精品解析：内蒙古通辽市科尔沁区第七中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（12月） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 3. 2025年春节档某影城上映了如下三部电影，若小乐同学欲从中随机选择一部进行观看，则他恰好选到《哪吒·魔童闹海》的概率是（ ）． A. 1 B. C. D. 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 9. 如图，在等腰直角中，，，点为斜边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是等腰直角三角形 C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，把点 P（﹣3，2）绕原点 O 顺时针旋转 180°，所得到的对应点 P′的坐标为_________． 12. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____． 13. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则圆锥的底面半径为_______． 14. 当时，二次函数的最大值为______． 15. 如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 三、解答题： 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为． （1）用含有的代数式表示为________m，x的取值范围为________； （2）当该矩形菜园的面积为时，求边的长； （3）当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 18. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 19. 如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． （1）如图①，连接，求证：平分； （2）如图②，若，，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，，，将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形． （1）如图①，点在y轴正半轴上时，求旋转角的度数及点的坐标； （2）如图②，点在射线上时，求旋转角的度数及点的坐标； （3）已知，记直线与交点为Q，直接写出长度的最大值与最小值． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（12月） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形计算中心对称图形，即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：C． 2. 的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，比较圆心到点的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为8，的半径为6， ∴圆心到点的距离大于半径， ∴P在圆的外部， 故选：C． 3. 2025年春节档某影城上映了如下三部电影，若小乐同学欲从中随机选择一部进行观看，则他恰好选到《哪吒·魔童闹海》的概率是（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，掌握概率的计算公式是解题关键．概率计算公式为，其中表示事件A发生的概率，m表示所有可能的结果数，n表示事件A发生的结果数，本题所有可能有3种，恰好选到《哪吒·魔童闹海》是其中1种，根据概率公式计算即可得答案． 【详解】解：记选到《哪吒·魔童闹海》为事件A， ， 故选C． 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是． 故选：A 5. 若点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据得出开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， 则对称轴， ∵，且， ∴， 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握方程有两个实数根即判别式 是解决本题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，首先确保二次项系数不为零，再计算判别式使其非负，联立得到a的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即， 化简得：， 解得， ∴得的取值范围为且． 故选：C． 7. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 8. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 9. 如图，在等腰直角中，，，点为斜边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是等腰直角三角形 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由，，可得，由旋转可得，再逐个选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，，， 故选项A正确，不符合题意； ∴是等腰直角三角形， 故B正确，不符合题意； ∴，， ∴中，， ∴， 故C错误，符合题意； ∵，且， ∴， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数之间的关系，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，结合点的位置，判断抛物线的开口方向，进行判断的符号，对称轴判断的符号，进而判断①，特殊点判断②和③，图象法判断方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为， ∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∵抛物线与y轴的交点C在点之间， ∴，抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴的根可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线过点和，如图， ∴由图可知：方程的两个根的范围为：；故④正确； 故选B 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，把点 P（﹣3，2）绕原点 O 顺时针旋转 180°，所得到的对应点 P′的坐标为_________． 【答案】（3，﹣2） 【解析】 【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标． 【详解】根据题意得：点P关于原点的对称点是点P′． ∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）． 故答案为（3，﹣2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键． 12. 若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____． 【答案】． 【解析】 【分析】把代入到一元二次方程中求出的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键． 13. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则圆锥的底面半径为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】圆锥的侧面积等于乘以底面半径乘以母线长，再代入数据即可得到答案. 【详解】解： 故答案为：2 【点睛】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，掌握“圆锥的侧面积公式”是解题的关键. 14. 当时，二次函数的最大值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据二次函数的图象和性质判断出对称轴为直线，然后再找最大值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵，，， ∴当时，二次函数，此时最大， 故答案为：10． 15. 如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可． 【详解】解：连接QC和PC， ∵PQ和圆C相切， ∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值， ∴当CP最小时，PQ最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB， ∵AB=BC=AC=4， ∴AP=BP=2， ∴CP==， ∵圆C的半径CQ=， ∴PQ==3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键． 三、解答题： 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 得， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 17. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为． （1）用含有的代数式表示为________m，x的取值范围为________； （2）当该矩形菜园的面积为时，求边的长； （3）当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当边为时，该矩形菜园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）因为用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，且设矩形菜园的边的长为，面积为．故为，，解出即可； （2）依题意，列方程，解得或．因为当时，，故舍去，即可作答． （3）依题意，，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，且设矩形菜园的边的长为，面积为． ∴为， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：根据题意列方程：， 整理得：， 解得：或． 当时，，故舍去， ∴x取21，即 【小问3详解】 解：由已知得，． ∵， ∴S有最大值． 当时，， S最大值为264.5． 即当边为时，该矩形菜园的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了列代数式，解不等式组，一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确掌握相关内容是解题的关键． 18. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图或列表求事件概率，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键．根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有种，即可根据概率计算公式计算． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小平 小何 A B C A B C 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种， 所以，恰好有一个文件袋装有空中无人作战方队图片的概率是． 19. 如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． （1）如图①，连接，求证：平分； （2）如图②，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图①中，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则平分． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理． （1）根据已知条件和切线的性质得出，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质推得结论； （2）如图②中，连接，交于点H．证明四边形是矩形，推出，，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②中，连接，交于点H， ∵， ∴， ∵是直径，是切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，，，将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形． （1）如图①，点在y轴正半轴上时，求旋转角的度数及点的坐标； （2）如图②，点在射线上时，求旋转角的度数及点的坐标； （3）已知，记直线与交点为Q，直接写出长度的最大值与最小值． 【答案】（1）旋转角， （2）旋转角， （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由点对应点落在轴上可知旋转角为，再根据长度得出点坐标即可； （2）先由线段长度可求得，进而求得旋转角，过点作轴于，易得，再解即可得解； （3）先证点是中点，因为的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以根据瓜豆模型，点的运动轨迹也是圆，进而根据点圆最值求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， 又点在轴正半轴上， 故矩形中， 旋转角， ，， ； 【小问2详解】 解：连接， 同（1）理，矩形中，，， 在中，， ， ，同理， 由旋转得：，故，旋转角， 由矩形得到：，， ∴在中，，， 过点作轴于， 在中，， ∴， ，， ； 【小问3详解】 解：过点作的平行线与延长线交于点，连接，，取的中点，连接，， ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵旋转得， ∴在和中， ， ， ， ∵点N为中点 ∴为中位线， ， 由（2）知， ， 即点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当、、三点共线时有最大值和最小值， 且最大值为，最小值为 ，， ， ∵， ， ，， 综上，最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，矩形的性质、全等三角形的判定与性质，两点间距离公式，旋转的的性质，三角形的中位线定理，轨迹等内容，综合性强，最后一问识别点的运动轨迹是解题关键． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． 【小问2详解】 解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $