精品解析：吉林省白城市三校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷

白城市三校2025-2026学年高二上学期10月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 2. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某地供电公司．为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300度时，应交电费为（ ） A. 130元 B. 140元 C. 150元 D. 160元 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知，，，，，那么（ ） A. B. 若，则， C. 若A是BD中点，则B，C两点重合 D. 若点B，C，D共线，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. ； B. 高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C. 集合有两个元素； D. 小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 11. 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ） A. 取得最大值时每月产量为台 B. 边际利润函数的表达式为 C. 利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D. 边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为___________． 13. 已知向量，，与共线，则_____________. 14. 已知，则的值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知复数z满足：，求复数z的实部与虚部的和. 16. 判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）若，，； （2），； （3）：两个角都是直角，：两个角不相等. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且. （1）求圆锥的体积与侧面积； （2）求直线与平面所成的角的正切值. 19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面. （1）求证： （2）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城市三校2025-2026学年高二上学期10月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的图像可知c<0,由指数函数图像可判断出a,b与1的关系，从而得到a,b,c的大小关系. 【详解】由指数函数图像可知<1, 由对数函数图像可知c<0, 即可得到c<b<a, 故选D 【点睛】本题考查指数函数图像和对数函数图像的应用，属于简单题. 2. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令，得到，结合题目条件和三角恒等变形即可求解. 【详解】设盛水桶在转动过程中到水面的距离为，时间为. 则旋转角度为 先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向. 由题意可得：是关于的周期函数，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系为：. 令，解得： ，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足，且 则，，故选项A、C错误； 又因为， 所以，故选项D正确； 又因为 所以，故选项B错误. 故选：D. 4. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得，根据角的范围与函数值的大小比较得，从而得到，然后利用两角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得. 【详解】由， 得， 则，由为锐角，则， 又，， 故， 所以 ， 由二倍角余弦公式得，则. 又为锐角，所以， 故. 故选：C. 5. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 6. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可求解. 【详解】由，故A正确，，故B错误，，故C错误，，故D错误. 故选：A. 7. 某地供电公司．为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300度时，应交电费为（ ） A. 130元 B. 140元 C. 150元 D. 160元 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图像求出，代入数值即可求出结果. 【详解】结合函数图像可知，当时，与之间是一次函数，设 当时，；当时，； 则，解得， 此时； 所以当时，， 故选：D. 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断是增函数，由奇偶性的定义可得是奇函数，由此可将不等式转化为，即可求得实数的取值范围. 【详解】令函数，则恒成立，所以是增函数. 又，且，所以是奇函数. 由，得， 即, 所以，解得. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知，，，，，那么（ ） A. B. 若，则， C. 若A是BD中点，则B，C两点重合 D. 若点B，C，D共线，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项， ，A选项正确. B选项，若，则，故可取，B选项错误. C选项，若是的中点，则，即， 所以，所以两点重合，C选项正确. D选项，由于三点共线，所以， ， ， 则或，所以D选项错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. ； B. 高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C. 集合有两个元素； D. 小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 【答案】BC 【解析】 【分析】区分的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D. 【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误； 对于B，根据集合定义知，高台一中高一全体学生可以构成一个集合，B正确； 对于C，由于的判别式， 故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，正确； 对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误， 故选：BC 11. 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ） A. 取得最大值时每月产量为台 B. 边际利润函数的表达式为 C. 利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D. 边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，， 因为函数为减函数，则，C对； 对于D选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，从而不等式转化为，分和两种情况，得到不等式解集. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 13. 已知向量，，与共线，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知，则的值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】先对原三角函数等式展开合并，得，并结合三角函数的和差公式得，最后再结合二倍角公式和三角函数的奇偶性即可得到答案． 【详解】已知，所以展开可得， 所以，故，所以， 所以． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知复数z满足：，求复数z的实部与虚部的和. 【答案】4 【解析】 【分析】设出复数，根据复数相等，列方程进行计算即可. 【详解】设，则， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即复数的实部与虚部的和是4. 16. 判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）若，，； （2），； （3）：两个角都是直角，：两个角不相等. 【答案】（1）充要条件 （2）必要不充分条件 （3）既不充分也不必要条件 【解析】 【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断； （2）由必要不充分条件的概念即可直接判断； （3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断. 【小问1详解】 因为， 并且， 所以是的充要条件. 【小问2详解】 ，即或，， 故， 故是的必要不充分条件. 【小问3详解】 两个角都是直角，则这两个角相等， 两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 即， 故是的既不充分也不必要条件. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）不妨设， ， 由余弦定理得， 在中，， 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， 四边形是菱形，， 又，且平面平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面， 又四边形是菱形，， 均为等边三角形， 以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面， 为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即． 令，可得，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且. （1）求圆锥的体积与侧面积； （2）求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转体的几何特征可求得圆锥底面积和高，利用圆锥体积公式可求得体积，再利用侧面展开图和扇形面积公式可得侧面积； （2）根据线面角的定义作出直线与平面所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值. 【小问1详解】 由题意可得， 所以底面圆面积，圆锥的高， 所以圆锥的体积为. 圆锥侧面展开图的半径为，弧长为底面圆周长 圆锥的侧面积为. 【小问2详解】 取中点，连接，如下图所示： 在中，中位线，易知平面 可得平面， 所以即为直线与平面所成的角， 易知，又，所以， 所以. 所以直线与平面所成的角的正切值为. 19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面. （1）求证： （2）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得； （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，利用空间向量法求出，再由向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为四边形为正方形，平面， 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为， 则，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以存在满足条件， 所以，依题意可得， 设为平面的法向量， 则，设，可得， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $