7.4.2 宇宙航行（卫星的变轨和双星问题）讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦卫星变轨与对接、双星及多星模型两大核心知识点，先通过轨道对比（圆轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ、圆轨道Ⅲ）系统梳理速度、加速度、周期、机械能等基础概念，再提炼变轨判断思路，最后结合例题与精练题实现从理论到应用的递进，构建完整学习支架。 资料以“嫦娥六号”“神舟”系列等航天实例为载体，通过双星轨道半径推导、多星系统模型建构培养科学思维，结合变轨能量分析渗透能量观念。课中助力教师系统授课，课后学生可通过例题精讲与精练题查漏补缺，有效提升物理观念与解决实际问题的能力。

7.4.2 卫星的变轨和双星问题 【基础回顾】 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【必备知识】 一、力与运动 二、判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3．判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4．判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。 【巩固强化】 题型1 卫星的变轨和对接 【例题精讲】 1．2024年5月8日，“嫦娥六号”探测器在“鹊桥二号”中继卫星的支持下，成功实现第一次近月制动，顺利进入环月轨道，运动简图如图，它先在椭圆轨道1上运行，变轨后进入圆轨道2。已知轨道1近月点P到月球表面的距离为r1，远月点Q到月球表面的距离为r2，1、2轨道相切于P点，月球半径为R，月球表面重力加速度大小为g0，除在P点处变轨外只考虑月球的引力，则“嫦娥六号”（　　） A．从轨道1变轨到轨道2，发动机在P点需要对它做正功 B．在Q点的速度大于 C．在轨道2上运动的加速度大于g0 D．在轨道1上与轨道2上运动的周期之比为 2．2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与“天和核心舱”完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入“天和核心舱”。对接过程的示意图如图所示，“天和核心舱”处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十五号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和核心舱”对接。则神舟十五号飞船（　　） A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点减速 B．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1 C．在轨道Ⅲ上线速度小于在轨道Ⅰ上线速度 D．在轨道上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度 3．神舟十九号于北京时间2024年10月30日4时27分发射，于10月30日上午11时与空间站天和核心舱前向端口成功对接，“太空之家”迎来蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名新乘组入驻。如图为飞船运行与交会对接过程示意图，椭圆轨道1为飞船对接前的运行轨道，Q点是轨道1的近地点，离地高度可忽略不计。圆形轨道2距地面高度为H，是天和核心舱的运行轨道，P点是1、2轨道的切点，也是交会点。地球半径为R，表面重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．天和核心舱在轨道2上的速度大小一定大于在轨道1的速度 B．飞船从轨道1变轨到轨道2需要在交会点P点点火减速 C．飞船在轨道1上与在轨道2上运动的周期之比为 D．交会对接前天和核心舱的向心加速度为 4．“天问一号”是我国发射的首颗火星探测器，“天问一号”携带“祝融号”着陆器进入火星轨道后的示意图如图所示，“天问一号”由火星轨道1经一系列的变轨后最终进入近火圆轨道3。已知A点是三个轨道的切点，AD＝2AC＝4AB＝8R，R为火星半径。则下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”的发射速度小于11.2km/s B．“天问一号”在轨道2和轨道3的周期之比为1：2 C．“天问一号”在轨道1过A点的速度大于在轨道2过A点的速度 D．“天问一号”在轨道2过C点的速度大于轨道3的运行速度 5．中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028年实施“天问三号”火星探测与取样返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后第一次变轨进入地火转移轨道，逐渐远离地球，成为一颗人造行星，运行轨迹简化如图所示，Ⅰ是地球运行圆轨道，Ⅱ是地火转移椭圆轨道，Ⅲ是火星运行圆轨道，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点。则（　　） A．地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度 B．“天问三号”的发射速度v应满足v≥16.7km/s C．“天问三号”在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅰ上P点处运行速度最大 D．Q点处，“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向后喷气 6．（多选）2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．Z卫星的发射速度大于11.2 km/s B．Z卫星在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅲ上运动的周期 C．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度 7．（多选）如图所示为某地球卫星发射的示意图，轨道1为近地圆轨道，轨道3为预定圆轨道，轨道2为过渡椭圆轨道，P为轨道1、2的切点，Q为轨道2、3的切点，P、Q两点的距离等于地球直径的3倍。下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道2和轨道3运行的周期之比为 B．卫星在轨道1的运行速度大于在轨道3的运行速度 C．卫星在轨道3经过Q点的加速度大于在轨道2经过Q点的加速度 D．此卫星的发射速度大于11.2km/s 题型2 双星和多星模型 【例题精讲】 1．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 2．如图所示，太阳系以外的两个相距较远的星球A和星球B组成双星系统，A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。两星球间的距离为L，且OA＞OB，引力常量为G，星球A和星球B均可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．M1＞M2 B．星球A做匀速圆周运动所需的向心力比星球B做匀速圆周运动所需的向心力小 C．星球A的转动周期为 D．星球A的转动角速度为 3．冥王星和它附近的卡戎由于质量相差不大，共同重心位于宇宙空间里，它们以它们共同的重心为圆心进行旋转，可视为双星，它们之间的距离为r，运动周期为T，冥王星做圆周运动的半径为r1，引力常量为G，则（　　） A．两颗星的质量和为 B．卡戎的质量为 C．卡戎的质量为 D．冥王星的质量为 4．如图所示的双星系统，甲、乙两颗恒星绕连线上的O点做匀速圆周运动，间距L保持不变，已知一段时间t内乙转过的角度为θ，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙做圆周运动的半径与两恒星质量成反比 B．甲、乙的线速度大小与两恒星质量成正比 C．甲的周期大于 D．甲、乙的总质量为 5．黑洞是宇宙空间内存在的一种天体。黑洞的引力很大，使得视界内的逃逸速度大于光速。黑洞无法直接观测，但可以借由间接方式得知其存在，并且观测到它对其他事物的影响，双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的角速度ω要大于按照力学理论计算出的角速度理论值ω0，且k（k＞1）。于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的黑洞C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，如图所示。已知万有引力常量为G，以下说法正确的是（　　） A．在运动的过程中，A和B两颗星的角速度、线速度都相同 B．如图甲，两个星球A、B组成的双星系统角速度理论值ω0 C．图乙中A受到的万有引力为mω2 D．星球C的质量m（k2﹣1） 6．（多选）中国古人很早就发现了开阳是双星的现象，他们将开阳作为主星，另一颗星作为辅星来表示，这种现象早在山东嘉祥武氏墓祠出土的东汉画像石帝车星象图上就有表示。如图所示，开阳A星体和开阳B星体绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，假设质量较小的A星体能“吸食”质量较大的B星体的表面物质，且在“吸食”过程中两星体球心间的距离保持不变，下列说法正确的是（　　） A．A星体对B星体的引力和B星体对A星体的引力大小相等 B．A、B两星体的质量越接近，它们间的万有引力越大 C．在两星体的质量相等之前，A星体的动能大于B星体的动能 D．A、B两星体的速率之和逐渐增大 7．（多选）如图所示，假设在太空中有恒星A、B组成的双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径之比RA：RB＝4：1，AB间引力为FAB，已知A的质量为m，A的线速度大小为v。C为绕B逆时针匀速转动的卫星，卫星C运动周期为T2，AC间的引力大小为FAC，BC间的引力大小为FBC，且FAC≪FBC≪FAB，则以下说法正确的是（　　） A．恒星B的质量为 B．A与B的动能之差为 C．若保持AB间距离恒定不变，A的质量减小Δm而B的质量增加Δm（Δm≠0），则AB间引力将减小 D．若A，B，C由图示位置开始经过时间t三者下一次共线，则 课时精练 1．探索宇宙的奥秘，一直是人类孜孜不倦的追求。随着我国航天事业的飞速发展，相关领域的研究已走在了世界前列。下列说法正确的是（　　） A．在不同轨道运行的地球卫星，它们在相等时间内与地心的连线扫过的面积都相等 B．飞船返回时朝运动的反方向喷气，可以实现制动减速 C．随着技术的不断提高，可以发射与某一经线共面或某一纬线共面的人造地球卫星 D．某卫星在离地心为a的近地点处的速率为va，则其在离地心为b的远地点处的速率vb 2．发射一枚卫星时，先将其发射至近地圆形轨道Ⅰ，在近地点A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，经过远地点B时，再次实施变轨进入圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，其半径是轨道Ⅰ半径的5倍。下列说法正确的是（　　） A．卫星在椭圆轨道Ⅱ经过B点的加速度小于轨道Ⅲ上经过B点的加速度 B．卫星在椭圆形轨道Ⅱ上从A点运动到B点的过程中机械能不变 C．卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需要在B点向前喷气 D．卫星在轨道Ⅱ运动周期是轨道Ⅰ的3倍 3．2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播。影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ。在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳的束缚。对于该过程，下列说法正确的是（　　） A．地球沿轨道Ⅰ运行至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ B．地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期 C．地球沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度 D．地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大 4．2025年7月15日，天舟九号货运飞船在文昌航天发射场成功发射，随后与中国空间站完成交会对接，为空间站补给物资。天舟九号货运飞船与空间站交会对接后，随空间站绕地球做匀速圆周运动，忽略地球自转影响。下列说法正确的是（　　） A．天舟九号与空间站对接后，其线速度大于地球第一宇宙速度 B．天舟九号与空间站对接后，空间站因质量增大，其向心加速度将减小 C．空间站中宇航员处于完全失重状态，重力消失 D．天舟九号从低轨道向空间站轨道转移时，需在低轨道加速，加速后其万有引力瞬间小于所需向心力 5．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。图1为天舟九号在变轨过程中的两个不同的椭圆轨道P、Q，图2为天舟九号在两个轨道上所受引力大小随时间的变化情况。下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在P轨道的最大速度与最小速度之比为 B．P轨道与Q轨道的半长轴之比为3：5 C．天舟九号在P轨道与Q轨道运行的周期之比为 D．天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处速度大小相等 6．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与距地表约400km的空间站顺利完成径向对接，这种对接比前向和后向对接更难。径向对接时飞船在空间站正下方200m的“停泊点”处调整为垂直姿态，并与空间站保持相对静止。准备好后，再逐步上升到“对接点”，最终与空间站完成对接。飞船和空间站对接后，组合体在原空间站轨道绕地球做匀速圆周运动。已知地球静止轨道卫星位于地面上方高度约36000km处。下列说法正确的是（　　） A．飞船维持在200m“停泊点”的状态时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船维持在200m“停泊点”的状态时，并非只受地球施加的万有引力 C．组合体的运动周期比地球静止卫星的运动周期大 D．对接稳定后空间站速度减小 7．我国探月工程计划于2030年前实现中国人登月目标。如图所示为探月卫星计划轨道示意图，调相轨道1、调相轨道2和转移轨道于P点相切，轨道1和轨道2的半长轴分别为a1、a2，卫星在轨道1和轨道2上运行的周期分别为T1、T2，卫星在轨道1和轨道2上运行时单位时间内扫过的面积分别为ΔS1、ΔS2。则（　　） A．探月卫星在地球表面附近的发射速度大于11.2km/s B．ΔS1＜ΔS2 C． D．卫星在3个轨道上运行经过P点时的速率相等 8．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。70后、80后、90后航天员齐聚“天宫”，完成中国航天史上第5次“太空会师”。飞船入轨后先在近地轨道上进行数据确认，后经椭圆转移轨道与在运行轨道上做匀速圆周运动的空间站组合体完成自主快速交会对接，其变轨过程可简化为如图所示，假设除了变轨瞬间，飞船在轨道上运行时均处于无动力航行状态。下列说法正确的是（　　） A．飞船在近地轨道的A点减速后进入转移轨道 B．飞船在转移轨道上的A点速度大于B点速度 C．飞船在近地轨道时的速度小于在运行轨道时的速度 D．飞船在近地轨道时的周期大于在运行轨道时的周期 9．（多选）如图所示，卫星从圆轨道Ⅰ变轨至椭圆轨道Ⅱ，再变轨至圆轨道Ⅲ，下列说法正确的是（　　） A．在轨道Ⅱ上A点的速度大于轨道Ⅰ上A点的速度 B．在轨道Ⅱ上B点的加速度小于轨道Ⅲ上B点的加速度 C．卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于轨道Ⅱ的运行周期 D．从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需在A点减速 10．（多选）在天文观测中，科学家们发现有一些远离地球的双星系统的运动很奇怪——两个天体时而重合，时而分开，如图甲所示；天文学家推测，这样的系统实际上是由如图乙所示的两个绕着二者连线上某点做匀速圆周运动的天体组成，但地球正好与该双星系统的圆周轨道处在同一平面，所以在地球上只能观测到它们的投影运动。天文学家已经测得某个这样的双星系统投影运动的振幅A1、A2，已知万有引力常量G。对该双星系统，下列说法正确的有（　　） A．天体1的质量大于天体2的质量 B．天体1、天体2的质量之比为A1：A2 C．若测得该双星系统的运动周期为T，则该双星系统的总质量为 D．地球上观测到两个天体的投影运动均为简谐运动 11．（多选）如图，P、Q、S三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q、S三颗星体的运动线速度大小相等 B．P、Q、S三颗星体中S星的质量最小 C．P、Q、S三颗星体中S星的加速度最小 D．P、Q、S三颗星体中S星所受的合力最小 12．天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求： （1）a、b的线速度之比； （2）a、b的质量分别为多大？ 13．中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟”飞船，目前已经优于国际第三代载人飞船技术。如图所示，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，飞船通过变轨进入预定圆轨道。已知：点A距地面的高度为h1，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求： （1）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小； （2）B距地面的高度。 14．神舟十八号载人飞船的发射是中国航天事业发展的重要里程碑，它承载着国家荣誉、民族梦想和人类探索未知世界的渴望。其发射过程简化如下：飞船在发射中心发射，由“长征二号F遥十八”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，点A距地面的高度为h1，飞船通过变轨进入预定圆轨道，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，求： （1）地球的平均密度； （2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小； （3）椭圆轨道远地点B距地面的高度。 15．中国天眼（FAST）探测到一个罕见的脉冲星双星系统，由质量分别为2M和M的恒星A、B组成，两星间距为L，绕其连线上某点做匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他天体影响。 （1）求恒星A和B的轨道半径rA和rB； （2）求恒星A做圆周运动的周期T。 16．中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为T1的毫秒脉冲星PSRJ1928+1815。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为L的距离内相互绕转，绕转周期为T2。伴星的质量为m2，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为G。 （1）该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度ρ； （2）求脉冲星的质量m1； （3）脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径R。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为P，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为t1，相当于接收来自太阳持续时间为t2释放出的总能量。太阳的辐射功率为P0，日地距离为r。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离d。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2 卫星的变轨和双星问题 【基础回顾】 一、卫星的变轨和对接 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 二、双星和多星模型 1.双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2.多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 【必备知识】 一、力与运动 二、判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3．判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4．判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。 【巩固强化】 题型1 卫星的变轨和对接 【例题精讲】 1．2024年5月8日，“嫦娥六号”探测器在“鹊桥二号”中继卫星的支持下，成功实现第一次近月制动，顺利进入环月轨道，运动简图如图，它先在椭圆轨道1上运行，变轨后进入圆轨道2。已知轨道1近月点P到月球表面的距离为r1，远月点Q到月球表面的距离为r2，1、2轨道相切于P点，月球半径为R，月球表面重力加速度大小为g0，除在P点处变轨外只考虑月球的引力，则“嫦娥六号”（　　） A．从轨道1变轨到轨道2，发动机在P点需要对它做正功 B．在Q点的速度大于 C．在轨道2上运动的加速度大于g0 D．在轨道1上与轨道2上运动的周期之比为 【答案】D 【解析】解：A．“嫦娥六号”从轨道1变轨到轨道2，做向心运动，需要减速，发动机在P点需要对它做负功，故A错误； B．假设有一过Q点的外切圆轨道3，“嫦娥六号”在轨道3上做圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 在月球表面有 联立解得 “嫦娥六号”从轨道1变轨到轨道3，需要加速，故在Q点的速度大小 故B错误； C．在轨道2上运动，根据万有引力提供向心力可得 可得 a＜g0 故C错误； D．轨道1的半长轴为 轨道2的半径为 R2＝r1+R 由开普勒第三定律有 “嫦娥六号”在轨道1上与轨道2上运动的周期之比为 故D正确。 故选：D。 2．2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与“天和核心舱”完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入“天和核心舱”。对接过程的示意图如图所示，“天和核心舱”处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十五号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和核心舱”对接。则神舟十五号飞船（　　） A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点减速 B．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1 C．在轨道Ⅲ上线速度小于在轨道Ⅰ上线速度 D．在轨道上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度 【答案】C 【解析】解：A、飞船从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅱ，需在A点加速实现离心运动进入椭圆轨道，故A错误； B、由开普勒第三定律可得，其中，解得：，故B错误； C、由得，因r3＞r1，故轨道Ⅲ线速度小于轨道Ⅰ，故C正确； D、根据得，飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ的A点距地心距离相同，加速度大小相等，故D错误。 故选：C。 3．神舟十九号于北京时间2024年10月30日4时27分发射，于10月30日上午11时与空间站天和核心舱前向端口成功对接，“太空之家”迎来蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名新乘组入驻。如图为飞船运行与交会对接过程示意图，椭圆轨道1为飞船对接前的运行轨道，Q点是轨道1的近地点，离地高度可忽略不计。圆形轨道2距地面高度为H，是天和核心舱的运行轨道，P点是1、2轨道的切点，也是交会点。地球半径为R，表面重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．天和核心舱在轨道2上的速度大小一定大于在轨道1的速度 B．飞船从轨道1变轨到轨道2需要在交会点P点点火减速 C．飞船在轨道1上与在轨道2上运动的周期之比为 D．交会对接前天和核心舱的向心加速度为 【答案】D 【解析】解：A、设卫星在Q点绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得，解得：。因轨道1的Q点速度需大于轨道2的Q点速度，而变轨需加速，故天和核心舱在轨道2的速度小于轨道1的Q点速度，故A错误； B、卫星从低轨变高轨需在变轨点加速，故飞船从轨道1变至轨道2需在P点加速，故B错误； C、设轨道1、2周期为T1、T2，由开普勒第三定律得，解得：，故C错误； D、由牛顿第二定律，结合地表重力，解得：，故D正确。 故选：D。 4．“天问一号”是我国发射的首颗火星探测器，“天问一号”携带“祝融号”着陆器进入火星轨道后的示意图如图所示，“天问一号”由火星轨道1经一系列的变轨后最终进入近火圆轨道3。已知A点是三个轨道的切点，AD＝2AC＝4AB＝8R，R为火星半径。则下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”的发射速度小于11.2km/s B．“天问一号”在轨道2和轨道3的周期之比为1：2 C．“天问一号”在轨道1过A点的速度大于在轨道2过A点的速度 D．“天问一号”在轨道2过C点的速度大于轨道3的运行速度 【答案】C 【解析】解：A．由于发射的是火星探测器，因此“天问一号”离开地球的束缚，即它的发射速度大于第二宇宙速度11.2km/s，故A错误； B．由题意可知，轨道2和轨道3的半长轴之比为2：1，根据开普勒第三定律有：， 解得：，故B错误； C．“天问一号”在高轨的机械能比低轨的大，即轨道1的机械能比2的大，从轨道1进入轨道2需在A点点火减速，减小机械能，所以“天问一号”在轨道1过A点的速度大于轨道2过A点的速度，故C正确； D．若存在以火星的球心为圆心，OC长为半径的圆轨道4，探测器在轨道3和轨道4均做圆周运动， 根据万有引力提供向心力有，解得， 结合C选项分析可知，探测器在轨道3的速度大于轨道4的速度，又探测器由轨道4进入轨道2时，探测器应在C点减速，即探测器在轨道4过C点的速度大于轨道2过C点的速度，所以探测器在轨道2过C点的速度应小于轨道3的运行速度，故D错误。 故选：C。 5．中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028年实施“天问三号”火星探测与取样返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后第一次变轨进入地火转移轨道，逐渐远离地球，成为一颗人造行星，运行轨迹简化如图所示，Ⅰ是地球运行圆轨道，Ⅱ是地火转移椭圆轨道，Ⅲ是火星运行圆轨道，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点。则（　　） A．地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度 B．“天问三号”的发射速度v应满足v≥16.7km/s C．“天问三号”在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅰ上P点处运行速度最大 D．Q点处，“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向后喷气 【答案】D 【解析】解：A、根据万有引力提供向心力得：，解得：v 因地球绕太阳公转半径小于火星绕太阳公转半径，故地球绕太阳公转速度大于火星绕太阳公转速度，故A错误； B、16.7km/s等于第三宇宙速度的大小，以此速度发射的飞行器会挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外。显然“天问三号”的发射速度小于此速度，故B错误； C、“天问三号”由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ上，需要在P点加速做离心运动，可知在轨道Ⅰ上P点处运行速度小于在轨道Ⅱ上P点处运行速度，故C错误； D、“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q点处加速做离心运动，故需要向后喷气，故D正确。 故选：D。 6．（多选）2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．Z卫星的发射速度大于11.2 km/s B．Z卫星在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅲ上运动的周期 C．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D．Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度 【答案】CD 【解析】解：A、人造地球卫星的发射速度需大于或等于第一宇宙速度，但应小于第二宇宙速度，即满足v≥7.9km/s且v＜11.2km/s，故A错误； B、由于轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的周期，故B错误； C、轨道Ⅲ相对于轨道Ⅱ是高轨道，从低轨道变轨至高轨道需要在切点位置加速，因此卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度，故C正确； D、根据牛顿第二定律有，解得：，可知卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度，故D正确。 故选：CD。 7．（多选）如图所示为某地球卫星发射的示意图，轨道1为近地圆轨道，轨道3为预定圆轨道，轨道2为过渡椭圆轨道，P为轨道1、2的切点，Q为轨道2、3的切点，P、Q两点的距离等于地球直径的3倍。下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道2和轨道3运行的周期之比为 B．卫星在轨道1的运行速度大于在轨道3的运行速度 C．卫星在轨道3经过Q点的加速度大于在轨道2经过Q点的加速度 D．此卫星的发射速度大于11.2km/s 【答案】AB 【解析】解：A．设地球半径为R，根据开普勒第三定律可知， 可得卫星在轨道2和轨道3运行的周期之比为，故A正确； B．根据万有引力提供向心力可得 可得 卫星在轨道1的运行速度大于在轨道3的运行速度，故B正确； C．根据万有引力提供向心力可得 可得 可知卫星在轨道3经过Q点的加速度等于在轨道2经过Q点的加速度，故C错误； D．此卫星没有脱离地球的引力范围，则发射速度小于11.2km/s，故D错误。 故选：AB。 题型2 双星和多星模型 【例题精讲】 1．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】D 【解析】解：A、对于双星系统中的星体P，根据牛顿第二定律可得，解得Q的质量为，故A正确； B、对于环绕P运行的卫星M，由万有引力提供向心力得，解得P的质量为，则恒星P与Q之间的万有引力大小为，故B正确； C、假设Q也有一颗周期为T2的卫星，设其质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律有，解得，同理可得卫星M的轨道半径，对于双星系统有，由于rP＜rQ，则有MP＞MQ，进而可得r＜rM，故C正确； D、如图所示： 当P、Q、M三星由图示位置运动至再次共线时，P、Q转过的圆心角θ1与M转过的圆心角θ2互补，满足，解得，故D错误。 本题选不正确的，故选：D。 2．如图所示，太阳系以外的两个相距较远的星球A和星球B组成双星系统，A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。两星球间的距离为L，且OA＞OB，引力常量为G，星球A和星球B均可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．M1＞M2 B．星球A做匀速圆周运动所需的向心力比星球B做匀速圆周运动所需的向心力小 C．星球A的转动周期为 D．星球A的转动角速度为 【答案】C 【解析】解：A、对于双星系统，两星球绕共同的圆心O做匀速圆周运动，具有相同的角速度ω和周期T。两星球间的万有引力互为作用力与反作用力，提供各自运动所需的向心力。根据向心力公式有，即M1OA＝M2OB；由题意知OA＞OB，则M1＜M2，故A错误； B、两星球做圆周运动的向心力均由它们之间的万有引力提供，根据牛顿第三定律，该力大小相等，即，故B错误； C、由和可得：以及；两式相加得，解得：，故C正确； D、由角速度与周期的关系，代入周期公式解得：，故D错误。 故选：C。 3．冥王星和它附近的卡戎由于质量相差不大，共同重心位于宇宙空间里，它们以它们共同的重心为圆心进行旋转，可视为双星，它们之间的距离为r，运动周期为T，冥王星做圆周运动的半径为r1，引力常量为G，则（　　） A．两颗星的质量和为 B．卡戎的质量为 C．卡戎的质量为 D．冥王星的质量为 【答案】D 【解析】解：设冥王星和卡戎的质量分别为m1和m2，它们做圆周运动的向心力由万有引力提供，所以对于冥王星 可得，． 对于卡戎万有引力提供向心力，有 可得 所以双星的质量和为 故ABC错误，D正确。 故选：D。 4．如图所示的双星系统，甲、乙两颗恒星绕连线上的O点做匀速圆周运动，间距L保持不变，已知一段时间t内乙转过的角度为θ，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙做圆周运动的半径与两恒星质量成反比 B．甲、乙的线速度大小与两恒星质量成正比 C．甲的周期大于 D．甲、乙的总质量为 【答案】A 【解析】解：C、双星系统在相同时间内转过的角度相同，周期相同。根据角速度定义式，解得甲的周期，代入得，故C错误； A、双星系统中万有引力提供向心力，有，可得m甲r甲＝m乙r乙，即。因此两恒星轨道半径与其质量成反比，故A正确； B、由匀速圆周运动规律得v甲＝ωr甲，v乙＝ωr乙，故。说明线速度大小与质量成反比，故B错误； D、由万有引力方程与，联立解得。将代入，得总质量，故D错误。 故选：A。 5．黑洞是宇宙空间内存在的一种天体。黑洞的引力很大，使得视界内的逃逸速度大于光速。黑洞无法直接观测，但可以借由间接方式得知其存在，并且观测到它对其他事物的影响，双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的角速度ω要大于按照力学理论计算出的角速度理论值ω0，且k（k＞1）。于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的黑洞C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，如图所示。已知万有引力常量为G，以下说法正确的是（　　） A．在运动的过程中，A和B两颗星的角速度、线速度都相同 B．如图甲，两个星球A、B组成的双星系统角速度理论值ω0 C．图乙中A受到的万有引力为mω2 D．星球C的质量m（k2﹣1） 【答案】C 【解析】解：A、在运动的过程中，A和B两颗星的角速度相同、线速度大小相等、方向相反，故A错误； B、分析星球AB，根据万有引力提供向心力可得：mrA，mrB，rA+rB＝L， 联立解的：ω0，故B错误； C、图乙中A的轨道半径为rA，转动的角速度为ω，根据万有引力的合力提供向心力可得图乙中A卫星受到的万有引力为F＝mω2，故C正确； D、设星球C的质量为M，对A卫星，根据万有引力的合力提供向心力可得：Fmω2， 解的：Mm（k2﹣1），故D错误。 故选：C。 6．（多选）中国古人很早就发现了开阳是双星的现象，他们将开阳作为主星，另一颗星作为辅星来表示，这种现象早在山东嘉祥武氏墓祠出土的东汉画像石帝车星象图上就有表示。如图所示，开阳A星体和开阳B星体绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，假设质量较小的A星体能“吸食”质量较大的B星体的表面物质，且在“吸食”过程中两星体球心间的距离保持不变，下列说法正确的是（　　） A．A星体对B星体的引力和B星体对A星体的引力大小相等 B．A、B两星体的质量越接近，它们间的万有引力越大 C．在两星体的质量相等之前，A星体的动能大于B星体的动能 D．A、B两星体的速率之和逐渐增大 【答案】ABC 【解析】解：A．根据牛顿第三定律可得，A星体对B星体的引力和B星体对A星体的引力大小相等，故A正确； B．根据万有引力定律可得，A、B两星体的质量之和一定，质量越接近，它们间的万有引力越大，故B正确； CD．根据万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律有，，R+r＝L 所以 又vA＝ωR，vB＝ωr ， 即A、B两星体的速率之和不变，故C正确，D错误。 故选：ABC。 7．（多选）如图所示，假设在太空中有恒星A、B组成的双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径之比RA：RB＝4：1，AB间引力为FAB，已知A的质量为m，A的线速度大小为v。C为绕B逆时针匀速转动的卫星，卫星C运动周期为T2，AC间的引力大小为FAC，BC间的引力大小为FBC，且FAC≪FBC≪FAB，则以下说法正确的是（　　） A．恒星B的质量为 B．A与B的动能之差为 C．若保持AB间距离恒定不变，A的质量减小Δm而B的质量增加Δm（Δm≠0），则AB间引力将减小 D．若A，B，C由图示位置开始经过时间t三者下一次共线，则 【答案】BCD 【解析】解：A、根据题意可知，双星系统的角速度相同，由恒星A、B间的万有引力提供向心力，即向心力大小相等，则对恒星A、B可得 其中mA＝m 解得mB＝4m，故A错误； B、恒星A与B的动能之差为 其中vA＝ωRA＝v，，mA＝m，mB＝4m 解得，故B正确； D、设A、B、C三星由图示位置到再次共线所需时间为t，由于A星转过的圆心角等于B星转过的圆心角，因此当A、B、C三星由题图示位置到再次共线时，A星转过的圆心角与C星转过的圆心角之和为π，有ωAt+ωCt＝π 即 解得，故D正确； C、恒星AB间引力原来为 质量变化后为 恒星AB间引力将减小，故C正确。 故选：BCD。 课时精练 1．探索宇宙的奥秘，一直是人类孜孜不倦的追求。随着我国航天事业的飞速发展，相关领域的研究已走在了世界前列。下列说法正确的是（　　） A．在不同轨道运行的地球卫星，它们在相等时间内与地心的连线扫过的面积都相等 B．飞船返回时朝运动的反方向喷气，可以实现制动减速 C．随着技术的不断提高，可以发射与某一经线共面或某一纬线共面的人造地球卫星 D．某卫星在离地心为a的近地点处的速率为va，则其在离地心为b的远地点处的速率vb 【答案】D 【解析】解：A.根据开普勒第二定律，同一轨道运行的地球卫星，它们在相等时间内与地心的连线扫过的面积都相等，故A错误； B.飞船返回时朝运动的反方向喷气，根据动量守恒，飞船应向前加速，故B错误； C.根据开普勒定律和牛顿力学，卫星在不受外力（或忽略摄动）时，其轨道平面在惯性空间（如恒星空间）中是‌固定不变‌的。地球的引力作为中心力，只改变卫星速度的方向，不改变轨道平面的朝向，因此，卫星轨道平面无法跟随地球自转，保持与某一条经线共面，故C错误； D.取极短的时间Δt，根据开普勒第二定律：，解得其在离地心为b的远地点处的速率vbva，故D正确； 故选：D。 2．发射一枚卫星时，先将其发射至近地圆形轨道Ⅰ，在近地点A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，经过远地点B时，再次实施变轨进入圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，其半径是轨道Ⅰ半径的5倍。下列说法正确的是（　　） A．卫星在椭圆轨道Ⅱ经过B点的加速度小于轨道Ⅲ上经过B点的加速度 B．卫星在椭圆形轨道Ⅱ上从A点运动到B点的过程中机械能不变 C．卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需要在B点向前喷气 D．卫星在轨道Ⅱ运动周期是轨道Ⅰ的3倍 【答案】B 【解析】解：A、由牛顿第二定律及万有引力定律得，解得。因轨道Ⅱ与Ⅲ在B点处r相等，故加速度大小相同，故A错误； B、卫星在椭圆轨道Ⅱ运动时仅受地球引力，机械能守恒，A至B过程机械能不变，故B正确； C、卫星从轨道Ⅱ变轨至轨道Ⅲ需在B点加速做离心运动，由反冲原理知需向后喷气，故C错误； D、设轨道Ⅰ半径为R，则轨道Ⅲ半径5R，轨道Ⅱ半长轴。由开普勒第三定律，代入得，即轨道Ⅱ周期为轨道Ⅰ的倍，故D错误。 故选：B。 3．2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播。影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ。在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳的束缚。对于该过程，下列说法正确的是（　　） A．地球沿轨道Ⅰ运行至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ B．地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期 C．地球沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度 D．地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大 【答案】B 【解析】解：A、地球沿轨道Ⅰ运行至B点时，需向后喷气减速才能进入轨道Ⅱ，故A错误； B、因轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，由开普勒第三定律可知，地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ的周期，故B正确； C、由可得，地球沿轨道Ⅰ运行时，A点加速度大于B点加速度，故C错误； D、根据开普勒第二定律，地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，逐渐远离太阳，速度逐渐减小，故D错误。 故选：B。 4．2025年7月15日，天舟九号货运飞船在文昌航天发射场成功发射，随后与中国空间站完成交会对接，为空间站补给物资。天舟九号货运飞船与空间站交会对接后，随空间站绕地球做匀速圆周运动，忽略地球自转影响。下列说法正确的是（　　） A．天舟九号与空间站对接后，其线速度大于地球第一宇宙速度 B．天舟九号与空间站对接后，空间站因质量增大，其向心加速度将减小 C．空间站中宇航员处于完全失重状态，重力消失 D．天舟九号从低轨道向空间站轨道转移时，需在低轨道加速，加速后其万有引力瞬间小于所需向心力 【答案】D 【解析】解：A.第一宇宙速度是近地圆轨道的线速度，由可知，轨道半径越大，线速度越小，天舟九号与空间站对接后，其线速度小于地球第一宇宙速度，故A错误； B.天舟九号在空间站轨道运行时，万有引力提供向心力，即，联立可得向心加速度与空间站的质量无关，故B错误； C.空间站绕地球旋转，空间站中宇航员处于完全失重状态，但重力并没有消失，故C错误； D.天舟九号从低轨道向空间站轨道转移时，需在低轨道沿运动方向加速，加速瞬间，天舟九号的速度增大，所需的向心力瞬间增大，而万有引力因轨道半径未变而不变，此时F丙＞F丙天舟九号做离心运动，故D正确。 故选：D。 5．2025年7月15日，天舟九号货运飞船搭载长征七号遥十运载火箭发射升空，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。图1为天舟九号在变轨过程中的两个不同的椭圆轨道P、Q，图2为天舟九号在两个轨道上所受引力大小随时间的变化情况。下列说法正确的是（　　） A．天舟九号在P轨道的最大速度与最小速度之比为 B．P轨道与Q轨道的半长轴之比为3：5 C．天舟九号在P轨道与Q轨道运行的周期之比为 D．天舟九号沿P轨道与Q轨道运行时，在切点处速度大小相等 【答案】C 【解析】解：A、由图2可知，天舟九号在P轨道上的最大引力为9F，最小引力为F。根据万有引力定律，可知，设引力F对应的距离为r0，则P轨道的近地点距离，解得：；远地点距离，解得：rPmax＝r0。根据开普勒第二定律vmaxrmin＝vminrmax，解得最大速度与最小速度之比为3：1，故A错误； B、同理，由图2可知Q轨道上的最大引力为F，最小引力为，则Q轨道的近地点距离rQmin＝r0，远地点距离，解得：。根据半长轴公式，解得，，两者之比为1：2，故B错误； C、根据开普勒第三定律，由B选项可知aP：aQ＝1：2，代入解得周期之比，即，故C正确； D、两轨道的切点对应P轨道的远地点和Q轨道的近地点，距离均为r0，天舟九号需在此处加速做离心运动才能从P轨道进入较高的Q轨道，故在切点处Q轨道上的速度大于P轨道上的速度，故D错误。 故选：C。 6．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与距地表约400km的空间站顺利完成径向对接，这种对接比前向和后向对接更难。径向对接时飞船在空间站正下方200m的“停泊点”处调整为垂直姿态，并与空间站保持相对静止。准备好后，再逐步上升到“对接点”，最终与空间站完成对接。飞船和空间站对接后，组合体在原空间站轨道绕地球做匀速圆周运动。已知地球静止轨道卫星位于地面上方高度约36000km处。下列说法正确的是（　　） A．飞船维持在200m“停泊点”的状态时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船维持在200m“停泊点”的状态时，并非只受地球施加的万有引力 C．组合体的运动周期比地球静止卫星的运动周期大 D．对接稳定后空间站速度减小 【答案】B 【解析】解：A、飞船维持在200m“停泊点”的状态时，其角速度与空间站的角速度相等，根据：v＝ωr，因飞船的运动半径小于空间站的运动半径，故其运动速度小于空间站运动速度，故A错误； B、根据万有引力提供向心力得：mω2r，解得：ω 因空间站只受地球施加的万有引力，即对于空间站是由万有引力提供向心力的，若飞船也是由万有引力提供向心力的，因飞船的运动半径小于空间站的运动半径，故其角速度要大于空间站的，而实际上两者角速度相等，可知飞船并非只受地球施加的万有引力，故B正确； C、根据万有引力提供向心力得：，解得：T 因组合体的运动半径比地球静止卫星的运动半径小，故组合体的运动周期比地球静止卫星的运动周期小，故C错误； D、已知飞船和空间站对接后，组合体在原空间站轨道绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，易知对接稳定后空间站的线速度大小不变，故D错误。 故选：B。 7．我国探月工程计划于2030年前实现中国人登月目标。如图所示为探月卫星计划轨道示意图，调相轨道1、调相轨道2和转移轨道于P点相切，轨道1和轨道2的半长轴分别为a1、a2，卫星在轨道1和轨道2上运行的周期分别为T1、T2，卫星在轨道1和轨道2上运行时单位时间内扫过的面积分别为ΔS1、ΔS2。则（　　） A．探月卫星在地球表面附近的发射速度大于11.2km/s B．ΔS1＜ΔS2 C． D．卫星在3个轨道上运行经过P点时的速率相等 【答案】B 【解析】解：A．探月卫星在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s，小于11.2km/s，如果发射速度大于11.2km/s，将飞出地月系，围绕太阳公转，故A错误； B．根据变轨原理可知，卫星在轨道1、轨道2和转移轨道上运行经过P点的速率大小关系为vP1＜vP2，可知，卫星在轨道1和轨道2上运行经过P点附近单位时间内扫过的面积关系为ΔS1＜ΔS2，结合开普勒第二定律可知，卫星在轨道1和轨道2上运行时单位时间内扫过的面积都满足ΔS1＜ΔS2，故B正确； C．根据开普勒第三定律，，故C错误； D．卫星依次从调相轨道1到调相轨道2和转移轨道，都应该在P点加速，故D错误。 故选：B。 8．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。70后、80后、90后航天员齐聚“天宫”，完成中国航天史上第5次“太空会师”。飞船入轨后先在近地轨道上进行数据确认，后经椭圆转移轨道与在运行轨道上做匀速圆周运动的空间站组合体完成自主快速交会对接，其变轨过程可简化为如图所示，假设除了变轨瞬间，飞船在轨道上运行时均处于无动力航行状态。下列说法正确的是（　　） A．飞船在近地轨道的A点减速后进入转移轨道 B．飞船在转移轨道上的A点速度大于B点速度 C．飞船在近地轨道时的速度小于在运行轨道时的速度 D．飞船在近地轨道时的周期大于在运行轨道时的周期 【答案】B 【解析】解：A、飞船从近地轨道进入转移轨道时做离心运动，在A点必须加速，故A错误； B、根据开普勒第二定律分析可知，船在转移轨道上的A点速度大于B点速度，故B正确； C、飞船绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得 Gm 可得v，轨道半径越大，飞船运行速度越小，则飞船在近地轨道时的速度大于在运行轨道时的速度，故C错误； D、根据开普勒第三定律k分析可知，轨道半径越大，飞船运行周期越大，则飞船在近地轨道时的周期小于在运行轨道时的周期，故D错误。 故选：B。 9．（多选）如图所示，卫星从圆轨道Ⅰ变轨至椭圆轨道Ⅱ，再变轨至圆轨道Ⅲ，下列说法正确的是（　　） A．在轨道Ⅱ上A点的速度大于轨道Ⅰ上A点的速度 B．在轨道Ⅱ上B点的加速度小于轨道Ⅲ上B点的加速度 C．卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于轨道Ⅱ的运行周期 D．从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需在A点减速 【答案】AC 【解析】解：AD．卫星从低轨道变轨到高轨道，其机械能变大，可知其需要在变轨处点火加速，所以卫星从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需在A点加速，则卫星在轨道Ⅱ上A点的速度大于轨道Ⅰ上A点的速度，故A正确，D错误； B．根据万有引力提供向心力，可得，可得， 可知卫星在轨道Ⅱ上B点的加速度等于轨道Ⅲ上B点的加速度，故B错误； C．由图可知轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律，可知卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于轨道Ⅱ的运行周期，故C正确。 故选：AC。 10．（多选）在天文观测中，科学家们发现有一些远离地球的双星系统的运动很奇怪——两个天体时而重合，时而分开，如图甲所示；天文学家推测，这样的系统实际上是由如图乙所示的两个绕着二者连线上某点做匀速圆周运动的天体组成，但地球正好与该双星系统的圆周轨道处在同一平面，所以在地球上只能观测到它们的投影运动。天文学家已经测得某个这样的双星系统投影运动的振幅A1、A2，已知万有引力常量G。对该双星系统，下列说法正确的有（　　） A．天体1的质量大于天体2的质量 B．天体1、天体2的质量之比为A1：A2 C．若测得该双星系统的运动周期为T，则该双星系统的总质量为 D．地球上观测到两个天体的投影运动均为简谐运动 【答案】AD 【解析】解：A．设一个恒星质量为m1，其做圆周运动的半径为r1，另一个恒星质量为m2，其做圆周运动的半径为r2，则两个天体的球心间距为L＝r1+r2 对于双星系统，两个天体绕连线上某点做匀速圆周运动，它们的角速度ω相等， 根据万有引力提供向心有 化简可得m1r1＝m2r2 即 由图可知，投影振幅A1、A2分别对应两天体做圆周运动的半径r1、r2，因为A1＜A2，所以r1＜r2，则m1＞m2，即天体1的质量大于天体2的质量，故A正确； B．根据选项A可知，故B错误； C．因为r1＝A1，r2＝A2，所以L＝r1+r2＝A1+A2 若测得该双星系统的运动周期为T，对天体1列向心力方程有 将上面数据代入解得 同理可得 所以该双星系统的总质量为，故C错误； D．设两天体做圆周运动的圆心为O，以圆心O在地球上的投影为坐标原点建立x轴，某时刻天体1距圆心O的距离为r1，其在x轴上的投影位置坐标为x＝r1cosθ＝A1cosθ 其中θ为天体1与圆心O连线与x轴的夹角，设天体1做圆周运动的角速度为ω，则有θ＝ωt 代入上式得x＝A1cosωt 满足简谐运动的表达式x＝Acosωt 同理天体2的投影运动也满足简谐运动的表达式，所以地球上观测到两个天体的投影运动均为简谐运动，故D正确。 故选：AD。 11．（多选）如图，P、Q、S三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q、S三颗星体的运动线速度大小相等 B．P、Q、S三颗星体中S星的质量最小 C．P、Q、S三颗星体中S星的加速度最小 D．P、Q、S三颗星体中S星所受的合力最小 【答案】BD 【解析】解：A．三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，由v＝ωr 可知星体的线速度 vP＝vQ＜vS 故A错误； BD．三颗星体都绕同一圆心O做匀速圆周运动，每个星体受到另外两个星体的万有引力的合力需指向O点，因此可得星体S、P受力如图所示， 可知S、P间的万有引力大小等于S、Q间的万有引力大小，S、P间的万有引力大小小于Q、P间的万有引力大小，两图中的两分力的夹角相等，因此 FS＜FP＝FQ 根据 可知 mS＜mP＝mQ 故BD正确； C．根据 a＝rω2 可知P、Q、S三颗星体中S星的加速度最大，故C错误。 故选：BD。 12．天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求： （1）a、b的线速度之比； （2）a、b的质量分别为多大？ 【答案】（1）双星a、b的线速度之比为4：3。 （2）a的质量为，b的质量为。 【解析】解：（1）由图像分析可知，双星系统a、b的中心与O点间距从零增至最远耗时，故周期T＝2t0。测得a与轨迹中心距ra＝4x0，b与轨迹中心距rb＝3x0，得半径比ra：rb＝4：3。 根据线速度公式v＝ωr，结合角速度相同，得线速度比va：vb＝4：3。 （2）由双星运动规律得向心力平衡方程，解得质量比ma：mb＝3：4。 对b星体，万有引力提供向心力：，代入数据得，。 答：（1）双星a、b的线速度之比为4：3。 （2）a的质量为，b的质量为。 13．中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟”飞船，目前已经优于国际第三代载人飞船技术。如图所示，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，飞船通过变轨进入预定圆轨道。已知：点A距地面的高度为h1，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求： （1）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小； （2）B距地面的高度。 【答案】（1）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小等于； （2）B距地面的高度等于。 【解析】解：（1）在地球表面有 可得 GM＝gR2 飞船经过椭圆轨道近地点A时，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 （2）设B距地面的高度为h2，飞船在预定圆轨道上飞行的周期为 由万有引力提供向心力可得 联立解得 答：（1）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小等于； （2）B距地面的高度等于。 14．神舟十八号载人飞船的发射是中国航天事业发展的重要里程碑，它承载着国家荣誉、民族梦想和人类探索未知世界的渴望。其发射过程简化如下：飞船在发射中心发射，由“长征二号F遥十八”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，点A距地面的高度为h1，飞船通过变轨进入预定圆轨道，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，求： （1）地球的平均密度； （2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小； （3）椭圆轨道远地点B距地面的高度。 【答案】（1）地球的平均密度为； （2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为； （3）椭圆轨道远地点B距地面的高度为。 【解析】解：（1）根据万有引力提供地球表面物体的重力，根据密度公式，解得 （2）根据牛顿第二定律得，解得 （3）对应飞船在预定圆轨道上运动时时，根据牛顿第二定律得，而，解得 答：（1）地球的平均密度为； （2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为； （3）椭圆轨道远地点B距地面的高度为。 15．中国天眼（FAST）探测到一个罕见的脉冲星双星系统，由质量分别为2M和M的恒星A、B组成，两星间距为L，绕其连线上某点做匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他天体影响。 （1）求恒星A和B的轨道半径rA和rB； （2）求恒星A做圆周运动的周期T。 【答案】（1）恒星A轨道半径等于，恒星B轨道半径等于； （2）恒星A做圆周运动的周期等于。 【解析】解：（1）对双星系统，角速度相等，由相互间的万有引力提供向心力，则有 可得rA：rB＝1：2 又因为rA+rB＝L 解得， （2）对恒星A，由双星间的万有引力提供向心力，则有 又 代入可得 答：（1）恒星A轨道半径等于，恒星B轨道半径等于； （2）恒星A做圆周运动的周期等于。 16．中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为T1的毫秒脉冲星PSRJ1928+1815。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为L的距离内相互绕转，绕转周期为T2。伴星的质量为m2，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为G。 （1）该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度ρ； （2）求脉冲星的质量m1； （3）脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径R。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为P，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为t1，相当于接收来自太阳持续时间为t2释放出的总能量。太阳的辐射功率为P0，日地距离为r。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离d。 【答案】（1）最小密度为。 （2）脉冲星的质量为。 （3）a.伴星的半径为；b.脉冲星距离地球的最近距离。 【解析】解：（1）设脉冲星半径为r，在脉冲星表面有 则密度 联立解得 （2）对脉冲星、伴星构成的双星系统，设脉冲星、伴星轨迹圆半径分别为r1、r2，则有 因为r1+r2＝L 联立解得 （3）a.双星轨迹如图 几何关系有 已知 联立解得 b.设地球接收星体辐射的面积为S0，如图 接受太阳能量 脉冲星辐射圆斑扫过地球的线速度为v，如图 则 辐射圆斑直径D＝vt1 辐射圆斑面积 地球接受的能量 因为E脉＝E太 联立解得 答：（1）最小密度为。 （2）脉冲星的质量为。 （3）a.伴星的半径为；b.脉冲星距离地球的最近距离。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $