寒假作业06 一元一次方程及其解法10大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 一元一次方程及其解法 一、等式的基本性质 1、等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 二、方程 1、含有未知数的等式叫作方程。 2、一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程，叫作解方程。 三、一元一次方程 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 四、解一元一次方程的步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 注意点：①去分母的时候不能漏乘 ②去括号的时候要注意是否需要变号 ③移项要变号 ④对于含参的系数，要讨论系数是否为0，再考虑化系数为1 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等式的性质 1．已知x＝y，下列各式不一定成立的是（　　） A．x+a＝y+a B．a﹣x＝a﹣y C．ax＝ay D． 2．下列根据等式的基本性质变形不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3 C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y D．若3x＝2，则 3．下列变形中，错误的是（　　） A．由x＝y，得x+5＝y+5 B．由m＝n，得m﹣2＝n﹣2 C．由mx＝my，得x＝y D．由a＝b，得 4．下列等式变形错误的是（　　） A．若a＝b，则 B．若a＝b，则3a＝3b C．若a＝b，则ax＝bx D．若a＝b，则 5．下列说法正确的是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．若ax＝ay，则ax﹣1＝ay+1 C．若a＝b，则 D．若x＝y，则 6．下列运用等式的性质变形正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a＝b，则a+c＝b﹣c C．若a2＝b2，则a＝b D．若a＝b，则ac2＝bc2 题型二 方程的概念与方程的解 7．已知式子：①3﹣4＝﹣1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0，其中是等式的有 　 　 ，是方程的有 　 　 ． 8．在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有 　 　 ，方程有 　 　 ．（填入式子的序号） 9．在 ①2+1＝3，②4+x＝1，③y2﹣2y＝3x，④x2﹣2x+1中，方程有 　 　 （填序号） 10．已知关于x的方程x（m﹣1）＝3x﹣m的解是x＝﹣2，则m的值为　　 ． 11．如果方程5x＝﹣3x+k的解为﹣1，则k＝　　 ． 12．已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　 　 ． 题型三 根据一元一次方程的概念求参数 13．若（m﹣3）x|m|﹣2＝5是关于x的一元一次方程，则m＝　 　 ． 14．已知方程（m+1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是　　 ． 15．若（m﹣2）x|m|﹣1﹣4＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　 ． 16．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+4＝0是一元一次方程，则m＝　 　 ． 17．已知关于x的方程（a2﹣9）x2+ax﹣3x+4＝0是一元一次方程，则多项式：﹣4a2+7﹣3a+2a+1的值是　　 ． 18．若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣3＝12是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　 ． 题型四 解一元一次方程 19．解方程： （1）3x﹣2＝1﹣2（x+1）； （2）x1． 20．解下列一元一次方程： （1）5x+4（3x﹣1）＝13； （2）． 21．解方程 （1）2x+1＝﹣2﹣3x； （2）． 22．解方程： （1）； （2）． 23．解方程： （1）3（1+x）＝13﹣2x； （2）． 24．解方程： （1）3x+2＝5x﹣6； （2）． 题型五 一元一次方程整数解的问题 25．已知关于x的方程9x﹣3＝kx+6有正整数解，则满足条件的所有整数k的值为　 　 ． 26．已知关于x的方程4﹣mx＝﹣3（x+1）有整数解，则正整数m的所有可能的取值之和为 　 　 ． 27．若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 　 　 ． 28．若整数a，关于x的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数a之和为　　 ． 29．若关于x的方程有非负整数解，且关于y的多项式（a﹣9）y2﹣ay+1是二次三项式，则所有满足条件的非负整数a的值之积是　 　 ． 30．如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式3y3+（a2﹣4）y2+2y+1为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 　 　 ． 题型六 方程无解和错解问题 31．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值它的解总是x＝2，则m+n的值为　 　 ． 32．若关于x的方程kx+3＝2x﹣1的无解，则k的取值是　 　 ． 33．小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 　 ． 34．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 ． 题型七 方程部分遮挡问题 35．方程2（x﹣3）﹣▲＝x+5，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝﹣6，那么▲处的数字是　 　 ． 36．小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：10﹣▲＝4x﹣3，▲处被污染看不清．若方程的解是x＝3，则▲处的数字应是 　 　 ． 37．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是　 　 ． 38．小明同学在解方程（1）＝x时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 　 　 ． 39．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　 　 ． 40．方程x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是　 　 ． 题型八 整体代换求方程的解 41．若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程的解为 　 ． 42．已知关于x的一元一次方程x+2022＝2x+b的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（3﹣y）+2022＝2（3﹣y）+b的解为 　 ． 43．已知关于x的方程的解为x＝2025，则关于y的方程的解是 　 ． 44．若关于x的一元一次方程x+3＝x+m的解为x＝2，则关于y的一元一次方程（3y﹣1）+4＝3y+m的解为y＝ 　 　 ． 45．已知关于x的一元一次方程的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程的解y＝ 　 　 ． 46．已知关于x的一元一次方程的解为x＝2022，那么关于y的一元一次方程的解为y＝ 　 　 ． 题型九 绝对值方程求解 47．方程1与方程|x﹣1|＝2的解一样，则m2﹣2m+1＝　 　 ． 48．已知关于x的方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝2016有唯一解，那么正整数a＝　 　 ． 49. 解方程：． 题型十 新定义型方程运算 50．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则x＝　　 ． 51．定义：关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0互称为“对称方程”（ab≠0），例如：方程2x﹣1＝0与方程﹣x+2＝0互为“对称方程”． （1）若关于x的方程4x+3m﹣1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“对称方程”，求m﹣n＝　 　 ． （2）若关于x的方程﹣3x+p＝1与其“对称方程”的解都是整数，且p也是整数，所有符合条件的p的和为　 　 ． 52．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”； （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2n）﹣3（n﹣1）＝1是“1差解方程”，求n的值； （3）关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与关于y的方程3y＝mn+n，若对于任何数m，都使得它们不是“2差解方程”，请直接写出n的值． 53．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程：3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值． （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为n，求n的值． （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 54．给定有理数m，n，对于整式A、B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝mA+nB；对正整数k（k≥2）和整式A，定义新运算“⊗”：k⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算），特别地，1⊗A＝A．如：当m＝2，n＝1时，若A＝x，B＝x﹣y，则A⊕B＝2A+B＝2x+（x﹣y）＝3x﹣y，2⊗A＝A⊕A＝2A+A＝3x． （1）当m＝1，n＝3时，若A＝2x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝　 ，2⊗A＝　 ，6⊗B＝　 ；（用含x，y的式子表示） （2）当m＝2，n＝1时，若A＝x2﹣2y，，M＝3⊗B，N＝k⊗A，且M⊕N的值与x的取值无关，求正整数k的值． 55．材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗．如1⊗，1⊗2⊗3＝（1⊗2）⊗． 材料二：规定[a]＝n，n表示为不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2． （1）2⊗6＝　　 ，[﹣π]＝　　 ； （2）若b＝1⊗2⊗3⊗4…⊗9，求b的值； （3）在（2）的条件下，若有理数a满足2[a]+7﹣[a+1]＝0，请求出b⊗[a]的结果． 1．我们用＜a＞表示不小于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝4，＜﹣1.5＞＝﹣1．若1，则x的取值范围是 　 　 ． 2．已知a，b为定值，关于x的方程1，无论k为何值，1总是它的解，则a+b＝　　 ． 3．方程：的解为 　 ． 4．小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确求出方程的解． 5．对于有理数a，b，c，我们规定：a⊗b⊗c＝|a﹣|b﹣c||； 例如1⊗2⊗3＝|1﹣|2﹣3||＝|1﹣1|＝0． 【知识运用】 （1）若x⊗1⊗0＝3，则x＝ 　 　 ． 【知识迁移】 （2）若关于x的方程a⊗3⊗x＝1011有且只有三个不相等的解，求a的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若d＜c＜b＜a＜0，p|d﹣a|，|p﹣q|＝k（c﹣b），且d⊗b⊗c＝a⊗3b⊗3c，求k的值． 6．已知代数式M＝（a+b+1）x3+（2a﹣b）x2+（a+3b）x﹣5是关于x的二次多项式．若关于y的方程3（a+b）y＝ky﹣8的解是y＝4，求k的值． 1．我们知道可以写成小数形式为0.，反过来，无限循环小数0.也可以转化成分数形式． 方法如下：设x＝0.，由0.0.333…可知：10x＝3.333…，所以10x﹣x＝3． 解方程，得x，所以0.． 再例如把无限循环小数0.化为分数方法： 设x＝0.，由0.0.323232…可知：100x＝32.323232…， 所以100x﹣x＝32，解方程，得x，所以0.． 【问题回答】 （1）把下列无限循环小数写成分数形式； ①0.　 　 ；②2.　 　 ；③0.1　 　 ． （2）借鉴材料中的方法，从第（1）题的②，③中任选一个，验证你的结果． 2．类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，类似地对于可以用裂项的方法变形为：，类比上述方法解决以下问题． （1）　 　 ． （2）求解关于x的方程：2x． 3．（1）先化简，再求值：已知A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1，求当a时，3A﹣2B+1的值； （2）已知x＝3是方程4x﹣a（2﹣x）＝2（x﹣a）的解，求3a2﹣2a﹣1的值； （3）当x＝3，y＝2或x，y时，分别计算①（x+y）（x﹣y），②x2﹣y2两个代数式的值，并观察①②两个代数式的值的关系，归纳出其中的规律． 4．我们规定，若x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程的定解方程，例如：的解为，则该方程就是定解方程． 请根据上边规定解答下列问题 （1）若x的一元一次方程2x＝m是定解方程，则m＝　　 ． （2）若x的一元一次方程2x＝ab+a是定解方程，它的解为a，求a，b的值． （3）若x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是定解方程，求代数式的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 一元一次方程及其解法 一、等式的基本性质 1、等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 二、方程 1、含有未知数的等式叫作方程。 2、一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程，叫作解方程。 三、一元一次方程 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 四、解一元一次方程的步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 注意点：①去分母的时候不能漏乘 ②去括号的时候要注意是否需要变号 ③移项要变号 ④对于含参的系数，要讨论系数是否为0，再考虑化系数为1 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等式的性质 1．已知x＝y，下列各式不一定成立的是（　　） A．x+a＝y+a B．a﹣x＝a﹣y C．ax＝ay D． 【解答】解：A、若x＝y，则x+a＝y+a，故此选项不符合题意； B、若x＝y，则﹣x＝﹣y，所以a﹣x＝a﹣y，故此选项不符合题意； C、若x＝y，则ax＝ay，故此选项不符合题意； D、若x＝y，则（a≠0），故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列根据等式的基本性质变形不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3 C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y D．若3x＝2，则 【解答】解：A．若x＝y，则x+1＝y+1，故选项A正确； B．若x＝2y，则x﹣3＝2y﹣3，故选项B正确； C．若x＝y，则﹣2x＝﹣2y，故选项C正确； D．若3x＝2，则，故选项D不正确． 故选：D． 3．下列变形中，错误的是（　　） A．由x＝y，得x+5＝y+5 B．由m＝n，得m﹣2＝n﹣2 C．由mx＝my，得x＝y D．由a＝b，得 【解答】解：A、已知x＝y，等式两边同时加5，得到x+5＝y+5，该变形正确，不符合题意； B、因为m＝n，等式两边同时减2，可得m﹣2＝n﹣2，该变形正确，不符合题意； C、按照等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等．当m＝0时，由mx＝my，不能得出x＝y，因为0乘任何数都为0，此时等式两边不能同时除以m（m＝0），所以该变形错误； D、由于|c|≥0，那么|c|+1≥1，即|c|+1≠0，根据等式的基本性质2：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立．已知a＝b，等式两边同时除以|c|+1，得到，该变形正确． 故选：C． 4．下列等式变形错误的是（　　） A．若a＝b，则 B．若a＝b，则3a＝3b C．若a＝b，则ax＝bx D．若a＝b，则 【解答】解：根据等式的性质可知： A．若a＝b，则．正确； B．若a＝b，则3a＝3b，正确； C．若a＝b，则ax＝bx，正确； D．若a＝b，则（m≠0），所以原式错误． 故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．若ax＝ay，则ax﹣1＝ay+1 C．若a＝b，则 D．若x＝y，则 【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原说法错误，不符合题意； B、若ax＝ay，则ax﹣1＝ay﹣1，原说法错误，不符合题意； C、若a＝b，因为m2+1＞0，则，原说法正确，符合题意； D、若x＝y，且m≠0，则，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 6．下列运用等式的性质变形正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a＝b，则a+c＝b﹣c C．若a2＝b2，则a＝b D．若a＝b，则ac2＝bc2 【解答】解：A、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，选项变形错误，不符合题意； B、若a＝b，则a+c＝b+c≠b﹣c（c≠0），选项变形错误，不符合题意； C、若a2＝b2，则a＝±b，选项变形错误，不符合题意； D、若a＝b，则ac2＝bc2，选项变形正确，符合题意． 故选：D． 题型二 方程的概念与方程的解 7．已知式子：①3﹣4＝﹣1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0，其中是等式的有 　①③④⑤　 ，是方程的有 　③④⑤　 ． 【解答】解：①3﹣4＝﹣1是等式；③1+2x＝0即是等式也是方程；④6x+4y＝2即是等式也是方程；⑤3x2﹣2x+1＝0即是等式也是方程， 故答案为：①③④⑤；③④⑤． 8．在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有 　②③④　 ，方程有 　②④　 ．（填入式子的序号） 【解答】解：等式有②③④，方程有②④． 故答案为：②③④，②④． 9．在 ①2+1＝3，②4+x＝1，③y2﹣2y＝3x，④x2﹣2x+1中，方程有 　②，③　 （填序号） 【解答】解：∵①不含未知数，①不是方程； ∵②、③含有未知数的等式，②、③是方程； ④不是等式，④不是方程， 故答案为：②、③． 10．已知关于x的方程x（m﹣1）＝3x﹣m的解是x＝﹣2，则m的值为　8　 ． 【解答】解：把x＝﹣2代入方程x（m﹣1）＝3x﹣m中，得﹣2（m﹣1）＝3×（﹣2）﹣m， 解得m＝8， 故答案为：8． 11．如果方程5x＝﹣3x+k的解为﹣1，则k＝　﹣8　 ． 【解答】解：根据题意把x＝﹣1代入方程5x＝﹣3x+k 得：﹣5＝3+k， 解得：k＝﹣8． 故填：﹣8． 12．已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　2025　 ． 【解答】解：将x＝1代入3x﹣m＝x+2n， 得3﹣m＝1+2n， 经整理，得m+2n＝2， 则m+2n+2023 ＝2+2023 ＝2025． 故答案为：2025． 题型三 根据一元一次方程的概念求参数 13．若（m﹣3）x|m|﹣2＝5是关于x的一元一次方程，则m＝　﹣3　 ． 【解答】解：∵（m﹣3）x|m|﹣2＝5是关于x的一元一次方程， ∴|m|﹣2＝1， 解得：m＝±3， ∵m﹣3≠0， ∴m≠3， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 14．已知方程（m+1）x|m|+3＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是　1　 ． 【解答】解：根据一元一次方程的特点可得， 解得m＝1． 故填1． 15．若（m﹣2）x|m|﹣1﹣4＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　﹣2　 ． 【解答】解：由题意得：， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 16．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+4＝0是一元一次方程，则m＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+4＝0是一元一次方程， ∴|m|＝1，m﹣1≠0， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 17．已知关于x的方程（a2﹣9）x2+ax﹣3x+4＝0是一元一次方程，则多项式：﹣4a2+7﹣3a+2a+1的值是　﹣25　 ． 【解答】解：根据题意可知，方程的二次项系数a2﹣9＝0，且一次项系数a﹣3≠0， ∴a＝﹣3， ∴﹣4a2+7﹣3a+2a+1＝﹣4a2﹣a+8 ＝﹣4×（﹣3）2﹣（﹣3）+8 ＝﹣36+3+8 ＝﹣25． 故答案为：﹣25． 18．若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣3＝12是关于x的一元一次方程，则m的值为　0　 ． 【解答】解：∵（m﹣1）x|2m﹣1|﹣3＝12是关于x的一元一次方程， ∴|2m﹣1|＝1且m﹣1≠0，即：m≠1， ∴2m﹣1＝1或2m﹣1＝﹣1， 解得：m＝1或m＝0， ∴m＝0， 故答案为：0． 题型四 解一元一次方程 19．解方程： （1）3x﹣2＝1﹣2（x+1）； （2）x1． 【解答】解：（1）去括号得：3x﹣2＝1﹣2x﹣2， 移项得：3x+2x＝1﹣2+2， 合并同类项得：5x＝1， 解得：x； （2）去分母得：15x﹣3（x+2）＝5（2x﹣5）﹣15， 去括号得：15x﹣3x﹣6＝10x﹣25﹣15， 移项得：15x﹣3x﹣10x＝﹣25﹣15+6， 合并同类项得：2x＝﹣34， 解得：x＝﹣17． 20．解下列一元一次方程： （1）5x+4（3x﹣1）＝13； （2）． 【解答】解：（1）5x+4（3x﹣1）＝13， 5x+12x﹣4＝13， 17x＝17， 解得：x＝1； （2）， 3（x﹣3）＝2（2x+1）﹣6， 3x﹣9＝4x+2﹣6， ﹣x＝5， 解得：x＝﹣5． 21．解方程 （1）2x+1＝﹣2﹣3x； （2）． 【解答】解：（1）2x+1＝﹣2﹣3x， 移项，得：2x+3x＝﹣2﹣1， 合并同类项，得：5x＝﹣3， 系数化1，得：； （2）， 方程两边同乘6，得：6x+2（1﹣2x）＝12﹣3（x+2）， 去括号，得：6x+2﹣4x＝12﹣3x﹣6， 移项，得：6x+3x﹣4x＝12﹣2﹣6， 合并同类项，得：5x＝4， 系数化1，得：． 22．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 去分母，两边乘以4，得：2（x+1）＝5﹣x， 去括号，得：2x+2＝5﹣x， 移项，得：2x+x＝5﹣2， 合并同类项，得：3x＝3， 系数化为1，得：x＝1； （2）， 去分母，两边乘以6，得：3x×6+3（x﹣1）＝3×6﹣2（2x﹣1）， 去括号，得：18x+3x﹣3＝18﹣4x+2， 移项，得：18x+3x+4x＝18+2+3， 合并同类项，得：25x＝23， 系数化为1，得：． 23．解方程： （1）3（1+x）＝13﹣2x； （2）． 【解答】解：（1）3（1+x）＝13﹣2x， 3+3x＝13﹣2x， 3x+2x＝13﹣3， 5x＝10， x＝2； （2）， 24﹣3（7+3x）＝6（3x﹣10）﹣24x， 24﹣21﹣9x＝18x﹣60﹣24x， ﹣9x﹣18x+24x＝﹣60﹣24+21， ﹣3x＝﹣63， x＝21． 24．解方程： （1）3x+2＝5x﹣6； （2）． 【解答】解：（1）3x+2＝5x﹣6， 3x﹣5x＝﹣6﹣2， ﹣2x＝﹣8， 解得：x＝4； （2）， 4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣12， 8x﹣4＝3x+6﹣12， 8x﹣3x＝6﹣12+4， 5x＝﹣2， 解得：． 题型五 一元一次方程整数解的问题 25．已知关于x的方程9x﹣3＝kx+6有正整数解，则满足条件的所有整数k的值为　0或6或8　 ． 【解答】解：解方程9x﹣3＝kx+6得：x， ∵原方程有正整数解， ∴为正整数， 又∵k为整数， ∴9﹣k＝1或9﹣k＝3或9﹣k＝9， 解得：k＝8或k＝6或k＝0， 故答案为：0或6或8． 26．已知关于x的方程4﹣mx＝﹣3（x+1）有整数解，则正整数m的所有可能的取值之和为 　16　 ． 【解答】解：4﹣mx＝﹣3（x+1）， 4﹣mx＝﹣3x﹣3， ﹣mx+3x＝﹣3﹣4， （3﹣m）x＝﹣7， 当3﹣m≠0，即m≠3时，方程的解是， ∵关于x的方程4﹣mx＝﹣3（x+1）有整数解， ∴3﹣m＝﹣7或3﹣m＝﹣1或3﹣m＝1或3﹣m＝7， ∴m＝10或m＝4或m＝2或m＝﹣4， ∵m为正整数， ∴m＝10或m＝4或m＝2， ∴它们的和是10+4+2＝16， 故答案为：16． 27．若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 　﹣24　 ． 【解答】解：解方程， 得：， 根据题意可知为整数，m是整数， 当m的值为0，﹣2，﹣3，﹣5，﹣6，﹣8时，为整数， ∴0+（﹣2）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣6）+（﹣8）＝﹣24， 故答案为：﹣24． 28．若整数a，关于x的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数a之和为　﹣3　 ． 【解答】解：原方程去括号得，2+ax＝8﹣2a， 移项得，ax＝8﹣2a﹣2， 合并同类项得ax＝6﹣2a， 解得， ∵有非正整数解， ∴a＝6，a＝3，a＝﹣1，a＝﹣2，a＝﹣3，a＝﹣6， ∴6+3+（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣6）＝﹣3， 故答案为：﹣3． 29．若关于x的方程有非负整数解，且关于y的多项式（a﹣9）y2﹣ay+1是二次三项式，则所有满足条件的非负整数a的值之积是　18　 ． 【解答】解：∵关于y的多项式（a﹣9）y2﹣ay+1是二次三项式， ∴a﹣9≠0，a≠0， ∴a≠9， ∵a+x＝3， ∴x＝3a， ∵关于x的方程a+x＝3有非负整数解， ∴3a≥0，且a是3的倍数， ∴a≤9， ∴a＝3或6， ∴所有满足条件的非负整数a的值之积＝3×6＝18． 故答案为：18． 30．如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式3y3+（a2﹣4）y2+2y+1为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 　﹣8　 ． 【解答】解：， 4﹣2（ax﹣1）＝5x， 4﹣2ax+2＝5x， 5x+2ax＝6， （5+2a）x＝6， ， ∵关于x的方程有整数解， ∴5+2a＝±1或±2或±3或±6， 解得：a＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣4或或或或， ∵关于y的多项式3y3+（a2﹣4）y2+2y+1为三次四项式， ∴a2﹣4≠0， a2≠4， a≠±2， ∴符合条件的整数a的值为：﹣1，﹣3，﹣4， ∴所有符合条件的整数a的和为：﹣1﹣3﹣4＝﹣8， 故答案为：﹣8． 题型六 方程无解和错解问题 31．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值它的解总是x＝2，则m+n的值为　　 ． 【解答】解：∵关于x的方程，无论k为何值它的解总是x＝2， ∴将x＝2代入方程得， 3（6k+m）＝6+2（2﹣nk）， 18k+3m＝10﹣2nk， （18+2n）k+（3m﹣10）＝0， ∵无论k为何值方程都成立， ∴18+2n＝0且3m﹣10＝0， 解得：n＝﹣9，． ∴． 故答案为：． 32．若关于x的方程kx+3＝2x﹣1的无解，则k的取值是　2　 ． 【解答】解：∵kx+3＝2x﹣1， ∴（k﹣2）x＝﹣4， ∵关于x的方程kx+3＝2x﹣1的无解， ∴k﹣2＝0， ∴k＝2， 故答案为：2． 33．小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 x＝﹣1　 ． 【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2， 得3+1＝3a﹣2， 解得a＝2， 故原方程为﹣3x+1＝6﹣2， ﹣3x＝3， 解得x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 34．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 x＝﹣3　 ． 【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3， ∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21， 解得：a＝3， 即原方程为6﹣5x＝21， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 题型七 方程部分遮挡问题 35．方程2（x﹣3）﹣▲＝x+5，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝﹣6，那么▲处的数字是　﹣17　 ． 【解答】解：设▲处的数字是a， 则2（x﹣3）﹣a＝x+5， 将x＝﹣6 代入方程，得2×（﹣6﹣3）﹣a＝﹣6+5， 整理得﹣18﹣a＝﹣1， ∴a＝﹣17． 故答案为：﹣17． 36．小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：10﹣▲＝4x﹣3，▲处被污染看不清．若方程的解是x＝3，则▲处的数字应是 　1　 ． 【解答】解：把x＝3代入10﹣▲＝4x﹣3得： 10﹣▲＝9， 解得：▲＝1， 故答案为：1． 37．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是　3　 ． 【解答】解：一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是， 设常数为x，由题意，得 ， 解得x＝3， 故答案为：3． 38．小明同学在解方程（1）＝x时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 　5　 ． 【解答】解：设“■”表示的数为a， 将代入方程得：， 解得a＝5， 即“■”表示的数为a＝5， 故答案为：a＝5． 39．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　1　 ． 【解答】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1， 解得：a＝1． 故答案为：1． 40．方程x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是　4　 ． 【解答】解：由题意，得2， 解得▲＝4． 故答案为：4． 题型八 整体代换求方程的解 41．若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程的解为y＝﹣4　 ． 【解答】解：∵， ∴， 根据题意得的解为y+1＝﹣3； ∴y＝﹣4； 故答案为：y＝﹣4． 42．已知关于x的一元一次方程x+2022＝2x+b的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（3﹣y）+2022＝2（3﹣y）+b的解为 y＝1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+2022＝2x+b的解为x＝2， ∴关于（3﹣y）的一元一次方程（3﹣y）+2022＝2（3﹣y）+b的解为3﹣y＝2， ∴y＝1， ∴关于y的一元一次方程（3﹣y）+2022＝2（3﹣y）+b的解为y＝1． 故答案为：y＝1． 43．已知关于x的方程的解为x＝2025，则关于y的方程的解是y＝2026　 ． 【解答】解：已知关于y的方程， 整理得（y﹣1）+k﹣1＝0， ∵关于x的方程的解为x＝2025， ∴y﹣1＝2025， 解得：y＝2026， 故答案为：y＝2026． 44．若关于x的一元一次方程x+3＝x+m的解为x＝2，则关于y的一元一次方程（3y﹣1）+4＝3y+m的解为y＝ 　1　 ． 【解答】解：关于y的一元一次方程（3y﹣1）+4＝3y+m可化为， ∵关于x的一元一次方程x+3＝x+m的解为x＝2， ∴3y﹣1＝2， 解得y＝1， 即关于y的一元一次方程（3y﹣1）+4＝3y+m的解为y＝1， 故答案为：1． 45．已知关于x的一元一次方程的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程的解y＝ 　5　 ． 【解答】解：关于y的一元一次方程可化为， ∵关于x的一元一次方程的解为x＝2， ∴关于y的一元一次方程的解为y﹣3＝2， ∴y＝5， 故答案为：5． 46．已知关于x的一元一次方程的解为x＝2022，那么关于y的一元一次方程的解为y＝ 　2025　 ． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程的解为x＝2022， ∴关于y的一元一次方程中的y﹣3＝2022， ∴y＝2025， 故答案为：2025． 题型九 绝对值方程求解 47．方程1与方程|x﹣1|＝2的解一样，则m2﹣2m+1＝　16或4　 ． 【解答】解：解方程|x﹣1|＝2 得：x﹣1＝±2， 解得：x＝3或﹣1， 把x＝3代入方程1， 解得：m＝﹣3， m2﹣2m+1＝（m﹣1）2＝16； 把x＝﹣1代入方程1， 解得：m＝3， m2﹣2m+1＝（m﹣1）2＝4 故答案为：16或4． 42．已知关于x的方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝2016有唯一解，那么正整数a＝　2688　 ． 【解答】解：∵方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝2016有唯一解， ∴x＝a， ∴|xx|+|xx|＝2016， ∴xx＝2016， ∴x＝8064， ∴ax， 解得：a＝2688， 49. 解方程：． 【解答】解：①当时，， ，不存在； ②当时，，； ③当时，，， 的解是时，；时． 题型十 新定义型方程运算 50．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则x＝　3　 ． 【解答】解：由新定义得：2x﹣（﹣4x）＝18，即2x+4x＝18， 合并同类项，得6x＝18， 将系数化为1，得x＝3． 故答案为：3． 51．定义：关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0互称为“对称方程”（ab≠0），例如：方程2x﹣1＝0与方程﹣x+2＝0互为“对称方程”． （1）若关于x的方程4x+3m﹣1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“对称方程”，求m﹣n＝　　 ． （2）若关于x的方程﹣3x+p＝1与其“对称方程”的解都是整数，且p也是整数，所有符合条件的p的和为　2　 ． 【解答】解：（1）∵关于x的方程4x+3m﹣1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“对称方程”， ∴3m﹣1＝5，﹣n+2＝4， ∴m＝2，n＝﹣2． ∴m﹣n＝2+2＝4． 故答案为：4； （2）﹣3x+p＝1的“对称方程”为（p﹣1）x﹣3＝0， 由﹣3x+p＝1得，x， 由（p﹣1）x﹣3＝0，得x， 由条件可知与都为整数， ∵p也为整数， ∴p﹣1＝±3， ∴p＝4或﹣2， 则所有符合条件的p的和为2． 故答案为：2． 52．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”． （1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”； （2）若关于x的方程与关于y的方程2（y﹣2n）﹣3（n﹣1）＝1是“1差解方程”，求n的值； （3）关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与关于y的方程3y＝mn+n，若对于任何数m，都使得它们不是“2差解方程”，请直接写出n的值． 【解答】解：（1）2x＝5x﹣12， 移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣12， 解得：x＝4； 3（y﹣1）﹣y＝1， 去括号，得3y﹣3﹣y＝1， 移项、合并同类项，得2y＝4， 解得：y＝2． 根据题意，可得|x﹣y|＝|4﹣2|＝2， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程2（y﹣2n）﹣3（n﹣1）＝1的解是． 根据题意可得，， 整理，得，， 解得：或； （3）方程2（x﹣1）＝3m﹣1的解是； 方程3y＝mn+n的解是． 根据题意可得， 即， 当9﹣2n＝0时，即， 对于任何数m，得，它们不是“2差解方程”． 53．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程：3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值． （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为n，求n的值． （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【解答】解：（1）解方程3x+m＝0，得， 解方程4x﹣2＝x+10，得x＝4， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”， ∴， ∴m＝9． 故m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解和为1， ∴另一个方程的解是1﹣n， ∵两个解的差是8， ∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8， ∴或； 故n的值为或； （3）解方程，得x＝﹣2025， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为x＝1﹣（﹣2025）＝2026， ∴关于y的一元一次方程可化为： ， ∴y+1＝x＝2026， ∴y＝2025． 54．给定有理数m，n，对于整式A、B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝mA+nB；对正整数k（k≥2）和整式A，定义新运算“⊗”：k⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算），特别地，1⊗A＝A．如：当m＝2，n＝1时，若A＝x，B＝x﹣y，则A⊕B＝2A+B＝2x+（x﹣y）＝3x﹣y，2⊗A＝A⊕A＝2A+A＝3x． （1）当m＝1，n＝3时，若A＝2x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝　5x﹣5y ，2⊗A＝　8x+4y ，6⊗B＝　16x﹣32y ；（用含x，y的式子表示） （2）当m＝2，n＝1时，若A＝x2﹣2y，，M＝3⊗B，N＝k⊗A，且M⊕N的值与x的取值无关，求正整数k的值． 【解答】解：（1）当m＝1，n＝3，A＝2x+y，B＝x﹣2y时， A⊕B＝2x+y+3（x﹣2y）＝5x﹣5y， 2⊗A＝A⊗A＝2x+y+3（2x+y）＝8x+4y， 6⊗B＝B⊗B⊗B⊗B⊗B⊗B ＝（B+3B）⊗B⊗B⊗B⊗B ＝（B+3B+3B）⊗B⊗B⊗B ＝（B+3B+3B+3B）⊗B⊗B ＝（B+3B+3B+3B+3B）⊗B ＝B+3B+3B+3B+3B+3B ＝16B ＝16（x﹣2y） ＝16x﹣32y， 故答案为：5x﹣5y；8x+4y；16x﹣32y； （2）由题意，∵1⊗B＝B，2⊗B＝B⊕B＝2B+B＝3B；，3⊗B＝3B⊕B＝2（3B）+B＝7B， ∴将代入得：． 观察“⊗”的规律：k⊗A的系数满足递推式a1＝1，ak＝2ak﹣1+1，解得（如k＝2时，k＝3时，， ∴N＝（2k﹣1）A＝（2k﹣1）（x2﹣2y）＝（2k﹣1）x2﹣2（2k﹣1）y． 又∵63x2+42y+（2k﹣1）x2﹣2（2k﹣1）y， ∴由M⊕N与x无关，故x2的系数为0． ∴2k﹣64＝0． ∴k＝6． 55．材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗．如1⊗，1⊗2⊗3＝（1⊗2）⊗． 材料二：规定[a]＝n，n表示为不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2． （1）2⊗6＝　　 ，[﹣π]＝　﹣4　 ； （2）若b＝1⊗2⊗3⊗4…⊗9，求b的值； （3）在（2）的条件下，若有理数a满足2[a]+7﹣[a+1]＝0，请求出b⊗[a]的结果． 【解答】解：（1）由材料一新定义可得，2⊗6＝2+6， 由材料二新定义可得，[﹣π]＝﹣4， 故答案为：，﹣4； （2）∵b＝1⊗2⊗3⊗4…⊗9， ∴b＝1+2345...+9 ＝1+2+3+4+5+...+9 ＝45﹣44 ＝1， ∴b的值为1； （3）设[a]＝n，则[a+1]＝n+1， 由题意得：2n+7﹣（n+1）＝0， 解得：n＝﹣6，则[a]＝﹣6， ∴b⊗[a]＝1⊗（﹣6）＝1﹣6． 1．我们用＜a＞表示不小于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝4，＜﹣1.5＞＝﹣1．若1，则x的取值范围是 　﹣3＜x≤﹣1　 ． 【解答】解：∵＜a＞表示不小于a的最小整数， ∴1时， 01， 解得：﹣3＜x≤﹣1． 故答案为：﹣3＜x≤﹣1． 2．已知a，b为定值，关于x的方程1，无论k为何值，1总是它的解，则a+b＝　0　 ． 【解答】解：把x＝1代入方程1，得： 1， 2（k+a）＝6﹣（2+bk）， 2k+2a＝6﹣2﹣bk， 2k+bk+2a﹣4＝0， （2+b）k+2a﹣4＝0， ∵无论k为何值，它的解总是1， ∴2+b＝0，2a﹣4＝0， 解得：b＝﹣2，a＝2． 则a+b＝0． 故答案为：0． 3．方程：的解为 x＝2024　 ． 【解答】解：原方程转化为， ， 即， ∴x＝2024 故答案为：x＝2024． 4．小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确求出方程的解． 【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4）， 2（2x﹣1）+1＝5（x+a）， 把x＝4代入得：a＝﹣1， 将a＝﹣1代入原方程得：1， 去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5， 移项合并得：﹣x＝﹣13， 解得：x＝13． 5．对于有理数a，b，c，我们规定：a⊗b⊗c＝|a﹣|b﹣c||； 例如1⊗2⊗3＝|1﹣|2﹣3||＝|1﹣1|＝0． 【知识运用】 （1）若x⊗1⊗0＝3，则x＝ 　4或﹣2　 ． 【知识迁移】 （2）若关于x的方程a⊗3⊗x＝1011有且只有三个不相等的解，求a的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若d＜c＜b＜a＜0，p|d﹣a|，|p﹣q|＝k（c﹣b），且d⊗b⊗c＝a⊗3b⊗3c，求k的值． 【解答】解：（1）∵a⊗b⊗c＝|a﹣|b﹣c||，x⊗1⊗0＝3， ∴|x﹣|1﹣0||＝3， |x﹣1|＝3， x﹣1＝3或﹣3， x＝4或﹣2； 故答案为：4或﹣2； （2）∵a⊗3⊗x＝1011， ∴|a﹣|3﹣x||＝1011， ∴|3﹣x|＝a﹣1011或|3﹣x|＝a+1011， ∵原方程存在三个不等解， ∴a﹣1011＝0或a+1011＝0， ∵|3﹣x|≥0，a+1011＞a﹣1011， ∴a﹣1011＝0， ∴a＝1011， ∴|3﹣x|＝0或|3﹣x|＝1011+1011， ∴x＝3或2025或﹣2019， 答：a的值为1011，方程的解为3或2025或﹣2019； （3）∵d⊗b⊗c＝|d﹣|b﹣c||，a⊗3b⊗3c＝|a﹣|3b﹣3c||， ∵d⊗b⊗c＝a⊗3b⊗3c， ∴|d﹣|b﹣c||＝|a﹣|3b﹣3c||，即|d﹣|b﹣c||＝|a﹣3|b﹣c||， ∵d＜c＜b＜a＜0， ∴b﹣c＞0， ∴|d﹣b+c|＝|a﹣3（b﹣c）|， ∴b﹣c﹣d＝3b﹣3c﹣a， 整理可得2b﹣2c﹣a+d＝0， ∴a﹣d＝2b﹣2c， ∵|p﹣q|＝k（c﹣b）且p﹣q|c﹣b||d﹣a|，a﹣d＝2b﹣2c， ∴k（c﹣b）|（b﹣c）﹣（a﹣d）|， ∴k（c﹣b）|b﹣c﹣2b+2c| |c﹣b| （c﹣b）， ∴k． 6．已知代数式M＝（a+b+1）x3+（2a﹣b）x2+（a+3b）x﹣5是关于x的二次多项式．若关于y的方程3（a+b）y＝ky﹣8的解是y＝4，求k的值． 【解答】解：∵代数式M＝（a+b+1）x3+（2a﹣b）x2+（a+3b）x﹣5是关于x的二次多项式， ∴a+b+1＝0， a+b＝﹣1， ∵关于y的方程3（a+b）y＝ky﹣8的解是y＝4， ∴﹣3×4＝4k﹣8， 解得：k＝﹣1． 1．我们知道可以写成小数形式为0.，反过来，无限循环小数0.也可以转化成分数形式． 方法如下：设x＝0.，由0.0.333…可知：10x＝3.333…，所以10x﹣x＝3． 解方程，得x，所以0.． 再例如把无限循环小数0.化为分数方法： 设x＝0.，由0.0.323232…可知：100x＝32.323232…， 所以100x﹣x＝32，解方程，得x，所以0.． 【问题回答】 （1）把下列无限循环小数写成分数形式； ①0.　　 ；②2.　　 ；③0.1　　 ． （2）借鉴材料中的方法，从第（1）题的②，③中任选一个，验证你的结果． 【解答】解：（1）0.；2.．0.1． 故答案为：①；②；③； （2）①设x＝0.，则10x＝5.5555…，所以10x﹣x＝5， 解方程，得x，所以0.； ②设x＝0.，则100x＝58.5858，所以100x﹣x＝58． 解方程，得x，所以2.2． ③设x＝0.1，则1000x＝518.518518…，所以1000x﹣x＝518． 解方程，得x，所以0.1． 2．类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，类似地对于可以用裂项的方法变形为：，类比上述方法解决以下问题． （1）　　 ． （2）求解关于x的方程：2x． 【解答】解：（1）原式＝11； 故答案为：； （2）已知等式整理得：（）2x， 即2x， 解得：x． 3．（1）先化简，再求值：已知A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1，求当a时，3A﹣2B+1的值； （2）已知x＝3是方程4x﹣a（2﹣x）＝2（x﹣a）的解，求3a2﹣2a﹣1的值； （3）当x＝3，y＝2或x，y时，分别计算①（x+y）（x﹣y），②x2﹣y2两个代数式的值，并观察①②两个代数式的值的关系，归纳出其中的规律． 【解答】解：（1）3A﹣2B+1＝6a2+7a﹣1， 当a时，3A﹣2B+1＝4； （2）∵x＝3是方程4x﹣a（2﹣x）＝2（x﹣a）， ∴12﹣a（2﹣3）＝2（3﹣a）， 解得：a＝﹣2， ∴3a2﹣2a﹣1＝12+4﹣1＝15； （3）当x＝3，y＝2时， ①（x+y）（x﹣y）＝5， ②x2﹣y2＝5， 当x，y时， ①（x+y）（x﹣y）， ②x2﹣y2， 规律：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2． 4．我们规定，若x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程的定解方程，例如：的解为，则该方程就是定解方程． 请根据上边规定解答下列问题 （1）若x的一元一次方程2x＝m是定解方程，则m＝　4　 ． （2）若x的一元一次方程2x＝ab+a是定解方程，它的解为a，求a，b的值． （3）若x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是定解方程，求代数式的值． 【解答】解：（1）由题意可知x＝m﹣2，由一元一次方程可知x， ∴m﹣2， 解得m＝4； （2）由题意可知x＝ab+a﹣2，由一元一次方程可知x， 又∵方程的解为a， ∴a，ab+a﹣2＝a， 解得a＝2，b＝1； （3）且由题可知：mn+m＝4，mn+n， 两式相减得，m﹣n， ∴ ＝﹣522+3×42（）2 22+48 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $