精品解析：甘肃省张掖市肃南裕固族自治县马蹄学校2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试卷

2025-2026学年（上）初二年12月阶段检验试卷 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图，如痕迹太浅可再用黑色签字笔描黑． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知三角形的两边长分别为，，则第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题属于真命题的是（ ） A. 两个锐角的和一定是锐角 B. 对顶角相等 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 5. 如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小到原来的二分之一 D. 扩大4倍 6. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是完全平方式，则m的值是（ ） A. 12 B. C. D. 8. 如图，已知，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 的取值 4 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_______（其中）；_______；_______．_______． 12. 约分：_______（其中）． 13. 如图所示，，，，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是_______． 14. 春节游云浮，寻根溯源，品味地道年味！现有游客人到云浮游玩，需要住宿，共有个大小相同的房间，结果还有1个人无房住，则平均每间房可住的人数为_______． 15. 已知，，则________． 16. 如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为_______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 21. 阅读下面材料：在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某月份的月历，我们任意选择两组数（阴影表示），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的结果都是48．例如：． （1）再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律？ （2）请利用整式的运算对这个规律加以证明． 22. 如图，在中，，，，垂足点． （1）尺规作图：在线段上，求作一个点，使得； （2）连接，求度数． 23. 在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． （1）求； （2）设，试比较M，N的大小； （3）无论取何值，都成立，求此时的值． 24. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 25. （1）在中，点D，E，F分别在边上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作的垂线，垂足分别为M，N．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）初二年12月阶段检验试卷 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图，如痕迹太浅可再用黑色签字笔描黑． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知三角形的两边长分别为，，则第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边和任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系，进行求解即可； 【详解】解：设三角形的第三条边长为， 则， 即， 所以结合选项，三角形的第三条边长为， 故选：C； 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 4. 下列命题属于真命题的是（ ） A. 两个锐角的和一定是锐角 B. 对顶角相等 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，三角形外角的性质、全等三角形的判定、对顶角相等、锐角的性质，根据三角形外角的性质、全等三角形的判定、对顶角相等、锐角的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、例如一个锐角是，另一个锐角是，则这两个锐角的和是，故两个锐角的和不一定是锐角，故原选项说法错误，不符合题意； B、对顶角相等，故原选项说法正确，符合题意； C、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故原选项说法错误，不符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小到原来的二分之一 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质求解． 【详解】 ， 故选：． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 6. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解定义； C．右边含有分式，不是整式的积，不符合题意； D．右边不是积的形式，而是差的形式，不符合题意． 故选：B． 7. 已知是完全平方式，则m的值是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式是解决此题的关键．完全平方公式：，这里首末两项是和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和2积的2倍，即可求出． 【详解】 解：由完全平方公式知，中间一项为加上或减去和2积的2倍， ， 故选：C． 8. 如图，已知，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，解题的关键是根据题意，则，则，根据，三角形的外角和，即可． 【详解】由作图可知，在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 故选：D． 9. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 的取值 4 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确， ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：，D选项正确，A选项错误， 由上分析，原分式为， ∵当时，原分式值为1， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键． 10. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 如图：连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴ ∴， ∴． 故选D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_______（其中）；_______；_______．_______． 【答案】 ①. 1 ②. ## ③. ## ④. 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、积的乘方、单项式乘多项式、分式的乘方，掌握相关知识点是解题的关键． 根据零指数幂、积的乘方、单项式乘多项式、分式的乘方的运算法则，分别计算即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：1；；；． 12. 约分：_______（其中）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分，确定分子、分母的最大公因式是解题的关键．通过约去分子和分母的最大公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图所示，，，，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是_______． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意要证明，已知、两个条件，抓住这两个已知条件结合全等三角形判定定理即可解答． 【详解】解：∵，，，在同一直线上，，， ∴可添加条件：，理由如下： 在和中， ， ∴． 故答案为：． 14. 春节游云浮，寻根溯源，品味地道年味！现有游客人到云浮游玩，需要住宿，共有个大小相同的房间，结果还有1个人无房住，则平均每间房可住的人数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的知识，根据实际住宿人数与房间数的关系建立表达式是解题的关键． 根据题意，实际住宿人数为，房间数为，因此每间房可住人数为住宿人数除以房间数． 【详解】由题意，有人无房住，故实际住进房间的人数为人，房间数为个，且房间大小相同，因此每间房可住的人数为． 故答案为． 15. 已知，，则________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：19． 16. 如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为_______． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、长方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：过点P作于点K，先证和全等，得出、，同理可证，得出、，设，，表示、、、的长，得到，，解方程组求得x、y的值，从而求出长方形的周长． 【详解】解：如图：过点P作于点K， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∵四边形是长方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证：， ，， 设，， ∵ ∴， ，， ∵， ， ∵， ， ， ， ，即①， ，，， ， ∴， ∵，， ，即②， 联立①②得： ， 解得， ，， ∴长方形的周长为． 故答案为：52． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式化简，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】略 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、分式的乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】略 21. 阅读下面材料：在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某月份的月历，我们任意选择两组数（阴影表示），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的结果都是48．例如：． （1）再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律？ （2）请利用整式的运算对这个规律加以证明． 【答案】（1）选择4，10，12，18，符合这个规律； （2） 证明： 设左边的数字是，则上边的数字是，下边的数字是，右边的数字是． 根据题意，得 ， 这个规律成立． 【解析】 【分析】本题是规律探索题，考查了有理数混合运算的应用，整式混合运算的应用，理解已知规律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据月历表选择一组数，按照题干规律计算即可； （2）设左边的数字是，则上边的数字是，下边的数字是，右边的数字是，根据题干规律列式，，再根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开后合并，即可证明规律． 【小问1详解】 解：根据月历表选择4，10，12，18， ，符合这个规律． 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，，，垂足点． （1）尺规作图：在线段上，求作一个点，使得； （2）连接，求度数． 【答案】（1） 如图：点E即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质定理等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线与的交点即为所求的点E； （2）由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，是的角平分线，再求出，即可求出，再利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． （1）求； （2）设，试比较M，N的大小； （3）无论取何值，都成立，求此时的值． 【答案】（1）12 （2） （3）此时的值为 【解析】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算、整式的运算和一元一次方程的应用，正确理解新定义法则是解题的关键． （1）先确定定义中的b值，后代入计算即可； （2）先根据定义，求出M，N并化简，再进行作差法进行大小比较即可； （3）先根据定义，求出，再根据求出n的值，进而即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 解得， 当时， ； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得 ， ∵无论取何值，都成立， ∴ ， ∴ 解得， ∴ 解得． 24. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】（1）；； （2）22 （3）1744 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； 【小问2详解】 解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 25. （1）在中，点D，E，F分别在边上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作的垂线，垂足分别为M，N．若，求的值． 【答案】 （1）①证明：∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴ ②的长为6；（2） 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得，由全等三角形的性质即可得出． ②在取点G，使得，连接．同（1）得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出，设 则，，．由含30度直角三角形的性质得出，代入即可求出x． （2）延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接．先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】证明：（1）①略 ②解：在取点G，使得，连接． 同（1）得， ∴，， ∵，且． ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （2）延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 同理可证∶，， ∴，， ∵， 设，，， 则，，， ∵，，， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $