精品解析：上海市宝山实验学校2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试卷

2025学年第一学期七年级数学单元练习 一、单选题（每题2分） 1. 下列叙述正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的次数是 C. 的系数是 D. 是二次三项式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式及系数、次数、多项式的项数、次数，关键是熟练应用定义判断； 根据单项式、次数、系数和多项式的定义逐一判断选项． 【详解】解：∵ 单项式是由数字或数字与字母的积组成的代数式，是数字， ∴ 是单项式， ∴A正确； ∵ 单项式中，字母的指数为1， ∴ 次数是， ∴B错误； ∵ 单项式的数字因数是， ∴ 系数是，不是， ∴C错误； ∵ 多项式中， ∴ 最高次项次数为，是三次三项式，不是二次三项式， ∴D错误； 故答案选：A． 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及单项式与单项式的乘法等知识． 根据运算规则逐项判断即可． 【详解】A．与指数不同，不是同类项，不能合并，故 A错误； B．，故 B错误； C．，故 C错误； D．，故D正确． 故选D． 3. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查公因式，掌握相关知识是解决问题的关键．最大公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项共有的，字母指数取最小的，据此判断即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提取的公因式是． 故选：C． 4. 下列分式中，一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 5. 《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（ ） A. 第一次分钱的人数 B. 第二次分钱的人数 C. 第二次每人分得的钱数 D. 两次分钱的总人数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【详解】解：设第一次分钱的人数为 ，则第二次分钱的人数为． 第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ． 对比乐乐所列方程 ， 可得 ，即 ， 表示第二次分钱的人数． 故选：B． 6. 题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解需考虑整式方程无解和增根两种情况，缺一不可． 根据分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解（矛盾），二是解出的根使分母为零（增根）．通过化简方程，分别讨论m的值． 【详解】解：∵ 去分母，， 整理得： ， 情况一：当 ，即 时，无解． 情况二：当 时， ，若 ，则分母为零，无解，此时 ，解得 ∴ 当 时，方程有增根 ，无解． 综上， 或 时，方程无解． 甲答 ，乙答 ，两者合在一起才完整． 故选C． 二、填空题（每题2分） 7. 多项式的次数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式的次数． 多项式的次数是指多项式中所有单项式的次数中的最高值，需要计算每一项的次数并比较． 【详解】解：多项式中，项的次数为，的次数为，的次数为，因此多项式的次数是． 故答案为3． 8. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，应用负指数和幂的乘方规则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 写成只含正整数指数幂的形式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂的意义，将负指数化为正指数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 表示成不含分母的形式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的计算，根据负指数幂的计算方法“”求解即可，掌握负指数幂的计算方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 分式，的最简公分母是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，的最简公分母是． 故答案为：． 12. 当_____时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 13. _____________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法运算，先分别计算 和 ，再利用同底数幂的除法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 定义一种运算：．则化简后的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了新运算及整式的加减运算，理解新运算的定义是解决问题的关键．根据新运算，直接化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“已知增根的情况下求解参数的值”是解本题的关键．分式方程的增根是使得最简公分母为零的未知数的值，先确定增根，再代入化简后的方程求参数． 【详解】解： ， 令得方程增根， 将代入得， 故答案为：． 16. 已知，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，两边都除以a构造出a与其倒数和是解题的关键，另外还要注意乘积的二倍不含字母非常的重要． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， ∴． 故答案为：7 17. 如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为______． 【答案】或或0或1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成． 【详解】解：， 若原分式的值为整数，那么，，1，2 由得，； 由得，； 由得，； 由得，； 或或0或1， 故答案为：或或0或1． 18. 下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识点，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”最关键． 本题根据分式的基本性质，对每个变形进行分析，判断其是否符合该性质，进而得到哪些变形是正确的结论，即可解决判断分式变形是否正确的问题． 【详解】解：①当时，此时分母，分式不成立，无意义，不符合题意； ②由知，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意； ③由知，分子分母同时除以，分式的值不变，即，符合题意； ④∵∴，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意． 故答案为：②③④． 19. 如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移前后对应线段相等是解题关键． 根据平移的性质结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵将向左平移得到， ∴，， 则， ∵的周长是， ∴的周长是， 即cm， ∵四边形的周长， ∴， 即平移的距离是； 故答案为：． 20. 如图，在中，，将以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为．设平移时间为t秒，若要使成立，则t的值为 __________． 【答案】3或6 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，分点在线段上，和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， 当点在线段上时，则：， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，则：， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：3或6． 三、解答题 21. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【答案】（1） （2） （3）8 （4）0 （5） （6） （7） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂计算法则，分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂计算即可； （2）先根据负整数指数幂变形，再根据分式的除法计算即可； （3）根据同分母分式加法则计算即可； （4）根据异分母分式加减法则计算即可； （5）先计算括号内的，再计算除法即可； （6）根据异分母分式加减则计算即可； （7）先根据负整数指数幂变形，再根据分式的乘法计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： 【小问5详解】 解： 【小问6详解】 解： 【小问7详解】 解： 22. 解分式方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）无解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键，最后的检验是易错点． （1）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． （3）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得， 检验：将代入中可得， 所以是原方程的解； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 是原方程的增根，舍去； 原方程无解； 【小问3详解】 解：， 同时乘以得， ， 即， 解得， 检验：将代入中可得， 所以是原方程的解． 23. 某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 【答案】 0.6万平方米 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米， ∴依题意得： 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 24. 在如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1个单位，按下列要求画三角形． （1）先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后得在图中画出． （2）在（1）的条件下，四边形的面积为_____________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，网格与四边形面积，理解题意，熟练掌握确定平移变换的规律是解题关键． （1）根据平移变换的规律作图即可； （2）先利用割补法求出四边形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形的面积 ， 故答案为：10． 25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； （2）已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】（1）不是；； （2）；，或． 【解析】 【分析】（）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； 根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； （）根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； 根据整除的定义进行求解即可； 本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 分式不是分式的“可存异分式”， 故答案为：不是； 依题意得，， ∴， 解得， 即分式的“可存异分式”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意， ∴， 解得； ， 当整数或时，分式的值分别是1，，或， 又分式的值是正数， 整数或，分式的值分别是，或． 26. 我们知道引入负整数指数幂后，规定：，它将幂指数的取值范围推广到了全体整数．现记，其中表示当x取不同数时分式的值为，如：； （1）求值：______；______； （2）猜想：______，并说明理由； （3）计算：； （4）若，则的值是______．（用含k的式子表示，其中） 【答案】（1）；； （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由此可得； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，负整数指数幂的应用以及代数式的变形与化简，同时还涉及到通过探究函数规律来进行求和计算，运用了整体代入等数学思想方法． （1）根据，代入具体值计算即可； （2）计算出，将和进行相加求解猜想即可； （3）利用（2）中得出的规律，对一系列函数值的和进行计算，发现规律，使用这个结论求解即可； （4）考查结合已知条件，可变形得到，对两个函数值的乘积进行化简求值求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 当时，； 当时，， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∵，，，， ∴， 该算式共有402项，可以配成201对，每对的和为1， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴． ． 故答案为：． 27. 对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移后，它的一个顶点落在它的对边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的“平移三角形”，叫做“平移距离”．如图1，沿直线平移到，顶点的对应点在它的对边上，则称是的“平移三角形”，的长度叫做“平移距离”． （1）如图2，正六边形，对角线、、将其分成六个能重合的正三角形，其中是的“平移三角形”的有______________________； （2）如图3，在中，，，，． ①将图3的沿直线平移，得到它的“平移三角形”，连接．则平移距离__________，四边形的面积为____________________； ②图3中的平移距离的最大值为___________，最小值为__________． 【答案】（1）， （2）5，12；5， 【解析】 【分析】本题考查平移的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据平移的性质和“平移三角形”的定义求解即可； （2） ①根据平移得到平移距离；，，，，然后利用四边形的面积为，代数求解即可； ②根据题意得到如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为；过点C作交于点D，将延向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小，然后利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴沿方向平移到，点A和点O重合，即点A平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； ∴沿方向平移到，点B和点O重合，即点B平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； 综上所述，的“平移三角形”的有，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ①∵沿直线平移，得到它的“平移三角形”， ∴平移距离； ∴，，，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故答案为：5；12； ②如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为； 如图所示，过点C作交于点D，将沿向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小 ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴的平移距离的最小值为． 故答案为：5，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级数学单元练习 一、单选题（每题2分） 1. 下列叙述正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的次数是 C. 的系数是 D. 是二次三项式 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 4. 下列分式中，一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 5. 《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（ ） A. 第一次分钱的人数 B. 第二次分钱的人数 C. 第二次每人分得的钱数 D. 两次分钱的总人数 6. 题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题（每题2分） 7. 多项式的次数是________． 8. 计算：_____________． 9. 写成只含正整数指数幂的形式：_____________． 10. 表示成不含分母的形式：______． 11. 分式，的最简公分母是_____________． 12. 当_____时，分式的值为0． 13. _____________．（结果用幂的形式表示） 14. 定义一种运算：．则化简后的结果是______． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____________． 16. 已知，则______． 17. 如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为______． 18. 下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 19. 如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是________． 20. 如图，在中，，将以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为．设平移时间为t秒，若要使成立，则t的值为 __________． 三、解答题 21. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 22. 解分式方程 （1） （2） （3） 23. 某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 24. 在如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1个单位，按下列要求画三角形． （1）先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后得在图中画出． （2）在（1）的条件下，四边形的面积为_____________． 25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； （2）已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 26. 我们知道引入负整数指数幂后，规定：，它将幂指数的取值范围推广到了全体整数．现记，其中表示当x取不同数时分式的值为，如：； （1）求值：______；______； （2）猜想：______，并说明理由； （3）计算：； （4）若，则的值是______．（用含k的式子表示，其中） 27. 对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移后，它的一个顶点落在它的对边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的“平移三角形”，叫做“平移距离”．如图1，沿直线平移到，顶点的对应点在它的对边上，则称是的“平移三角形”，的长度叫做“平移距离”． （1）如图2，正六边形，对角线、、将其分成六个能重合的正三角形，其中是的“平移三角形”的有______________________； （2）如图3，在中，，，，． ①将图3的沿直线平移，得到它的“平移三角形”，连接．则平移距离__________，四边形的面积为____________________； ②图3中的平移距离的最大值为___________，最小值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $