3.2 圆的对称性课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦圆的对称性，涵盖轴对称、中心对称、圆心角概念及等对等定理。以“熊宝宝分蛋糕”生活情境导入，通过折叠旋转探究对称性，引出圆心角，经实验推理形成知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如分蛋糕问题激发观察兴趣，通过等圆旋转实验发展数学思维，结合中考铜钱阴影面积题强化数学语言应用。小结系统，学生提升探究与应用能力，教师教学更高效。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 3.2 圆的对称性 第三章 圆 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法 ●O 圆的对称性 1 探究归纳 想一想 一个圆绕着它的圆心任意旋转一个角度，还能与原来的图形重合吗？ · 重合 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.特别地， 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. A B C D 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角的概念 ∠AOB ∠COD ∠AOC ∠BOD 返回 C 1. 下列说法中，不正确的是(　　) A．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 中考考法 7 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 在等圆 ⊙O 和⊙O′ 中，分别作相等的圆心角 ∠AOB 和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O′A′ 重合. 做一做 A B O O′ O（O′） A′ B′ A′ B′ A B 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由. 小红认为 A B A′ B′ O（O′） 她是这样想的： ∵ 半径 OA 与 O′A′ 重合，∠AOB = ∠A′O′B′， ∴ 半径 OB 与 O′B′ 重合. ∵ 点 A 与点 A′ 重合，点 B 与 点B′ 重合， 返回 2. π 我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知AC，BD为⊙O的直径，AC⊥BD，四边形EFGH是正方形，若⊙O的面积为4π cm2，则图中阴影部分的面积是________cm2. 中考考法 A B A′ B′ O（O′） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. ∵∠AOB=∠A′OB′ A B A′ B′ O（O′） 想一想 在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. A B A′ B′ O（O′） 如图，在⊙O中， （1）∵ AB=A′B′， ∴ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. A B A′ B′ O（O′） 如图，在⊙O中， （2）∵ ， ∴ AB= A′B′ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. A B A′ B′ O（O′） 如图，在⊙O中， （3）∵ ， ∴ AB=A′B′ 例 如图，AB、DE 是 ⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且 . BE 与 CE 的大小有什么关系？为什么？ B O C D A E 解：BE = CE．理由是： ∵ ∠AOD =∠BOE， ∴ BE = CE． 返回 3. CD 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，连接OA，OB，OC，OD． ∠COD CD ∠COD 中考考法 【教材P72 第1题】 知识技能 1.如图，A ， B ， C ， D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？ 1.解:△ABC和△DCB全等.理由如下: ∵AB=DC,∴ , ∴ , 即 ,∴AC=DB. 又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB. 随堂练习 数学理解 2.如图，在⊙O中，AB ， CD是两条弦，OE⊥AB ， OF⊥CD ，垂足分别为E ， F. （1）如果∠AOB= ∠ COD ，那么OE与OF的大小有什么 关系？为什么？ （2）如果OE=OF，那么OE与OF的大小有什么关系？ 与 的大小有什么关系？ ∠ AOB与∠ COD呢？为什么？ 【教材P73 第2题】 随堂练习 2.解:(1)如果∠AOB= ∠ COD,那么OE=OF.理由如下: ∵∠ AOB= ∠ COD ,∴AB=CD. ∵OE⊥AB,OF ⊥ CD,∴ , ,∴AE=CF. 又∵OA=OC,∴ Rt △OAE≌Rt△OCF,∴OE=OF. (2)如果OE=OF ,那么AB= CD, = ,∠AOB= ∠COD. 理由如下: ∵ OA=OC,OE=OF ,∴Rt△OAE≌Rt△OCF ,∴AE=CF. 又∵OE⊥AB ,OF⊥CD,∴ ， ∴AB=2AE,CD=2CF,∴AB=CD,∴ = ,∠AOB=∠COD. 随堂练习 【教材P73 第3题】 3.如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC。 与 的大小有什么关系？为什么？ 解： = .理由如下： 如图所示，连接OC. ∵OD∥AC，∴∠BOD=∠A, ∠DOC=∠C, ∵AO=OC,∴∠A=∠C, ∠BOD=∠COD,∴ = 随堂练习 返回 4. B 中考考法 返回 5. A 中考考法 返回 6. 54° 如图，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE， ∠BOC＝42°，那么∠AOE的度数等于________. 中考考法 返回 7. 中考考法 返回 8. 中考考法 返回 9. D 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(　　) 中考考法 28 返回 10. B 如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝(　　) A．105° B．120° C．135° D．150° 中考考法 29 课堂小结 等对等定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. (1)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝________， ＝________； (2)如果AB＝CD，那么∠AOB＝___________， ＝________； (3)如果＝，那么AB＝__________， ∠AOB＝________. [2025西安高新一中期末] 如图，＝＝，且 ∠AOB＝120°，则∠BOC的度数为(　　) A．90° B．80° C．70° D．60° 如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，其中＝， ∠A＝36°，则∠B等于(　　) A．72° B．70° C．68° D．66° 解：＝.理由如下： ∵AB，DE是⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOE，∴＝. ∵BE＝CE，∴＝，∴＝. (4分)[ 教材P71“例”变式]如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且BE＝CE，则与有什么数量关系？为什么？ 证明：连接OC.∵＝，∴∠AOC＝∠BOC. ∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°. 又∵CO＝CO，∴△COD≌△COE(AAS)． ∴OD＝OE.又∵AO＝BO，∴AD＝BE. (4分)[教材P104“复习题”第4题变式]如图，在⊙O中， ＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E. 求证：AD＝BE. ①＝；②＝； ③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 $