精品解析：广东省深圳市建文外国语学校2025-2026学年上学期北师大版九年级上册1月数学素养诊断

2025-2026学年上学期九年级1月数学素养诊断 一．选择题（共8小题共24分） 1. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图（左视图），运用空间想象思想和视图投影分析方法．解题关键是结合六棱柱的摆放位置，明确正六边形棱的投影规律；易错点是误判棱的投影数量或位置，混淆左视图中棱的分隔形式． 六棱柱上下底面为正六边形，侧面是矩形，结合其实际摆放位置，从左侧观察时，正六边形的棱会在视图中形成特定投影．正六边形从左侧投影时，能看到的纵向棱会呈现出三条竖线（两侧为轮廓线，中间为内部棱的投影），对应选项B的分隔形式； 选项A中间仅两条竖线，未准确反映正六边形棱的投影数量，错误； 选项C无内部棱的投影，不符合六棱柱结构，错误； 选项D是正六边形（俯视图），与左视图定义不符，错误． 【详解】选项A：中间仅两条竖线，不符合正六边形棱的投影数量，错误； 选项B：由两条竖线分隔为三个矩形，与从左侧观察六棱柱的视觉效果一致，正确； 选项C：无内部棱的投影，是完整矩形，错误； 选项D：是正六边形（俯视图），非左视图，错误． 故选：B． 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解：， 其中，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 3. 兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（ ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A. 0.76 B. 0.77 C. 0.78 D. 0.79 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，试验次数较大时，频率稳定在某个值附近，该值可作为概率的估计值，从数据看，频率稳定在0.781附近，精确到0.01即为0.78，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵试验次数达到1000以上时，频率稳定在0.781附近， ∴估计概率为0.781，精确到0.01即为0.78， 故选：C． 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 6. 某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点E，利用坡比的定义得出的长，再得出的长，利用勾股定理得出答案． 本题考查了坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E， ∵背水坡坡面的长度为，坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵背水坡坡面的坡度为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ） A. 假山上的点B到水平地面的距离为 B. 水平方向上的长度为 C. D. 抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图，M、N是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点E，连接交于点F，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明≌，可得，再证明≌，可得，然后说明，再取的中点O，连接、，可求，根据勾股定理求出，最后根据三角形的三边关系，可知当O、F、C三点共线时，的长度最小，进而求出答案． 【详解】在正方形中，，，， 在和中， ， ∴≌（HL）， ∴， 在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 取的中点O，连接、， 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，， ∴当O、F、C三点共线时，的长度最小， 最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，确定最小值的位置是解题的关键． 二．填空题（共5小题，共15分） 9. 已知，那么的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 10. 已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求出，，然后把所给代数式变形后代入计算即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：60． 11. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：7． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点B落在点C处，且轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查翻折的性质、反比例函数的性质以及勾股定理，延长交x轴于点D，则，设，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求得，得到点C的坐标为，结合点C在反比例函数图象上，可求得，进一步求得，在中利用勾股定理求得a，即可求得答案． 【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示： 设，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在等腰直角中，，O是斜边的中点，D为点O上方一点，且，，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点O作，使，连接，交于点，交于点H，先证明，得出，，然后在证是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理求出的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，过点O作，使，连接，交于点，交于点H， 在等腰直角中，O是斜边的中点， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分61分） 14. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂，求一个数的算术平方根等知识点，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算算术平方根，再进行加减计算． 【详解】解： 15. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得：． ， ， ， 直接开平方并整理，得：， ． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． ， ， 直接开平方并整理，得： ，． 上述过程中的a、b、c表示的数分别为　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）5；； （2）， 【解析】 【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． ∴上述过程中的a、b、c表示的数分别为5；；． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． 16. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 第一次 第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 17. 如图，在中，． （1）求作矩形，点在上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接交于点，求证：点为的中点． 【答案】（1） 解：如图，矩形即为所作， ； （2） 证明：∵，平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为的中点． 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先作平分交于，再分别以、为圆心，、为半径作弧，两弧交于点，最后连接、，即可得到矩形； （2）由等腰三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，，推出，再证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】（1）的长度约为 （2）点到台面的距离约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 19. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 【答案】任务一：；任务二：4或16；任务三：10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务二：设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到3640 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 任务三：设日销售利润为w，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】任务一：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； 任务二：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：，， 答：每个玩偶降价4或16元； 任务三：设日销售利润为w， 根据题意得， ∵ ∴当时，w有最大值4000． ∴应将每个玩偶降价10元． 20. 综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 （1）①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． （2）在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1）①反比例；② （2）①；②球发出时在竖直方向上的速度应调节为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像及求解析式，二次函数的应用，熟练掌握反比例函数图像与二次函数的性质是解题的关键． （1）①根据图像可直接得出结论； ②设关于的函数表达式为，根据图象得，当时，，利用待定系数法即可求得答案； （2）①根据表中数据可知，当时，，代入求得、的值即可得到答案； ②由题可知，，，把落点的坐标为，代入，解之得到即可． 【小问1详解】 解：①根据图3该函数的图像可知，是的反比例函数． 故答案为：反比例； ②设关于的函数表达式为 根据图象得，当时，， ∴ 解得 ∴关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①根据表中数据得，该抛物线的对称轴为，即，且当时，， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． ②由题可知，落点的坐标为，，， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴，（舍去） ∴球发出时在竖直方向上的速度应调节为． 21. 定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转相似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转相似图形”，若，则 ，若连接，则 ． （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转相似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，求和的长． 【答案】（1）①是；②50，③10， （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成相似图形， ∴和互为“旋转相似图形”． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握“旋转相似图形”的定义是解题的关键． （1）①根据“旋转相似图形”的定义判断即可； ②根据“旋转相似图形”可得即，再根据三角形内角和定理求解即可； ③根据“旋转相似图形”可得，根据相似三角形的性质列比例式求解即可，进而证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （2）先证明可得，再先后证明、，最后根据“旋转相似图形”的定义即可证明结论； （3）如图：如图，过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质易得，再根据“旋转相似图形”的定义可得可得，再解直角三角形可得、，然后说明，最后运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：①∵，都是等边三角形， ∴， ∵有公共顶点A， ∴是的“旋转相似图形”． 故答案为：是． ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； ③如图：连接， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：10，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：如图，过E作于点H， ∵为等腰直角三角形，点G为中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级1月数学素养诊断 一．选择题（共8小题共24分） 1. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（ ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A. 0.76 B. 0.77 C. 0.78 D. 0.79 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 5. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ） A. 假山上的点B到水平地面的距离为 B. 水平方向上的长度为 C. D. 抛物线与的对称轴相同 8. 如图，M、N是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点E，连接交于点F，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（　　） A. 2 B. 1 C. D. 二．填空题（共5小题，共15分） 9. 已知，那么的值是 _____． 10. 已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式________． 11. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点B落在点C处，且轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为___． 13. 如图，在等腰直角中，，O是斜边的中点，D为点O上方一点，且，，，则线段的长为__________． 三．解答题（共8小题，满分61分） 14. 计算：． 15. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得：． ， ， ， 直接开平方并整理，得：， ． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． ， ， 直接开平方并整理，得： ，． 上述过程中的a、b、c表示的数分别为　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 16. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 17. 如图，在中，． （1）求作矩形，点在上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接交于点，求证：点为的中点． 18. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 19. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 20. 综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 （1）①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． （2）在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 21. 定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转相似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转相似图形”，若，则 ，若连接，则 ． （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转相似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $