距离是 ． 变式3（24-25高二上·上海·课后作业）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两条抛物线的焦点到对应准线的距离分别为、.给出下面四个关系式：①；②；③；④.其中正确的关系式为 . 【题型2抛物线的标准方程】 例3（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 例4（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 变式1（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ． 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米．水面升高1米后，水面宽是多少米？ 【题型3抛物线几何性质的简单应用】 例5（24-25高二上·上海·期中）若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 例6（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点P、Q分别为抛物线C：与圆M：上的动点，且的最小值为2，则抛物线C的焦点到准线的距离为 ． 变式1（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 变式2（24-25高二下·上海·期末）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 【题型4直线与抛物线】 例7（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 例8（22-23高二上·上海浦东新·月考）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 变式2（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 变式3（25-26高二上·上海·期中）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程． 【题型5抛物线有关的最值，定值问题及综合应用】 例9（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为 ． 例10（22-23高二上·上海浦东新·月考）若直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，则 ． 例11（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 变式1（22-23高二下·上海徐汇·期中）求抛物线：上的点到直线：的最小距离． 变式2（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 变式3（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 2．（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 . 3．（22-23高二下·上海虹口·月考）已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是 ． 4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是 ． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 7．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 8．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ． 9．（23-24高二上·上海青浦·期末）若集合，集合，则 ． 10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有 条． 11．（23-24高二上·上海·月考）设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ． 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 二、单选题 13．（25-26高二上·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·上海·月考）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 15．（24-25高二下·上海·期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海·单元测试）设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（    ）． A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点． (1)若的顶点都在抛物线上，且的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程； (2)设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，若，求斜率的值． 18．（23-24高二下·上海·月考）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 19．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 20．（25-26高二上·上海·开学考试）有一块正方形菜地．所在直线是一条小河．收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．    (1)直接写出菜地内的分界线的方程 (2)设是分界线上纵坐标分别为的点，求六边形面积占正方形面积的百分比（结果精确到）. 21．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $