第七～十一章寒假阶段综合测试试卷（一） 2025-2026学年人教版数学七年级下册

2026年七下寒假阶段测试B版（一） 满分：150分；考试时间：120分钟； 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．（4分）在0、1、﹣2、这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D． 2．（4分）已知点A（1，2），B（a，a+2），若直线AB与x轴平行，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 3．（4分）已知点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）（　　） A． B． C． D． 4．（4分）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3 5．（4分）一种路灯的示意图如图所示，灯杆CD与底部支架AB所成的∠CBA＝α．顶部支架EF与灯杆CD所成的∠DEF＝β，若底部支架AB与吊线FG平行，则∠EFG等于（　　） A．α+β B．α﹣β C．2α﹣β D． 6．（4分）若ab，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（　　） A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5 7．（4分）下列命题中，是真命题是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．对顶角相等 C．无限小数是无理数 D．点到直线的距离是垂线段 8．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于m、n的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）＝|2﹣1|+|﹣4﹣0|＝5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）＝3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A．4 B．8 C．10 D．12 11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是（　　） A．（674，0） B．（674，1） C．（675，0） D．（675，1） 12．（4分）如图，AB⊥BC，EM平分∠AEC交AB于M，EM⊥MC，∠1+∠2＝90°，F，D分别是AE，BC延长线上的点，∠MEF和∠MCD的平分线交于点N．下列结论： ①∠1＝90°∠BCE； ②AF∥BD； ③CM平分∠ECB； ④∠N＝135°， 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 13．（4分）若有理数a，b满足，则ab的平方根是　 　 ． 14．（4分）定义一种运算：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+2）2+b2，则的值是　 　 ． 15．（4分）把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为　 　 ． 16．（4分）已知点E（b+1，2）和点F（3，﹣5），若EF∥y轴，则b＝　 　 ． 17．（4分）8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为2厘米的小正方形．设一个小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则所列二元一次方程组是 　 　 ． 18．（4分）已知关于x、y的方程组的解均为正整数，且关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，则满足条件的整数a的和为 　 　 ． 19．（4分）如图，已知AB∥CD，E是射线BA上一点（不包括端点B）三角形BDE沿DE翻折得到三角形FDE，∠AEF＝2∠CDF，∠B＝66°，则∠CDF＝ 　 　 ． 20．（4分）一个四位自然数，其中a，b，c不为0，如果M的千位数字和十位数字组成的两位数与M的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于81，即，那么就称这个数为“九九归一数”．把“九九归一数”M的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数M'，设．例如：一个四位数3465，∵36+45＝81，∴3456是“九九归一数”，且．则最小的“九九归一数”是　 　 ，若是“九九归一数”，且2F（M）﹣c+d能被13整除，则满足条件的M的最大值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分70分） 21．（6分）计算： （1）； （2）． 22．（6分）解方程组： （1）； （2）． 23．（8分）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组． 24．（10分）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点P（x，y）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点Q，则称点Q为点P的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： （1）已知点A（1，﹣3），则它的“双移点”为　 　 ；若点B的“双移点”为点B′（﹣3，5），则点B的坐标为　 　 ； （2）对于任意点P（x，y），其“双移点”Q的坐标可以表示为　 　 ； （3）若点C是点O（0，0）的“双移点”，且在y轴上存在一点D，使△OCD的面积为4，请求出点D的坐标； （4）若点N是点M（0，﹣3）的“双移点”，且在x轴上有一点K，使△MNK的面积为9，请直接写出K点的坐标． 25．（10分）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，AB∥CD，EF⊥AB，交AB于点Q，FG交CD于点P．请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，AB∥CD，反向延长∠ABP的平分线BE，交直线CD于点F，点H在直线CD上，连接PH，若∠EFC＝50°，∠PHC＝70°，求∠P的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，AB∥CD，DN平分∠CDP，且AP⊥PD，∠PAB+2∠PAN＝180°，求∠DNA的度数． 26．（10分）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． （1）已知购买2台A型电脑和3台B型电脑需要24000元，且购买3台A型电脑和8台B型电脑的费用刚好可以买20台C型电脑．求A型电脑和B型电脑的售价． （2）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是拿出旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，将线段BC平移至对应线段AD，已知点A（m，﹣1），B（3，﹣1），C（n，2），E（0，3），其中m，n满足． （1）直接写出：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，点D的坐标为 　 　 ； （2）如图2，连接BE，AE，若BE＝5，F为线段AE延长线上一点，过点F作FH⊥AB于点H，作FG⊥BG于点G，请探究线段FH，FG之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，线段BC向左平移k（k＞0）个单位，若△BCE的面积为S，且3≤S≤5，求k的取值范围． 28．（10分）直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°， （1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM； （2）如图2，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上． ①求∠PDE的度数； ②将△ABC固定，△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH，两线相交于点H（图3），直接写出∠GHF的度数． 2026年七下寒假阶段测试B版（一） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C D A B B A B D D 题号 12 答案 D 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．（4分）在0、1、﹣2、这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D． 【解答】解：在0，1，﹣2，这四个数中，最小的数是：﹣2． 故选：C． 2．（4分）已知点A（1，2），B（a，a+2），若直线AB与x轴平行，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【解答】解：∵点A（1，2），B（a，a+2），直线AB与x轴平行， ∴a+2＝2， ∴a＝0， 故选：C． 3．（4分）已知点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点P（a+2，a﹣1）在平面直角坐标系的第四象限内， ∴， 解得：﹣2＜a＜1， 则a的范围在数轴上可表示为： 故选：C． 4．（4分）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3 【解答】解：∵方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程， ∴a+3≠0，|a|﹣2＝1， 解得a＝3． 故选：D． 5．（4分）一种路灯的示意图如图所示，灯杆CD与底部支架AB所成的∠CBA＝α．顶部支架EF与灯杆CD所成的∠DEF＝β，若底部支架AB与吊线FG平行，则∠EFG等于（　　） A．α+β B．α﹣β C．2α﹣β D． 【解答】解：过E作EH∥AB， ∴∠BEH＝∠CBA＝α， 又∠DEF＝β， ∴∠FEH＝180°﹣∠BEH﹣∠DEF＝180°﹣α﹣β， ∵AB∥EH，AB∥FG， ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣（180°﹣α﹣β）＝α+β， 故选：A． 6．（4分）若ab，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（　　） A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5 【解答】解：∵4＜7＜9， ∴23， ∵ab，且a与b是两个连续整数， ∴a＝2，b＝3． 故选：B． 7．（4分）下列命题中，是真命题是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．对顶角相等 C．无限小数是无理数 D．点到直线的距离是垂线段 【解答】解：根据命题的真假，对顶角相等，无理数的定义，点到直线的距离逐项分析判断如下： A、若a2＝b2，则a＝±b，原命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等是真命题，符合题意； C、无限不循环小数是无理数，原命题是假命题，不符合题意； D、点到直线的距离是垂线段的长度，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 8．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可列方程组为， 故选：A． 9．（4分）已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于m、n的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴， ∵关于x，y的方程组 的解为 ， ∴， ∵关于m、n的方程组 ， ∴， 解得； 故选：B． 10．（4分）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）＝|2﹣1|+|﹣4﹣0|＝5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）＝3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A．4 B．8 C．10 D．12 【解答】解：依题意有 |x﹣2|+|y﹣1|＝3， ①x﹣2＝±3，y﹣1＝0， 解得，； ②x﹣2＝±2，y﹣1＝±1， 解得，，，； ③x﹣2＝±1，y﹣1＝±2， 解得，，，； ④x﹣2＝0，y﹣1＝±3， 解得，． 故满足条件的点P有12个． 故选：D． 11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是（　　） A．（674，0） B．（674，1） C．（675，0） D．（675，1） 【解答】解：由图可得P6（2，0），P12（4，0）⋯⋯P6n（2n，0）， 2024÷6＝337⋯⋯2， ∴P337×6（674，0）， ∴P2024（675，1）， 故选：D． 12．（4分）如图，AB⊥BC，EM平分∠AEC交AB于M，EM⊥MC，∠1+∠2＝90°，F，D分别是AE，BC延长线上的点，∠MEF和∠MCD的平分线交于点N．下列结论： ①∠1＝90°∠BCE； ②AF∥BD； ③CM平分∠ECB； ④∠N＝135°， 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图，过点N作NG∥BD， 由条件可知∠1＝∠3，∠EMC＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴，∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴，∠AEC+∠BCE＝180°， ∴AF∥BD，CM平分∠ECB，故①②③正确； ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠MEF+∠MCD＝270°， 由条件可知AF∥BD∥NG， ∴∠N＝∠FEN+∠DCN， ∵∠MEF和∠MCD的平分线交于点N， ∴，故④正确． 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 13．（4分）若有理数a，b满足，则ab的平方根是　．　 ． 【解答】解：∵a，b是有理数，是无理数， ∴一个有理数与一个无理数的和为0，则这个无理数的系数必须为0， 即a﹣2＝0， 解得：a＝2， 把a＝2代入原式得，， 解得：b＝3． ∴ab＝2×3＝6， ab的平方根是． 故答案为：． 14．（4分）定义一种运算：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+2）2+b2，则的值是　9　 ． 【解答】解：根据题意得 ＝3+6 ＝9， 故答案为：9． 15．（4分）把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为　如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形　 ． 【解答】解：命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形， 逆命题写成“如果…那么…”的形式为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 16．（4分）已知点E（b+1，2）和点F（3，﹣5），若EF∥y轴，则b＝　2　 ． 【解答】解：∵EF∥y轴， ∴点E的横坐标与点F的横坐标相同， ∴b+1＝3，解得b＝2． 故答案为：2． 17．（4分）8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为2厘米的小正方形．设一个小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则所列二元一次方程组是 　　 ． 【解答】解：由题意得：， 故答案为：． 18．（4分）已知关于x、y的方程组的解均为正整数，且关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，则满足条件的整数a的和为 　3　 ． 【解答】解：由题意，， ∴由①得，x＞﹣3；由②得，x． ∴﹣3＜x． 又不等式组有解且至多有3个整数解， ∴﹣31． ∴﹣11＜a＜5． 又方程组的解为正整数， ∴解得中x，y均为正整数． 把可能的a代入后发现满足题意的整数a为﹣1、1和3． ∴满足条件的整数a的和为3． 故答案为：3． 19．（4分）如图，已知AB∥CD，E是射线BA上一点（不包括端点B）三角形BDE沿DE翻折得到三角形FDE，∠AEF＝2∠CDF，∠B＝66°，则∠CDF＝ 　22°或66°　 ． 【解答】解：如图1，当点F在AB，CD之间时， 过点F作IH∥CD，则IH∥CD∥AB， ∵∠B＝66°， 由翻折性质得：∠EFD＝∠B＝66°， 由平行线的性质得：∠AEF＝∠EFI，∠IFD＝∠CDF， ∴∠EFD＝∠AEF+∠CDF， ∵∠AEF＝2∠CDF， ∴∠EFD＝3∠CDF， ∴∠CDF＝22°； 如图2，当点F在CD下方时， ∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠B＝66°； 如图3，当点F在AB上方时， 设DF、AB交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠AGF＝∠CDF， ∵∠AGF＝∠AEF+∠F， ∴∠AEF＜∠AGF， ∴∠AEF＜∠CDF与∠AEF＝2∠CDF矛盾，不符合题意； 综上所述，∠CDF的度数为22°或66°， 故答案为：22°或66°． 20．（4分）一个四位自然数，其中a，b，c不为0，如果M的千位数字和十位数字组成的两位数与M的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于81，即，那么就称这个数为“九九归一数”．把“九九归一数”M的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数M'，设．例如：一个四位数3465，∵36+45＝81，∴3456是“九九归一数”，且．则最小的“九九归一数”是　1629　 ，若是“九九归一数”，且2F（M）﹣c+d能被13整除，则满足条件的M的最大值为　5310　 ． 【解答】解：∵ ∴（10a+c）+（10b+d）＝81， 而a是中的千位数字，要求最小的“九九归一数”，则a＝1， ∴10b+c+d＝71①， 而b是中的百位数字，要求最小的“九九归一数”，b也要最小， 而①中c、d最大可以是9， ∴，即b最小取6， ∴c+d＝11②， 而c是中的十位数字，要求最小的“九九归一数”， c也要最小，则d取最大， ∴c＝2，d＝9， ∴最小的“九九归一数”为 1629； ∵ ∴F（M）， 又∵，即 （10a+c）+（10b+d）＝81③， 则10a+b+10c+d＝81+9c﹣9b． ∴F（M）＝9+c﹣b， ∴2F（M）﹣c+d＝18﹣2b+c+d④， 要使④能被13整除，则④应该是13，即2b﹣c﹣d＝5⑤， 要使M最大，则千位数字a最大，由⑤知b最小也得是3， 当a＝9时，由③得（90+c）+（10b+d）＝81，显然不符合； 当a＝8时，由③得（80+c）+（10b+d）＝81，即c+10b+d＝1，显然不符合； 当a＝7时，由③得 （70+c）+（10b+d）＝81，即c+10b+d＝11，结合⑤，显然不符合； 当a＝5 时，由③得（50+c）+（10b+d）＝81，即c+10b+d＝31， b最大是3，则c+d＝1，此时c＝1，d＝0， ∴M的最大值为5310， 验证：， ， 2F（M）﹣c+d＝14﹣1+0＝13， ∴5310符合题意， 故答案为：1629，5310． 三．解答题（共8小题，满分70分） 21．（6分）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ＝﹣1+（﹣8） ＝﹣1+（﹣1）﹣（﹣1） ＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1． 22．（6分）解方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×2+②得：9x＝18， 解得：x＝2， 将x＝2代入①，得：4﹣y＝5， 解得：y＝﹣1． 故原方程组的解为：． （2）原方程组可化为：， ②×5+①得：46y＝46， 解得：y＝1， 把y＝1代入①得：x＝7． 故原方程组的解为：． 23．（8分）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组． 【解答】解：（1）去分母，得2（5x+1）﹣24≥3（x﹣5）， 去括号，得10x+2﹣24≥3x﹣15， 移项，得10x﹣3x≥﹣15﹣2+24， 合并同类项，得7x≥7， 系数化为1，得x≥1， （2）由①得x≥﹣1， 由②得x＜3， 则不等式组的解集为：﹣1≤x＜3． 24．（10分）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点P（x，y）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点Q，则称点Q为点P的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： （1）已知点A（1，﹣3），则它的“双移点”为　（3，1）　 ；若点B的“双移点”为点B′（﹣3，5），则点B的坐标为　（﹣5，1）　 ； （2）对于任意点P（x，y），其“双移点”Q的坐标可以表示为　（x+2，y+4）　 ； （3）若点C是点O（0，0）的“双移点”，且在y轴上存在一点D，使△OCD的面积为4，请求出点D的坐标； （4）若点N是点M（0，﹣3）的“双移点”，且在x轴上有一点K，使△MNK的面积为9，请直接写出K点的坐标． 【解答】解：（1）∵将点P（x，y）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点Q，则称点Q为点P的“双移点”， ∴点A（1，﹣3），先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点（3，1）， 即点A（1，﹣3）的“双移点”为（3，1）， 把B′（﹣3，5）先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点（﹣5，1）， 即点B的坐标为（﹣5，1）； 故答案为：（3，1），（﹣5，1） （2）∵P（x，y）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点（x+2，y+4）， ∴对于任意点P（x，y），其“双移点”Q的坐标可以表示为（x+2，y+4）， 故答案为：（x+2，y+4） （3）∵点C是点O（0，0）的“双移点”， ∴点C（2，4）， 设点D的坐标为（0，t）， ∵△OCD的面积为4， ∴ 解得t＝4或t＝﹣4， ∴点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）； （4）∵点N是点M（0，﹣3）的“双移点”， ∴N（2，1）， ， 设点K的坐标为（m，0）， 当点K1在线段MN的右侧时， ∵S△MNK＝9， ∴ 解得m＝6， ∴点K1的坐标为（6，0）， 当点K2在线段MN的左侧时， ∵S△MNK＝9， 当点点K2在原点时，S△MNK， ∴点K2在原点的左侧， ∴ 解得m＝﹣3， ∴点K2的坐标为（﹣3，0）， 综上可知，K点的坐标为（﹣3，0）或（6，0） 25．（10分）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，AB∥CD，EF⊥AB，交AB于点Q，FG交CD于点P．请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，AB∥CD，反向延长∠ABP的平分线BE，交直线CD于点F，点H在直线CD上，连接PH，若∠EFC＝50°，∠PHC＝70°，求∠P的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，AB∥CD，DN平分∠CDP，且AP⊥PD，∠PAB+2∠PAN＝180°，求∠DNA的度数． 【解答】解：（1）选择明明同学， 在点F处作MN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠DPG＝∠NFG， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥MN，∠EFN＝90°， ∴∠EFG＝∠EFN+∠NFG＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； 选择欣欣同学， 过点Q作QN∥FG，交CD于点M， ∴∠EFG＝∠EQN，∠DPG＝∠DMN， ∵AB∥CD， ∴∠DMN＝∠BQN， ∵EF⊥AB， ∴∠EQB＝90°， ∴∠EFG＝∠EQN＝90°+∠BQN＝90°+∠DPG， 即∠EFG＝90°+∠DPG； （2）过点P作PM∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥PM∥CD， ∴∠MPH＝180°﹣∠PHC＝110°，∠ABE＝∠EFC＝50°， ∵BE平分∠ABP， ∴∠ABP＝2∠ABE＝2×50°＝100°， ∴∠MPB＝180°﹣∠ABP＝80°， ∴∠BPH＝∠MPH﹣∠MPB＝30°， 即∠P的度数为30°； （3）过点P作PM∥AB，过点N作NT∥CD延长BA交DP于点A， ∵AB∥CD， ∴AB∥PM∥CD∥NT， ∴∠MPD＝∠CDP（两直线平行，内错角相等），∠PAQ＝∠MPA（两直线平行，内错角相等）， ∴∠APD＝∠MPD﹣∠MPA＝∠CDP﹣∠QAP， ∵AP⊥PD， ∴∠APD＝90°， ∴∠CDP﹣∠QAP＝90°， ∵∠PAB+2∠PAN＝180°，∠PAB+∠PAN+∠NAQ＝180°， ∴2∠PAN＝∠PAN+∠NAQ， ∴，即∠PAQ＝2∠NAQ， ∵ND平分∠CDP， ∴∠CDP＝2∠NDC， ∴2∠NDC﹣2∠NAQ＝90°， ∴∠NDC﹣∠NAQ＝45°， ∵NT∥CD∥AB， ∴∠TND＝∠NDC（两直线平行，内错角相等），∠ANT＝∠NAQ（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AND＝∠TND﹣∠TNA ＝∠NDC﹣∠NAQ ＝45°， 即∠DNA的度数为45°． 26．（10分）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． （1）已知购买2台A型电脑和3台B型电脑需要24000元，且购买3台A型电脑和8台B型电脑的费用刚好可以买20台C型电脑．求A型电脑和B型电脑的售价． （2）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是拿出旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【解答】解：（1）设A型每台x元、B型每台b元，根据题意得， ， 解得：， 答：A型每台6000元、B型每台4000元； （2）设原计划购买y台B型电脑，则原计划拿出（30﹣y）台旧电脑， 根据题意得：， ∴， ∵购买B型电脑的实际总费用不少于100000元， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵a是9的倍数， 答：该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，将线段BC平移至对应线段AD，已知点A（m，﹣1），B（3，﹣1），C（n，2），E（0，3），其中m，n满足． （1）直接写出：m＝ 　﹣2　 ，n＝ 　4　 ，点D的坐标为 　（﹣1，2）　 ； （2）如图2，连接BE，AE，若BE＝5，F为线段AE延长线上一点，过点F作FH⊥AB于点H，作FG⊥BG于点G，请探究线段FH，FG之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，线段BC向左平移k（k＞0）个单位，若△BCE的面积为S，且3≤S≤5，求k的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得，， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为（﹣1，2）； 故答案为：﹣2，4，（﹣1，2）； （2）如图1，连接BF，设直线AB与y轴相交于M， ∵S△ABF＝S△ABE+S△BEF； ∴.， 又∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），E（0，3），M（0，﹣1）； ∴AB＝5，EM＝4，BE＝5； ∴， ∴FH＝4+FG；即FH﹣FG＝4． （3）①当BC在y轴右侧移动时，如图2所示，过C作y轴的平行线，分别过E，B作x轴的平行线，交点分别为M，N， 结合平移可得：EM＝4﹣k，MN＝4，BN＝1， ∴， ∵EM＝4﹣k，MC＝1，CN＝3； ∴， ∴， ∵3≤S≤5； ∴； ∴②当BC在y轴左侧移动时，如图3所示， 同理可得：CM＝k﹣4，EM＝1，BN＝k﹣3，MN＝3，EN＝4， ∴S梯形BNMC， ∴， ∴； ∴； ∵3≤S≤5； ∴； ∴， 综上可知：或． 28．（10分）直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°， （1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM； （2）如图2，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上． ①求∠PDE的度数； ②将△ABC固定，△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH，两线相交于点H（图3），直接写出∠GHF的度数． 【解答】（1）证明：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°， ∴∠DFE＝30°， ∵ED平分∠PEF， ∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°， ∵PQ∥MN， ∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°， ∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠MFD＝∠DFE， ∴FD平分∠EFM； （2）解：①如图，过E作EG∥AB， ∴∠GEA＝∠BAC＝45°， ∵∠DEF＝60°， ∴∠DEG＝15°， ∵PQ∥MN，EG∥AB， ∴PQ∥EG， ∴∠PDE＝∠DEG＝15°； ②如图，分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ， ∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH， ∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN， ∴FL∥PQ∥HR， ∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA， ∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH，FH，两线相交于点H， ∴， ∵∠DFE＝30°， ∴∠GFA＝180°﹣∠DFE＝150°， ∴， ∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA＝30°， ∴∠GFL＝∠GFA﹣∠LFA＝105°， ∴， ∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 22:10:32；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：49576819 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $