精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年九年级上学期第二次段考数学试题

丰城九中第二次质量监测考试初三数学卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是二次函数，则m的值是（ ） A. 2 B. -1或3 C. -1 D. 3 3. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数图像上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐增大时，的面积将（ ） A. 逐渐增大 B. 不变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小 5. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积 为（　　） A. B. 15 C. D. 6. 如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点和点都在反比例函数的图象上，则______． 8. 如图，已知，且，若，则___________． 9. 若一次函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围是_______． 10. 如图，在中，，，，，则长为________． 11. 如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则的长为________． 12. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，则点C的坐标为________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图,OE是△ABC的边AC的垂直平分线,AO平分∠BAC,EO交AB的延长线于点D,连接CD.求证:CO平分∠ACD. 14. 已知：一次函数的图像经过点且与直线平行． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求在这个一次函数的图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 15. 如图，已知在中，点D，E，F分别在，，边上． （1）当点，，分别为，，边的中点，求证：≌； （2）若，且，，求的值． 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B． （1）求该反比例函数的表达式；（2）若P为y轴上的点，且△AOP的面积是△AOB的面积的,请直接写出点P的坐标. 17. 如图，在中，，点在边上，，． （1）求的长； （2）求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． （1）求证：； （2）探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 19. 如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由． 20. “星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 五、（本题共2小题，每题9分，共18分） 21. 年冬季越野赛在滨河学校操场举行，某运动员从起点学校东门出发，途径湿地公园，沿比赛路线跑回终点学校东门．沿该运动员离开起点的路程（千米）与跑步时间（时间）之间的函数关系如图所示，其中从起点到湿地公园的平均速度是千米/分钟，用时分钟，根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求图中的值； （2）组委会在距离起点千米处设立一个拍摄点，该运动员从第一次过点到第二次过点所用的时间为分钟． ①求所在直线的函数解析式； ②该运动员跑完全程用时多少分钟？ 22. 如图，，平分，点B是射线上一定点，点C在射线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点B顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点D和点E． （1）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）请探究线段和之间的数量关系，写出结论并证明． 六、本大题共12分． 23. 如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）求点C及顶点M的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值； （3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中第二次质量监测考试初三数学卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 2. 若函数是二次函数，则m的值是（ ） A. 2 B. -1或3 C. -1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的一般形式，可列出方程和不等式，计算即可． 【详解】根据题意得： 解得：m=3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握二次函数一般形式满足的条件是解题的关键． 3. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角板中角度计算，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系． 记交于点，利用平行线的性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：记交于点，如图所示： ，， ， ， ； 故选：C． 4. 如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数图像上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐增大时，的面积将（ ） A. 逐渐增大 B. 不变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小，由此可解． 【详解】解：根据反比例函数的增减性可知：反比例函数图象y随x的增大而减小， 的高随着点B的纵坐标逐渐增大而减小， 又不变， 的面积将逐渐减小． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握：对于反比例函数，当时，在每一个象限内，y随x的增大而减小． 5. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积 为（　　） A. B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由△ABC是等边三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，又由三角形外角的性质，求得∠ADB=∠DEC，即可得△ABD∽△DCE，又由BD=4，CE=，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，则可求得△ABC的面积． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°， ∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC， ∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC， ∴∠ADB=∠DEC， ∴△ABD∽△DCE， ∴, ∵BD=4，CE=， 设AB=x，则DC=x-4， ∴ , ∴x=6， ∴AB=6， 过点A作AF⊥BC于F， 在Rt△ABF中，∠BAF=30°， ∴, ∴ ∴S△ABC=BC•AF=×6×3=9． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与等边三角形的性质．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 6. 如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的范围加以对照，即可得出正确答案． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线, ∴， 解得，． ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 当时， 当时， ∵关于x的一元二次方程是， ∴． ∵方程在的范围内有解， ∴抛物线与直线在范围内有公共点，如图所示． ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，解题的关键是熟知二次函数与一元二次方程的互相转化． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点和点都在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，由题意可得，进而即可求解，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 如图，已知，且，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 若一次函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一次函数的定义和性质即可得到关于m的不等式，解出即可． 【详解】解：一次函数y＝(m+4)x+m-1中，令x=0，解得：y＝m-1， ∵一次函数与y轴的交点在x轴的下方，则有m-1＜0，解得m＜1， 又∵m+4≠0， ∴m≠-4 故答案为：m＜1且m≠-4． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义和一次函数与y轴的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与y轴的交点为（0，b）． 10. 如图，在中，，，，，则长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，由可求得的长度，再根据即可求出，解答的关键是熟记三角形的面积公式． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，只要证明，可得，，推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，则点C的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的平移及解一元二次方程等知识，属于常考题型，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．先求原抛物线与x轴的交点A和B的坐标，再根据平移得出平移后抛物线与x轴的交点C和D的坐标，由B和C是线段的三等分点，分两种情况列方程求解a，进而得到点C的坐标． 【详解】解：解方程， 得或， 所以点A坐标为，点B坐标为； 抛物线向右平移个单位后，与x轴的交点C和D的坐标分别为和， 线段的长度为，三等分后每份长度为， 设点和为的三等分点， 则的横坐标为，的横坐标为， 情况一：若点B为，点C为，则 ， 解得， 此时点C横坐标为，坐标为， 情况二：若点B为，点C为，则 ， 解得， 此时点C横坐标为，坐标为． 故答案为：或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图,OE是△ABC的边AC的垂直平分线,AO平分∠BAC,EO交AB的延长线于点D,连接CD.求证:CO平分∠ACD. 【答案】 证明:∵DE垂直平分AC,∴DA=DC,OA=OC, ∴∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA, ∴∠DAO=∠DCO. ∵∠DAO=∠OAC,∠OAC=∠OCA, ∴∠DCO=∠OCA, ∴CO平分∠ACD. 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OC，DA=DC．根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14. 已知：一次函数的图像经过点且与直线平行． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求在这个一次函数的图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）横坐标的取值范围是小于的一切实数 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行可知，再将点A（1，3）代入可得直线解析式； （2）由于位于轴的上方的点其纵坐标都大于0，所以得到，解此不等式即可． 【详解】（1）∵直线与直线平行， ∴， ∵直线经过点， ∴． 解得． ∴这个一次函数的解析式为； （2）∵所求的点在直线上且位于轴上方， ∴． 解得， 即所有这样的点的横坐标的取值范围是小于的一切实数． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，根据两直线平行得到两直线的斜率相等是关键． 15. 如图，已知在中，点D，E，F分别在，，边上． （1）当点，，分别为，，边的中点，求证：≌； （2）若，且，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵点，，分别为，，边的中点， ∴，和为的中位线， ∴，， ∴，， 在和中， ∴≌； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明和为的中位线，得到，，进而证明； （2）根据平行线的性质得，，根据平行四边形的判定方法得到四边形为平行四边形，证明∽，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，四边形为平行四边形， ∴∽，，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B． （1）求该反比例函数的表达式；（2）若P为y轴上的点，且△AOP的面积是△AOB的面积的,请直接写出点P的坐标. 【答案】（1）；（2）P（0，4 ）或P（0，－4 ）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）把A的坐标代入一次函数的解析式，即可求出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数就可以求出反比例函数的解析式； （2）设P（0，y），分别表示出△AOP和△AOB的面积，即可求出P的坐标． 试题解析：（1）∵点A（a，3）在直线 上，∴ 3=-a +2．∴ a =－1．∴A（－1，3）． ∵点A（－1，3）在反比例函数的图象上，∴．∴k = －3． ∴． （2）在直线中，令y=0，得：，∴OB=2，设P（0，y），∵，∴，∴，∴，∴P（0，4 ）或P（0，－4 ）． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 17. 如图，在中，，点在边上，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）利用三角形外角的性质，结合等角对等边即可解决问题． （2）过点作的垂线构造出直角三角形即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ， 又， ． 又， ， ． ，， ． 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 在中，， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． （1）求证：； （2）探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， 又， （2） ，理由如下： ，， 又， 又， 又， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据即可证明，得到，根据八字形结论得到，得到，继而得证； （2）先证明，得到，再利用八字形结论得到，继而得到 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由． 【答案】经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．理由： 设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm， ∵AB=8cm，BC=16cm， ∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm， ∵∠B是公共角， ∵①当 ，即 时，△PBQ∽△ABC， 解得： ； ②当，即时，△QBP∽△ABC， 解得：， ∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似． 【解析】 【分析】设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，然分两种情况进行讨论，即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 20. “星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】星火相传雕塑的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，作于点，由台阶长为，坡度，求得，，连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点，求得，再在和中，解直角三角形，求得，解得，据此求解即可． 【详解】解：设，作于点， ∵台阶长为，坡度， ∴设，则， ∴， 解得， ∴，， 连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点， 则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：星火相传雕塑的高度约为． 五、（本题共2小题，每题9分，共18分） 21. 年冬季越野赛在滨河学校操场举行，某运动员从起点学校东门出发，途径湿地公园，沿比赛路线跑回终点学校东门．沿该运动员离开起点的路程（千米）与跑步时间（时间）之间的函数关系如图所示，其中从起点到湿地公园的平均速度是千米/分钟，用时分钟，根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求图中的值； （2）组委会在距离起点千米处设立一个拍摄点，该运动员从第一次过点到第二次过点所用的时间为分钟． ①求所在直线的函数解析式； ②该运动员跑完全程用时多少分钟？ 【答案】（1）10.5； （2）①直线解析式为；②该运动员跑完赛程用时分钟． 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决的问题； （2）①，由（1）确定点A的坐标，再根据两次经过点C的时间得出第二次经过点C的坐标，然后由待定系数法求出直线AB的解析式；②最后令s=0，将其代入①中所得关系式，求出x的值即可解决问题. 【小问1详解】 ∵从起点到湿地公园的平均速度是千米/分，用时分钟， ∴千米． 【小问2详解】 ①∵线段经过点，， ∴直线解析式为， ∴当时，，解得， ∵该运动员从第一次经过点到第二次经过点所用的时间为分钟， ∴该运动员从起点到第二次经过点所用的时间是， 分钟， ∴直线经过，， 设直线解析式， ∴解得， ∴直线解析式为． ②该运动员跑完赛程用的时间即为直线与轴交点的横坐标， ∴当时，，解得， ∴该运动员跑完赛程用时分钟． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是搞清楚路程、速度、时间之间的关系，学会利用一次函数的性质解决实际问题. 22. 如图，，平分，点B是射线上一定点，点C在射线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点B顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点D和点E． （1）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）请探究线段和之间的数量关系，写出结论并证明． 【答案】（1） ，理由如下， 如图3，作于，于， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ， 证明：如图，作于，于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由①知， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的综合问题，涉及到三角形全等的判定及性质的综合应用，解直角三角形、旋转的性质等知识点，熟练运用这些知识是解题关键． （1）结论：，只要证明即可． （2）结论：，先可得，再证明即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、本大题共12分． 23. 如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）求点C及顶点M的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值； （3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）点P的坐标为（1，－4），的最小值为；（3）面积的最大值为，此时点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）令抛物线解析式中即可求出点坐标，将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）根据轴对称的性质可得线段BC与对称轴的交点即为点P，先利用待定系数法求出解析式，由此再求出点P坐标即可； （3）过点作轴的垂线交直线于Q点，设，进而得到点坐标，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）将代入，得：， ∴点的坐标为， ， 抛物线的顶点的坐标为； （2）如图，设线段BC与对称轴的交点为点P，连接AC，AP， 根据轴对称的性质可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， 将代入， 得： ， 解得：， ∴点的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， ∵顶点的坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 将代入，得， ∴点P的坐标为（1，－4）； 故此时的最小值为． （3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，，如图1所示： 设点坐标为，则点坐标为，其中， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值为， 将代入，得：， ∴BCN面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求直线的解析式等知识，本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $