5.1.1 变化率问题课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及意义，从现实运动变化现象（如高台跳水）导入，通过经营利润的平均变化率、高台跳水的平均速度，逐步过渡到瞬时速度、切线斜率，构建从具体到抽象的学习支架，衔接函数与微积分的知识脉络。 其亮点在于以现实问题驱动，如经营利润比较、高台跳水速度分析，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过平均到瞬时的极限推理培养数学思维，用符号表达极限过程（如瞬时速度公式）发展数学语言。设置自主研读、小试牛刀环节，学生能主动探究，教师可高效落实概念教学。

回忆与展望 描述现实世界中的运动、变化现象 函数 引入 动态现象 刻画 深入研究 微积分 具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑. 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程 求曲线 的切线 求函数的最大值 与最小值 求长度、面积、体积和重心等 在40年代，陈省身结合微分几何与拓扑学的方法，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具。已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分。 20世纪我国重要的微分几何学家， 被誉为“微分几何之父”。 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 对数函数，增长越来越慢 指数爆炸，比直线增长快得多 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 5.1.1 变化率问题 1.平均变化率 问题一：在经营某商品中，甲用2年时间挣到10万元，乙用4个月时间挣到 2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？ 如果把上述问题中的函数关系用f(x)表示，则问题中的变化率可用该式子表示： 这个式子称为函数 f (x)从 x1到x2的平均变化率. 探究一：高台跳水运动员的速度 把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似描述运动状态 问题二：你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ 计算运动员在 这段时间的平均速度 并非静止状态，因此平均速度不能准确反映运动员在一段时间内的运动状态！！！ 瞬时速度 自主研读 P60~P61，梳理知识，记录疑问 问题三：如何计算运动员在某一时刻t0的瞬时速度？  ①平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 ②瞬时速度： 联系：两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 平均速度是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关， 区别： 瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态． 问题四：平均速度与瞬时速度有什么关系？  小试牛刀 P61 1，2 思考 ：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢? 如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 不一定 x y O f(x)＝sinx －1 1 探究二：抛物线的切线的斜率 自主研读 P62~P64，梳理知识，记录疑问 问题五：如何定义抛物线在点（x0, f(x0)）处的切线？ 在该点处切线的斜率怎样计算？ P o x y y=f(x) 割线 切线 T 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 小试牛刀 P64 1 求切线方程 归纳总结 物理问题： 跳水运动员起跳后的速度问题 几何问题： 抛物线的切线斜率问题 切线斜率 割线斜率 瞬时速度 平均速度 瞬时变化率 平均变化率 取极限 取极限 取极限 逼近 课后作业 课本P70 习题5.1 3，4 课本P64 2 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面 的高度(单位：m)与起跳后的时间(单位：s)存在函数关系 ． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数，即 .　 第一步：求时间间隔|Δt |内高度变化量h(t0＋Δt)－h(t0)； 第二步：求平均速度＝； $