2.1 直线与圆的位置关系-教学设计 2023—2024学年浙教版数学九年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 九年级 学期 春季 课题 2.1直线与圆的位置关系（第一课时） 教学目标 1. 了解直线与圆的三种位置关系、圆的切线的概念；掌握直线与圆的位置关系的定理。 2. 能用作图的方式进行几何探究。 3. 积累类比学习的经验。 4. 感受类比、分类、数形结合思想，培养抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识等核心素养。 教学内容 教学重点： 1. 直线与圆的位置关系的性质和判定。 教学难点： 1. 例2需要将生活问题转化为数学问题，并作出示意图。 教学过程 一、引入新知 这节课让我们来一起学习直线与圆的位置关系。首先请大家回忆一下，以前是否学习过类似的知识点。嗯，不错，我们已经学习过点与圆的位置关系。所以这节课，我们将全程以类比的思想，复习旧知，探究新知。 复习1：点与圆的位置关系有哪几种？ 如图所示，点与圆的位置关系有三种，点在圆外，点在圆上，点在圆内。 复习2：每种位置关系对应怎样的数量关系？ 点与圆的位置关系与点到圆心的距离d和半径r有关。距离大于半径，则点在圆外，距离等于半径，则点刚好在圆上，距离小于半径，则点在圆内。这里的数量关系和位置关系可以互推。 这三块内容就是我们这节课要探究的重点，首先我们通过作图的方式探究直线与圆的位置关系和图形特征。 二、探究新知 【探究一】位置关系与图形特征 先画一个圆，任意画一条直线，再画一条，多画几条。请你仔细观察图形，并将这些直线分类。很好，我们可以按公共点的个数分类。通过大量作图，我们发现直线与圆没有公共点，或有两个公共点的情况最为常见。除了这两种情况，是否存在其他特殊情况呢？ 铅笔作图终归是零碎的，静态的。借助信息技术，我们可以让图形连起来动起来。保持圆的位置不动，改变直线的位置，请你仔细观察，你发现了什么？ 很好，我们发现公共点的数量并不是从0个突然变成两个，或者从两个突然变成0个。从动态变化的角度观察，我们看到两个公共点不断的靠近，直到重合在一起，最后消失不见，也就是说存在一种临界情况，即刚好只有一个公共点。那么是否存在三个及以上的公共点呢？根据不在同一直线上的三个点确定一个圆可知，这种猜想是不成立的。 由此我们总结出了直线与圆的位置关系一共有三种，一般的，直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与相切，这条直线叫做圆的切线。直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 那么直线与圆的位置关系是否也存在相对应的数量关系？我们继续类比。 【探究二】位置关系与数量关系 已知点与圆的位置关系与点到圆心的距离d和半径r有关，类比过来，你觉得直线与圆的位置关系与什么有关呢？ 猜想：直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离d和半径r有关。 在图上作出圆心到直线的距离和半径，比较两者的大小，你发现了什么？ 我们发现，直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径；直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径。 我们由位置关系得到了数量关系，反过来，已知距离和半径的数量关系能否推出相应的位置关系？我们继续作图。 如图o为直线外一点，OT垂直l，且OT=d，则d为O到直线l的距离，以o为圆心，按下列要求作图。 以小于d的长度为半径作圆，从图形上看，直线与圆相离，能根据定义说明吗？借助几何画板，我们可以看到。直线上任意一点 到圆心的距离都大于半径，所以直线上 所有点都在圆外，没有公共点；以d为半径作圆，此时点T在圆上，除T外任意一点到圆心的距离都大于半径，所以直线只有点T一个公共点；以大于d的长度为半径作圆，此时，T在圆内，当点从圆内往两侧运动至圆外时，左右各存在一个点刚好在圆上，所以直线与圆有2个公共点。至此，我们已经完成了位置关系和数量关系的互推，从而得出直线与圆的位置关系存在以下定理。数与形的互相推导，正是数形结合的体现。 回顾刚才的说明过程，我们判断了直线上所有点与圆的位置关系，从而得出直线与圆的公共点数量，最终证明了直线与圆的位置关系。这个过程过于繁琐，我们能否通过某个特殊点，直接判断出直线与圆的位置关系呢？ 垂足是直线上距离圆心最近的点，垂足在圆外时，直线与圆相离；垂足刚好在圆上时，直线刚好与圆相切；垂足在圆内时，直线与圆相交。两种位置关系竞存在如此密切的联系，甚至可以互相转化。 三、知识梳理 我们已经探究完了所有新知，请你完成类比学习的最后一个步骤：以表格的形式整理出新旧知识的相同点、不同点和联系。 四、巩固新知 练习1：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 根据下列条件判断直线l与⊙O的位置关系. （1）d=4，r=3. （2）d=，r=. （3）d=，r=. （4）d=2，r=. 分析：根据给出的数据，可以判断出距离d和半径r的大小关系，然后便可得出相应的位置关系，作个示意图更加直观。 练习2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm. 若要以C为圆心，r为半径画⊙C，根据下列条件，求半径r的值或取值范围. （1）直线AB与⊙C相离. （2）直线AB与⊙C相切. （3）直线AB与⊙C相交. 分析：由位置关系得出数量关系，要求r的值或范围，必须知道d的值。 五、例题讲解 例1：已知：如图，P为∠ABC的角平分线上一点，⊙P与BC相切. 求证：⊙P与AB相切. 分析：此题考查相切的位置关系与数量关系的互换，若图中未画出 圆心到直线的距离，则需要我们自行添加. 例2：在码头A的北偏东60°方向有一个海岛，离该岛中心P的12海里范围内是一个暗礁区. 货船从码头A由西向东航行，行驶了10海里到达点B，这时岛中心P在北偏东45°方向，若货船不改变航向，则货船会不会进入暗礁区？ 分析：岛中心P的12海里范围可以抽象成数学中的圆形，货船由西向东航行，可以抽象为一条直线。货船会不会进入暗礁区转化为判断直线AB与⊙P的位置关系的问题。 六、课堂小结 本节课我们全程采用类比的数学思想，借助点与圆的位置关系的学习经验，探究了直线与圆的位置关系，并比较了两者的异同与联系。 在具体的探究过程中，我们通过作图，分类讨论了直线与圆的三种位置关系，并借助几何画板感受了图形的动态变化，通过位置关系和数量关系的互推，我们对数形结合的思想也有了更深的理解。 后续，我们将继续采用类比的思想，进一步关注相切这一特殊情况，探究切线的判定和性质，以及多条切线所涉及的有趣结论。 七、课后作业 必做：配套习题基础部分 选做：配套习题提高部分 学科网（北京）股份有限公司 $$