专题04圆的切线八大模型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题04 圆的切线八大模型 典例详解 类型一、弦切线模型 类型二、单切线+过切点的直径模型 类型三、单切线+平行于切线的弦模型 类型四、四切线+三角形/四边形模型 类型五、双切线+角平分线模型 类型六、切割线模型 类型七、切线+垂径定理模型 类型八、切线+母子相似模型 压轴专练 类型一、弦切线模型 例1（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，先证，再说明即可证明结论； （）先说明是等边三角形，进而得到，然后根据勾股定理求得，最后根据阴影面积等于计算即可． 【详解】（1）解：与相切，理由： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 变式1-1（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理： （1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）过点作于， 切于D， 平分，， ， 是的切线； （2）的半径为4，，中，， ，是的切线， ∴，设， 在中，， ∴． 变式1-2（25-26九年级上·山东·月考）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明 ，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，，根据切线性质可得，即，由此即得出 （3）先证明是等边三角形，得出，求出，，最后根据阴影部分的面积求出结论即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 的平分线AC， ， ， ， ， ， ， 为圆O的半径， 是的切线； （2）证明：连接， ， ， ， ， 与相切于点C， ， ， ； （3）解：连接，过点O作于点H，如图， 的半径为， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积 变式1-3（25-26九年级上·全国·期末）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用同弧所对的圆周角相等进行等量转换，得出，，可得即可证得结论； （2）利用相似三角形的判定以及性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， 又∵（公共角）， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的证明，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定和性质，相似三角形的判定与性质． 类型二、单切线+过切点的直径模型 例2（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连接、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 变式2-1（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接、，过点作，交的延长线于点，已知． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查圆的切线判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用圆周角定理推导角的关系证明切线，通过相似三角形对应边成比例求解直径． （1）由直径所对圆周角为直角得，结合 推得；由得，证得是切线． （2）证，利用相似三角形对应边成比例，结合勾股定理求出直径． 【详解】（1）证明：∵ 是的直径， ∴ ，即 ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ 又∵ 是的直径， ∴ 为的切线． （2）解：∵ ， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： 由得, 由得, ∴, ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 解得． 答：的直径为． 变式2-2（25-26九年级上·北京昌平·月考）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线． 于，点在上，也在的垂直平分线上，延长，与的平行线交于点． (1)求证： ． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，进而根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可得证； （2）根据切线的性质可得，进而可得，结合已知得出，勾股定理求得，进而求得，解，求得，根据，即可求解． 【详解】（1）∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， 又∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式2-3（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，由圆周角定理可得，再根据圆的切线的性质可得，易得，由等边对等角可得，进而得到，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）由（1），，易得，由等角对等边可得，又可得，即，再运用等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1），， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即． 类型三、单切线+平行于切线的弦模型 例3（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题主要考查平行线的性质，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，与相切于点，推出，已知，得到，推出，进而得到，得证平分； （2）连接，已知，得到，结合，得到，已知，得到，可求得，得到，进一步证明，得到，即，已知，即可求得的长，进而可得的长． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式3-1（北京市北京二中教育集团2025--2026学年上学期九年级数学十月月考试卷）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定及性质，三角函数等；掌握圆周角定理，切线的判定，能熟练利用三角函数进行求解是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角得，由圆周角定理，由切线的判定方法即可得证； （2）由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质得，由正切函数得，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线： （2）解：，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 解得． 变式3-2（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，的直径，弦，的平分线交于点D，过点D作交延长线于点E，连接、． (1)求图中阴影部分的面积； (2)求证：是的切线． (3)求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由是直径知，结合平分知，从而知，根据图中阴影部分的面积可得答案； （2）由，即，根据可得，即可得证； （3）勾股定理求得，作知四边形是正方形，即可得，由知，即，求得的长即可得的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是直径，且， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积是； （2）证明：由（1）知，即， ∵， ∴， ∴是的切线； （3）解：∵，， ∴， 过点A作于点F，则四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式，切线的判定定理，勾股定理，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 变式3-3（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，由可得是直径，由圆周角定理可得，结合题意可得，再求出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图：连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 则， ∵是半径， ∴是的切线． 类型四、四切线+三角形/四边形模型 例4（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形的内角和定理， 连接，根据切线的性质得，再根据三角形内角和定理求出，进而得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵内切圆I和边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 变式4-1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 变式4-2（2025·四川绵阳·一模）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，全等三角形的性质和判定，四边形内角和定理， 连接根据切线的性质和切线长定理得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据四边形内角和定理求出，最后根据得出答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的切线，点A，B，E是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 变式4-3（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为 ，求阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长的计算，扇形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，求得的度数，可求弧长，再求得的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接、，如图， ，分别切于点、， ，， ， 而， ， 的长度， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：；． 类型五、双切线+角平分线模型 例5（2025九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，作平分，交于点．以点为圆心，作切于点，交于点、．则 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，角平分线的性质，连接，利用勾股定理先求出，由切线的性质得到，进而得到，设，则，在中，利用勾股定理求出，进而得到，，再利用勾股定理求出，即可得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线，切点为， ∴，即，， ∵平分，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式5-1（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定、直角三角形性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线性质证明切线，结合平行关系与角度推导计算线段长度． （1）过点作，利用角平分线性质证，结合切线判定定理得是的切线； （2）由推导，结合直角三角形性质得，求出半径后，利用勾股定理计算的长． 【详解】（1）证明：过点作于点，并连接， ∵与相切于点， ∴． ∵是的角平分线，在上， ∴． ∵ 是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 由得，又， ∴， 在中，， ∴，即． ∴． 作，垂足为H， ∵， ∴， ∴． 变式5-2（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明； （2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径． 【详解】（1）证明：与相切， ． ． 平分线， ． 在和中 ． ． 是的切线． （2）解：在和中， ． ． ． ，是的切线， ． ． ． 设，则，． ， ． 解得． 的半径长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的判定与性质、全等三角形的判定以及利用勾股定理建立方程是解题的关键． 类型六、切割线模型 例6（2023·山西吕梁·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项． 证明过程如下： 如图1：已知：点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证： 证明：连接并延长交于C，连接， ∵是的切线， （依据________________________________) ∵是的直径， （依据_______________________________)    又∵（依据_____________________________________) . . . . . . 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格． (2)把证明过程补充完整． (3)定理应用： 已知为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长． 【答案】(1)切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理推论、切线性质找等角即可解答； （2）先构造相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （3）设，如图：连接，先证，再根据相似三角形的性质列式求得x，然后再利用切割线定理求y长度即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交与C，连接， ∵是的切线， （依据：切线的性质定理) ∵是的直径， （依据：直径所对的圆周角是直角)    又∵（依据：同弧所对的圆周角相等) ………… 故答案为：切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等． （2）证明：连接并延长交与C，连接， ∵是的切线， （依据：切线的性质定理) ∵是的直径， （依据：直径所对的圆周角是直角)    又∵（依据：同弧所对的圆周角相等) 又∵ ∴      ． （3）解：设，如图：连接， ∵ ∴， ∴，即，解得：或（舍去） 由切割线定理，由勾股定理可得： ，解得， ∴. 【点睛】本题综合考查了阅读理解能力、圆周角定理、切线的性质定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质等知识点，从阅读材料中提取有用信息是解答本题的关键． 变式6-1（2022·山西·三模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明： 已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO． ∵PA切⊙O于点A，∴，即． ∵，∴． ∵，∴． …… 任务： (1)请帮助小明补充完成以上证明过程． (2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长． 【答案】(1)补充证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理确定∠O=2∠PCA，根据角的和差关系和等价代换思想确定∠APB=∠CPA，然后根据相似三角形的判定定理和性质即可证明． （2）根据（1）中结论先求出PA2，然后求出PE的长度，最后根据平行线分线段成比例定理即可求出EF的长度． 【详解】（1）解：补充证明如下． ∵∠PCA和∠O分别是所对的圆周角和圆心角， ∴∠O=2∠PCA． ∴2∠OAB+2∠PCA=180°． ∴∠OAB+∠PCA=90°． ∴∠PAB=∠PCA． ∵∠APB=∠CPA， ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1）中结论可知，． ∵PB=BC=4， ∴PC=PB+BC=8． ∴． ∵PD=5， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，角的和差关系，相似三角形的判定定理和性质，平行线分线段成比例定理，正确应用（1）中结论是解题关键． 变式6-2（2021·湖北武汉·模拟预测）如图，从外一点引割线，与相切于点，连接，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，，根据切线的性质可得，进而可得结论； （2）设交于点E，过点作于点，可得，由，对应边成比例可得，设，则，，利用勾股定理和锐角三角函数即可得结论． 【详解】证明：（1）连接，， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设交于点，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 类型七、切线+垂径定理模型 例7（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明直线l，，可推导出，则，根据，得到，即可解答； （2）根据勾股定理，先求出，证明，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：连接 直线是切线， 直线， 平行直线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， 变式7-1（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． (1)求证：； (2)过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为4 【分析】本题考查了圆的垂径定理、切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用弧中点的性质证明平行线，结合相似三角形的比例关系建立方程求解半径。 （1）由点是的中点得，结合得，进而推出，证得； （2）设半径为，利用切线性质得，垂径定理得，通过和推出，再由得，代入列方程求解得． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为，则， ∵是的切线， ∴，即． ∵是的中点， ∴，即, ∵， ∴， 又，故①。 由得， ∴,则②, 联立①②知，，则，即 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得（舍去）． 故半径的长为． 变式7-2（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是的切线，即 ，即是等腰直角三角形 （2）解：∵ ，即是等腰直角三角形 由（1）得， 如图所示，连接，设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等知识，数形结合分析是关键． 类型八、切线+母子相似模型 例8（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，是的内接三角形，过点C作的切线交的延长线于点F，是的直径，连接． (1)求证：； (2)若，于点，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据是的切线，是的直径，可得，利用，得到，根据圆周角定理可得，则可证得； （2）由（1）可知，得，则有，则可得，并可求得，连接，证，则有，可得． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 变式8-1（25-26九年级上·云南·月考）如图，四边形内接于，对角线与交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)已知，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在常数，使成立，且；证明见解析 【分析】（1）根据圆的内接四边形对角互补即可解答； （2）根据对应边成比例且夹角相等，可证，得到，结合圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而求得，即可证得结论； （3）延长至，使，过点作于点，连接，根据角平分线和弧、弦、圆心角的关系得到，结合圆的内接四边形的性质，可证得，然后由全等三角形的性质和等腰三角形的性质得到，最后由直角三角形的性质可求得，进而证得结论． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形 又 ； （2）解：如图，连接，， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； （3）解：存在常数，使成立，且，证明如下： 如图，延长至，使，过点作于点，连接， 平分，， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， 时，成立． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，含30度直角三角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用以上知识点，利用辅助线构建全等三角形是解题的关键． 1.（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，点是以为直径的半圆上一点，，．点是直径上的动点，点与点关于对称．当点与点不重合时，作交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②线段的最小值为；③当时，与半圆相切；④当点由点运动到点时，点经过的路径长为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据对称可得，证出，可得，即可得，当时，根据勾股定理求出，根据“点到直线之间，垂线段最短”求出的最小值，即可判断，根据圆的切线性质和等边三角形的性质判断，再根据对称的性质和点运动的特点可判断． 【详解】解：连接， 点与点关于对称， ， ， ， ， ∴，， ， ， ，故正确； 当时， 是半圆的直径， ， ，， ，，， ，， ， 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点在线段上运动时，的最小值为， ， ， 的最小值为，故不正确； 当时，连接，如图所示， ，， 是等边三角形， ∴，， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， 是等边三角形，直径， ， 与半圆相切，故正确； 点与点关于对称， 当点由点运动到点时，， 点经过的路径长为，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，准确计算是解题的关键． 2.（25-26九年级上·重庆江北·月考）如图，为的直径，点为上一点，且．直线与相切于点，点在的延长线上，且，连接交于点，连接交于点．若，则的半径为 ，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直径所对圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，同角的余角相等，正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设，利用直径所对圆周角是直角和相切的定义，证得，根据勾股定理求出，再利用线段比例即可求解； （2）连接、、、，先证得四边形为正方形，根据勾股定理求得，再证，最后利用线段比例即可求解， 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∵是和的公共角， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 将，，代入， 可得即， 解得， ∵， ∴， ∴的半径； 连接、、、、 则 ∵ ∴ ∵为的直径，且 ∴ ∵直线与相切于点 ∴ ∴ ∴四边形为正方形 ∴ 在中，根据勾股定理得 ∵，， ∴ ∵ ∴即 ∵是和的公共角 ∴ ∴即 ∴ 故答案为；． 3.（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线 (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 4.（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的直径为5，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，C为切点， ∴． ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 5.（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是的直径，C是上除外的一点，点D是弧的中点，于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、垂径定理的应用： （1）连接，证明得到即可； （2）过点作于，证明四边形是矩形，求出，用勾股定理求出，利用垂径定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵点为弧的中点， ， ， ∴是的切线； （2）解：过点作于： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ， ∵，是圆的弦， ∴， ∴． 6.（25-26九年级上·江苏连云港·月考）【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①， 与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长，并就图⑤，写出其中一种求的过程． 【答案】（1）见解析；（2）或或或；（3）的长度为或或 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，由题意易得，，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）当点E在优弧上时，由弦切角的性质可知，然后可分，，，进而分类求解即可；当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质求解即可； （3）由题意可分当与相切，平分一组对角时；当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角；当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角；当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角；然后分类求解即可． 【详解】解：（1）证明：连接并延长交于点F，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）若是等腰三角形，且点E在优弧上时， 则，如图， ∴当时；则的度数为 当时；则的度数为 当时；则的度数为； 当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： 由题意得， ∴， ∴ ∴则的度数为； 故答案为：或或或； （3）解：的长度为或或． 图⑤理由： 当与相切，平分一组对角时，如图，则， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 过点C作，连接，则， ∴经过， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点F，过点O作于点G，连接，如图所示， 同理①可得：， ∴， ∴四边形是关于成轴对称的图形， ∴圆心O在上，，设，则， ∴由勾股定理可得： 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接交于点M，过点O作于点N，连接，如图所示， ∴， 同理①可得：， ∴， ∴四边形是关于成轴对称的图形，， ∴圆心O在上，，设，则 ∴由勾股定理可得： 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 同理可得，， ∴，分别过点、作，，垂足分别为点、，如图所示， ∴，，即过圆心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质及垂径定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 7.（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）设的半径为，则，利用勾股定理可得，进而得到，即得，即得到，再根据弧长公式计算即可求解； 本题考查了切线的判定，锐角三角函数，弧长公式等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 8.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆相关知识是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，然后证明可得结论； （2）先根据切线性质和全等三角形的性质得到，设半径为，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ，， 且，， ， ； （2）解：是的切线， ， ， 设半径为，则，， ， 解得， ． 9.（18-19九年级上·重庆渝中·期中）如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD． （1）求证明：AD是⊙D的切线； （2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长． 【答案】（1）见解析；（2）DE＝4． 【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可； （2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OD． ∵E为BC的中点， ∴OE⊥BC， ∵OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∴∠AGD +∠OED＝∠EGF+∠OED＝90°， ∵∠AGD＝∠ADG， ∴∠ADG+∠ODE＝90°，即OD⊥AD， ∴AD是⊙O的切线； （2）作OH⊥ED于H， ∴DE＝2DH， ∵∠ADG＝∠AGD， ∴AG＝AD， ∵∠A＝60°， ∴∠ADG＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∵OD＝4， ∴DH＝OD＝2， ∴DE＝2DH＝4． 【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可，还考查了垂径定理，直角三角形的性质． 10.（21-22九年级下·河南洛阳·期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A， ∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 【答案】(1)见解析 (2)DE的长为 【分析】（1）先证，得，即可得答案； （2）结合（1）同理可得，所以 ，然后代入值即可求出 PD 的长，进而可得 DE 的长． 【详解】（1）证明：如图②，连接AB、AC、BO、AO， ∵PA切于点A， ∴，即， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴，         ∴； （2）由（1）， 同理， ∴，        ∴， ∴， ∴DE的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的切线八大模型 典例详解 类型一、弦切线模型 类型二、单切线+过切点的直径模型 类型三、单切线+平行于切线的弦模型 类型四、四切线+三角形/四边形模型 类型五、双切线+角平分线模型 类型六、切割线模型 类型七、切线+垂径定理模型 类型八、切线+母子相似模型 压轴专练 类型一、弦切线模型 例1（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 变式1-1（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 变式1-2（25-26九年级上·山东·月考）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 变式1-3（25-26九年级上·全国·期末）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求长． 类型二、单切线+过切点的直径模型 例2（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连接、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 变式2-1（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接、，过点作，交的延长线于点，已知． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的直径． 变式2-2（25-26九年级上·北京昌平·月考）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线． 于，点在上，也在的垂直平分线上，延长，与的平行线交于点． (1)求证： ． (2)若，求的长． 变式2-3（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 类型三、单切线+平行于切线的弦模型 例3（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求和的长． 变式3-1（北京市北京二中教育集团2025--2026学年上学期九年级数学十月月考试卷）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线： (2)若，，求的长． 变式3-2（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，的直径，弦，的平分线交于点D，过点D作交延长线于点E，连接、． (1)求图中阴影部分的面积； (2)求证：是的切线． (3)求线段的长． 变式3-3（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 类型四、四切线+三角形/四边形模型 例4（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式4-1（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （    ） A． B． C． D．3 变式4-2（2025·四川绵阳·一模）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式4-3（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为 ，求阴影部分面积 ． 类型五、双切线+角平分线模型 例5（2025九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，作平分，交于点．以点为圆心，作切于点，交于点、．则 ． 变式5-1（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 变式5-2（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 类型六、切割线模型 例6（2023·山西吕梁·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项． 证明过程如下： 如图1：已知：点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证： 证明：连接并延长交于C，连接， ∵是的切线， （依据________________________________) ∵是的直径， （依据_______________________________)    又∵（依据_____________________________________) . . . . . . 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格． (2)把证明过程补充完整． (3)定理应用： 已知为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长． 变式6-1（2022·山西·三模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明： 已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO． ∵PA切⊙O于点A，∴，即． ∵，∴． ∵，∴． …… 任务： (1)请帮助小明补充完成以上证明过程． (2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长． 变式6-2（2021·湖北武汉·模拟预测）如图，从外一点引割线，与相切于点，连接，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 类型七、切线+垂径定理模型 例7（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式7-1（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． (1)求证：； (2)过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 变式7-2（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 类型八、切线+母子相似模型 例8（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，是的内接三角形，过点C作的切线交的延长线于点F，是的直径，连接． (1)求证：； (2)若，于点，，，求的值． 变式8-1（25-26九年级上·云南·月考）如图，四边形内接于，对角线与交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)已知，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 1.（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，点是以为直径的半圆上一点，，．点是直径上的动点，点与点关于对称．当点与点不重合时，作交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②线段的最小值为；③当时，与半圆相切；④当点由点运动到点时，点经过的路径长为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 2.（25-26九年级上·重庆江北·月考）如图，为的直径，点为上一点，且．直线与相切于点，点在的延长线上，且，连接交于点，连接交于点．若，则的半径为 ，线段的长为 ． 3.（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线 (2)若，的半径为5，求的长． 4.（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的直径为5，，求的长． 5.（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是的直径，C是上除外的一点，点D是弧的中点，于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求长． 6.（25-26九年级上·江苏连云港·月考）【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①， 与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长，并就图⑤，写出其中一种求的过程． 7.（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 9.（18-19九年级上·重庆渝中·期中）如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD． （1）求证明：AD是⊙D的切线； （2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长． 10.（21-22九年级下·河南洛阳·期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A， ∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $