河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试（二）数学试题

2025—2026学年高二年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 7 B. 9 C. D. 5. 已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 6. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，点在上且均位于第一象限，若，且直线的斜率为，则（ ） A. 6 B. C. D. 8 8. 已知数列中，，设，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过圆的圆心，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 若直线与圆相切，则 D. 圆心到直线的最大距离为 10. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（） A. 是平面的一个法向量 B. 当时， C. 若是平面的一个法向量，则恒成立 D. 直线与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若（为常数），则___________． 13. 已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3． （1）求的方程； （2）若直线与C交于两点（与坐标原点不重合），且满足，求与轴的交点坐标． 16. 记正项等比数列的前项和为，已知． （1）求； （2）证明：对任意正整数，总存在正整数，使得成等差数列． 17. 已知数列满足，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和； （3）设，求数列中的最小项． 18. 如图，正方形与梯形所在平面垂直，． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系； （3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围． 2025—2026学年高二年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明: 由（1）得， 所以， 当时，， 即， 所以对任意正整数，只需令， 即使得成等差数列． 【17题答案】 【答案】（1） 由题可知，则，即． 所以是公差为的等差数列． 所以，故． （2） （3）． 【18题答案】 【答案】（1）证明: 方法一：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，所以两两互相垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得． （1）， 所以，所以． 方法二：如图，连接． 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以． 因为四边形是正方形，所以， 又，， 所以平面，平面， 因此． （2）证明： 设平面的法向量为，因为， 所以，取． 则， 又平面，所以平面． 方法二：设与交于点，的中点为，连接． 因为是的中点，是的中点，所以，且． 因为，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）直线与该圆相切 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年高二年级阶段性测试（二） 数学(A)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.BD 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2 3(号) 14.3π 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)因为点P(2,。)到其焦点的距离为3， 根据抛物线的定义，可知点P到C的准线的距离也为3， 所以C的准线方程为x=一1，…(3分) 所以p=2,故C的方程为y2=4x…(5分)》 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),1的方程为x=my+t, y=4x, 由 得y2-4my-4t=0,… …(7分) x=my +t, 1 则=-4，x=16()尸=. (9分) 因为0410B,所以0A·02=x6+yy2=-4t=0,… (11分) 解得t=4或t=0(舍去)， 所以1的方程为x=my+4,L与x轴的交点坐标为(4,0). (13分) 16.解析(1)设a.}的公比为q(q>0). 因为a1=a2+2a1,所以g2-9-2=0, 解得q=2或q=-1(舍去).…(3分) 由2a1+a5=18,得2a1+a1q=18a1=18,所以a1=1,…(5分) 故a=1g-l=2-.…(7分） (2)由(1)得S翎=2”一1.…(9分) 所以-S4+Sm+2-2(Sm+1)=1-2+2m+2-1-2·2"=2m+1-2 当k=m+1时，-Sk+Sm+2-2Sm-2=0,即-Sk+Sm+2=2(Sm+1), 一1 所以对任意正整数m,只需令k=m+1,即使得-S,Snm+1,Sm+2成等差数列.…(15分) 以解)由您可知a0则时士2女+分即士女子 所以{日}是公差为分的等差数列.…… …(2分) 所以-+(n-)=，故a,=子 ……(4分) d,a (2)=+++…+=1+2+3++m)= (6分) a a. 4 (8分) 故.=6+6，+++6=4[1-）+（分-号）++（分-n】=41-n中）0 …(10分） (3)由题意知cn=2”a7 2+2 2”+3 则a=(n+1) 2”+2 =2×(n 易知1-关于n单调递增，当n=1,2时，2×(<1，当n3时2×(>1， 所以c1>c2>C<c4<C3<…, 32 故数列{c中的最小项为c= …(15分) 18.解析方法一：因为AB⊥BC,平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以BC⊥平面ABEF,又BE⊥AB,所以BA,BC,BE两两互相垂直，故以B为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系.… …(1分） t 由已知得B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(2,1,0),E(0,0,2),F(2,0,2).…(2分) (1)A2=(-2,0,2),F元=(-2,2，-2)， 所以A正.F元=-2×(-2)+0×2+2×(-2)=0，所以AE⊥FC.… (4分) (2)设平面FCD的法向量为n=(x,y,2),因为D=(0,-1,2),D元=(-2,1,0)， 一2 rn·Df=-y+2z=0, 所以n·成=-2x+y0 取n=(1,2,1).…(7分)】 则A正.n=-2×1+0×2+2×1=0, 又AE￠平面FCD,所以AE∥平面FCD.…(9分) (3)B=(2,1,0),F元=(-2,2，-2)，则F=入F元=(-2A,2入，-2)， 从而P(2-2A,2入，2-2)，所以B=(2-2A,2A,2-2A). …(10分） 设平面PBD的法向量为m=(a,b,c), rm·BD=2a+b=0, 则 取m=(1-入，2入-2,3入-1).…(13分) m·B2=(2-2入)a+2Ab+(2-2入)c=0, 易知平面ABCD的个法向量为y=(0,0,1).…(14分)） 13A-11 6 由题意(m,-+2A2+A-方 6 化简整理得2=，解得入=或入=0（舍去）.…(17分) 方法二：(1)如图，连接FB. 因为AB⊥BC,平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以BC⊥平面ABEF,所以BC⊥AE.…(2分) 因为四边形ABEF是正方形，所以AE⊥BF, 又BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCF,因此AE⊥FC (4分) E M (2)设FB与AE交于点O,FC的中点为M,连接MO,MD 因为O是FB的中点，M是FC的中点，所以OM∥BC,且OM=↓BC …(6分)》 2 因为AD∥BC,AD=2BC,所以ADL0M, 所以四边形ADMO是平行四边形，所以AE∥DM.…(8分) 又AE4平面FCD,DMC平面FCD,所以AE∥平面FCD.…(9分) (3)同方法一 19.解析(1)设C的半焦距为c(c>0). 由题意可知6=1，台=分， 一3 解得a=2,所以b=a2-c2=3, 所以C的方程为片+号-1 … …(4分） (2)由题意得A(-2,0),B(2,0),F(1,0). 设D(2,)(>0),则直线D1的方程为y=(x+2) t y=4(x+2), 由 得(12+t2)x2+4tx+42-48=0. 4+3=1, 因为直线DA与C的两个交点分别为A(-2,O)和E(xEyE), 所-259得，0兰2》2 …(6分) 12t 直线EF的斜率为kEF= 12+t2 24二2=44方程为y=4(x-1),即4x+(-4)y-41=0.…(⑦ 12+t2 BD的中点为c(2,)点G到直线EF的距离为d= 8+-4)-片+2 16t2+(2-4)2 t2+4 Γ2 2 所以直线EF与该圆相切. …(10分) (3)设直线PF的方程为y=k(x-1),k<0,M(x1,y1),N(2,2),1>2, y=k(x-1), 由 得(42+3)x2-82x+42-12=0, 31, 所以x1+x2 8k2 4+3 42-12 -42+31 则pM1+p0-M+=l士g=k+l5.… (12分) IPFI 当点P在椭圆上或外部时，k≤-5，此时x1≥0，x2>0, .…(14分） 当点P在椭圆内部时，-3<k<0,x1<0,x2>0, 所以医1+6=-名+=国+)-4南-2 42+3 12m =12m=12 (16分) m 所以PP的取值范用为[号 …（(17分)》 42025-2026学年高二年级阶段性测试（二) 数学(A)命题报告 本试卷严格依据《普通高中数学课程标准》高二学段教学要求，立足知识深化与能力进 阶关键期，以“主干聚焦、素养立意、梯度合理、衔接高考”为核心命题导向，全面检测学 生对高二核心知识的综合运用能力，命题特点鲜明如下： 一、锚定主干棋块，构建完整考查体系 试卷精准覆盖高二核心知识模块，涵盖数列、解析几何（直线、圆、抛物线、双曲线、 椭圆)、立体几何三大主干，形成“基础夯实一能力提升一综合拓展”的考查脉络。第1题 双曲线离心率、第3题外接圆方程、第4题等差数列性质，第12题等比数列前项和、第 13题中点坐标求解，均为基础核心知识点，保障对基础知识的全面核验。主干模块深度递 进，数列通过等差等比通项、前n项和及综合证明考查（第2,16,17题）：解析几何融合 直线与圆、圆锥曲线定义及性质（第5,7,15,19题），凸显“几何与代数相结合”的高考 趋势，契合课标对高二数学的核心要求。 二、素养导向鲜明，强化综合思维能力 试卷将核心素养培育融入题目设计，直观想象素养通过第6题四棱锥点到平面距离、第 11题正方体中线面关系考查；逻辑推理素养体现在第16题等差数列证明、第19题椭圆、 直线与圆位置关系判断，要求严谨推导；数学运算素养贯穿全卷，如圆锥曲线性质计算、数 列求和、立体几何夹角求解等，注重运算的准确性与技巧性：数学建模素养通过直线方程、 圆与圆锥曲线综合问题隐性培育。同时，渗透数形结合、分类讨论等思想方法，引导学生从 “知识应用”向“思维进阶”转变，契合高考素养导向要求。 三、难度梯度科学，适配学段选拔需求 试卷难度设计呈“分层递进、衔接自然”的特征，容易题、中等题、较难题比例适当。 容易题（如第3题外接圆方程、第12题等比数列首项）侧重基础概念直接应用，保障基础 分获取；中等题（如第16题数列综合证明）需综合2-3个知识点推理，检测知识迁移能力： 较难题（如第17题数列最小项求解、第19题椭圆综合探究）注重思维深度与方法创新，有 效区分不同学业水平学生，符合高二“知识深化与选拔预备”的学段功能。 四、贴合高考实战，强化复习导向功能 试卷在题型结构、设问方式上完全对标高考，解答题均设置“基础问+拔高问”分层 结构，呼应高考命题模式。题目素材兼具经典性与综合性，无偏题怪题，命题语言规范严谨， 既帮助学生适应高考节奏、积累实战经验，又通过高频考点（如数列综合、圆锥曲线性质） 暴露学习薄弱环节，为后续复习“聚焦难点、强化素养”提供明确指引，实现“以考促教、 以考促学”的目标。 多维命题细目表 关键能力 题 题 分值 预设 具体知识点 逻辑运算 空间数学 创新 难度 思维 求解 想象 建模 能力 1 5 双曲线的离心率 V V 易 5 等比数列公比 易 5 外接圆方程 易 4 5 等差数列中基本量的计算 V 易 5 题 5 圆与圆的位置关系 易 6 5 利用空间向量计算空间距离 中 7 5 抛物线的定义 V 中 8 5 周期数列、数列综合 V 中 6 直线与圆的位置关系 易 多 10 6 数列通项、求和 难 题 11 6 空间向量在立体几何中的应用 V 难 12 5 等比数列的性质 易 34 填空题 5 直线的方程、交点坐标 易 5 直线、圆、双曲线 难 15 13 抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系 易 16 15 等比数列相关计算、等差数列的证明 中 17 解答题 15 递推数列、数列求和 中 18 17 空间向量的应用 中 19 17 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系 难