专题13 计数原理与概率统计小题综合（精选59题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题13 计数原理与概率统计小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．的展开式的第5项的系数是 ．（用数字作答） 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 例题2．若，则 . 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 例题3．（多选）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中的系数为 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【来源】广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题 例题4．艾伊钟是一名电影爱好者，目前电影院有六部电影正在热映，他想趁高考前利用端午节假期，集中两天把这六部电影都刷一遍，若将6部电影随机分为2组，则共有 种分组方式.（用数字作答） 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 例题5．某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（    ） A．115分，105 B．115分，265 C．120分，105 D．120分，265 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 例题6．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图（1）所示.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图（2）所示，则（    ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 例题7．某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量（单位：百辆），得到如下折线图： 现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为和，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 例题8．近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元／吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则的值为 ． 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 例题9．已知随机事件，．若，，，则 ． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 例题10．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立 C． D． 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 例题11．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 . 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 例题12．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 例题13．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【来源】甘肃省武威市凉州区2025-2026学年高三上学期一轮复习摸底测试（一）数学试题 例题14．（多选）某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【来源】2025届河北省部分高中高三下学期模拟考试数学试题 例题15．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 ． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 2．某数学学习兴趣小组8名同学，在一次数学素质拓展测试中的得分如下：.这8名同学成绩得分的第60百分位数是（    ） A．131 B．132 C．133 D．134 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 3．若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 【来源】黑龙江省大庆市2024-2025学年高三下学期第三次教学质量检测数学试题 4．已知某数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为（       ） A． B． C． D． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 5．已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 6．已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【来源】安徽师范大学附属中学2025届高三考前适应性检测数学试题 7．在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 8．一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 9．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 10．已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【来源】山东省名校2025届高三4月校际联合检测数学试题 11．如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【来源】湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷 12．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（     ） A． B． C． D． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 13．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 14．设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（    ）. A．(10)=2. B．(16n+5)=ω(4n+3). C．(8n+5)=ω(4n+5). D．若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 二、多选题 15．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 16．已知甲､乙两组样本数据分别为和，则下列结论正确的为（    ） A．甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等 B．甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等 C．甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差 D．甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 17．下列命题中正确的有（    ） A．已知随机变量，则 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥，且，，则 D．样本数据，，，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 18．某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（    ） A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18 C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 19．设的极差为，平均值为，中位数为m，标准差为s.，其中，的极差为Y，平均值为，中位数为P，标准差为t，则（   ） A． B． C． D． 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 20．下列说法中，正确的是（   ） A．在这组数据中，第百分位数为 B．分类变量与的统计量越小，说明“与有关系”的可信度越低 C．设则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 21．设的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 22．下列说法正确的是（    ） A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B．若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C．随机变量X服从正态分布，若，则 D．随机变量Y服从二项分布，若方差，则 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 23．某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本中得分不低于80分的同学有15名 C．估计样本的40%分位数为66分 D．该组数据的平均数大于众数 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 24．下列说法正确的是（   ） A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据调整为，决定系数不变（附：，，） 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 25．为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（    ）    A．该校男生和女生人数之比为 B．如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率 C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为 D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 26．已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为： 1 2 其中满足：，且.定义由生成的函数.现有一个装有分别标记着1，2，3的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为，由生成的函数为，；若连续两次有放回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为，此时由生成的函数为，，则（    ） A． B． C． D． 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 27．数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（） A．十进制数2025用二进制表示为 B．满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275 C．将对应的二进制数中1的个数记为，则 D．将对应的二进制数中0的个数记为，令，则 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 三、填空题 28．若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答） 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 29．已知展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 . 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 30．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 . 【来源】河南省豫西北教研联盟（洛平许济）2024-2025学年高三第二次质量检测数学试题 31．已知的展开式中的常数项为，则 . 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 32．被8除的余数为 . 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 33．一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答） 【来源】广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题 34．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 35．已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 ． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 36．电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答） 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 37．甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2样，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 种．（用数字作答） 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 38．已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 39．数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为 ． 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 40．某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为 ． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 41．从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则 ． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 42．掷一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为，则的概率是 ． 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 43．有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 ． 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 44．甲乙两位同学一起玩掷骰子的游戏，骰子为均匀的正方体，且正方体的六个面上分别标注了点数.现甲乙两位同学轮流掷骰子，规定玩家完成一轮投掷的规则如下： ①玩家开始投掷骰子，若玩家掷出的点数为6，则获得6分，且玩家继续掷骰子，本轮投掷继续； ②若玩家掷出的点数小于6，则获得相应点数的得分，此时将骰子交给对手投掷，该玩家完成了一轮投掷. 称甲乙两人各完成一轮投掷为完成了一轮游戏，则甲在三轮游戏中共得14分的概率为 ． 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 计数原理与概率统计小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．的展开式的第5项的系数是 ．（用数字作答） 【答案】210 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】根据二项式展开式通项，为第5项代入求解即可. 【详解】二项式展开式通项，所以， 则的展开式的第5项的系数是210. 故答案为：210. 例题2．若，则 . 【答案】 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】通过赋值法即可求解. 【详解】令，可得：， 令，可得：， 所以， 所以， 故答案为： 例题3．（多选）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中的系数为 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】ACD 【来源】广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，逐项检验，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确. 故选：ACD. 例题4．艾伊钟是一名电影爱好者，目前电影院有六部电影正在热映，他想趁高考前利用端午节假期，集中两天把这六部电影都刷一遍，若将6部电影随机分为2组，则共有 种分组方式.（用数字作答） 【答案】31 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】根据不均匀分组、部分均匀分组、均匀分组分三种情况求解，结合加法技术原理得结论. 【详解】若将6部电影随机分为2组， 则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组， 按1和5，有种分组方式； 按2和4，有种分组方式； 按3和3有种分组方式， 所以共有种分组方式， 故答案为：. 例题5．某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（    ） A．115分，105 B．115分，265 C．120分，105 D．120分，265 【答案】B 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 【分析】利用各层平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式可求全班学生的平均数和方差. 【详解】依题意，， 所以全班学生的平均成绩（分）； 全班学生成绩的方差为 ． 故选：B 例题6．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图（1）所示.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图（2）所示，则（    ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 【答案】A 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】根据已知残差散点的分布图，结合一元线性回归模型中对随机误差的假定的含义，即可判断答案. 【详解】对于残差图（1）对应的散点，随机误差满足的假设，但是方差随着的变化而变化，不满足的假设； 对图（2）对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足的假设，方差不随的变化而变化，满足的假设. 故选：A. 例题7．某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量（单位：百辆），得到如下折线图： 现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为和，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】利用方差公式计算可得和的大小，计算出两类车的年增长率，进而可得年均增长率，可得和. 【详解】因为2021年至2024年这4年新能源汽车的销量数据为， 平均数为， 所以 ， 2021年的年增长率为，2022年的年增长率为， 2023年的年增长率为，2024年的年增长率为， 这四年的新能源汽车的销量数据和年平均增长率分别为； 因为2021年至2024年这4年纯电动汽车的销量数据为， 平均数为， 所以 ， 2021年的年增长率为，2022年的年增长率为， 2023年的年增长率为，2024年的年增长率为， 这四年的纯电动汽车的销量数据和年平均增长率分别为； 所以. 故选：B 例题8．近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元／吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则的值为 ． 【答案】0.25 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】由残差定义可得，再由回归方程过点可得m，即可得答案. 【详解】由题知，可得． 又， 由，可得．故. 故答案为：0.25 例题9．已知随机事件，．若，，，则 ． 【答案】/ 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】根据条件概率求出，再由和事件的概率公式求出，最后由条件概率公式计算可得. 【详解】因为，，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为： 例题10．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立 C． D． 【答案】BD 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，交集为，则，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：BD. 例题11．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 . 【答案】 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式计算可得. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，，，， 当时，， 由题知，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 例题12．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【答案】 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率． 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为：． 例题13．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】甘肃省武威市凉州区2025-2026学年高三上学期一轮复习摸底测试（一）数学试题 【分析】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，通过计算条件概率即可. 【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 例题14．（多选）某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】2025届河北省部分高中高三下学期模拟考试数学试题 【分析】由题意确定甲的投中次数为，满足 .进而逐项判断即可； 【详解】记甲的投中次数为，则. 对于A选项，当时，甲通过考核最少要投中2次，0.972，A正确. 对于B选项，当时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为. . 当时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21次不管投中与否都通过考核； 若前20次投中10次，则第21次投中才能通过考核；若前20次里投中次数不超过9，则第21次不管投中与否都不能通过考核. ，显然，B错误. 对于C选项，当时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为.. 当时，若前19次里投中次数不少于10，则第20次不管投中与否都通过考核； 若前19次投中9次，则第20次投中才能通过考核；若前19次里投中次数不超过8，则第20次不管投中与否都不能通过考核. ，显然，C错误. 对于D选项，当时，将甲的投中次数分为以下4种情况，分别为. . 当时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21，22次不管投中与否都通过考核； 若前20次投中10次，则第次至少要投中1次才能通过考核； 若前20次投中9次，则第21，22次都投中才能通过考核； 若前20次里投中次数不超过8，则第21，22次不管投中与否都不能通过考核. ， . ，所以，D正确. 故选：AD 例题15．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 ． 【答案】 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】设取出的5个数为，则可推得，，即可得出.进而只需要分析出事件以及表示的含义，并求出概率，即可得出答案. 【详解】设从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内. 设， 则， 所以，，， 所以，，，. 又表示，共有种可能； 表示中有4个选择1和1个选择2，共有种可能， 且所有的取法种数为， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数据的取法规则，得出概率具有对称性. 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 【答案】B 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 2．某数学学习兴趣小组8名同学，在一次数学素质拓展测试中的得分如下：.这8名同学成绩得分的第60百分位数是（    ） A．131 B．132 C．133 D．134 【答案】C 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】根据百分位数的定义易得答案. 【详解】因，则这8名同学成绩得分的第60百分位数是从小到大第5个数，即133. 故选：C. 3．若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 【答案】C 【来源】黑龙江省大庆市2024-2025学年高三下学期第三次教学质量检测数学试题 【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 4．已知某数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设原来个数据依次为、、、，则， 方差为，则， 即， 所以， 则 再加入一个数据，则其平均数为， 则这个数据的方差为 . 故选：C. 5．已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5， 从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法， 要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类： 若两数中不含5，不同的选法有种； 若两数中含5，则不同的选法有种， 所以共有种不同的选法，所以概率为 故选：B. 6．已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【来源】安徽师范大学附属中学2025届高三考前适应性检测数学试题 【分析】设这10个样本数据分别为，且．由题意得这组数据的分位数为，设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为，由平均值为10得到，再利用方差公式结合基本不等式求得的最大值即可. 【详解】设这10个样本数据分别为，且． 因为，所以这10个数据的分位数为． 设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为， 由题意知，则； ， 所以，整理得，解得， 所以， 当且仅当时等号成立， 即，时，取到最大值13. 故选：C. 7．在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 【分析】按甲只在第一天，只在第二天，只在第三天值班分类，数清楚样本点个数，再用古典概型即可得到答案. 【详解】计算总可能值班的样本点个数： 每天值班人选从4人中选1人，且相邻两天值班人不同. 第一天：有4种选择（任何一人均可）； 第二天：不能与第一天相同，因此有3种选择（排除第一天的人）； 第三天：不能与第二天相同，因此有3种选择（排除第二天的人）. 总的样本点个数：. 计算甲恰有一天值班的样本点个数： 甲只在第一天值班有种， 甲只在第二天值班有种， 甲只在第三天值班有种. 所以有古典概型知：. 故选：C. 8．一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 【分析】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【详解】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 9．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【答案】A 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】分析可知原题意相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，再对应到具体三个人，利用隔板法分析求解. 【详解】先将卡片分为符合条件的三份， 由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况， 再对应到三个人有种情况，则共有种法. 故选：A． 10．已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】B 【来源】山东省名校2025届高三4月校际联合检测数学试题 【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 11．如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合古典概型和对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 即、、或、、或、、， 其中能构成的等边三角形的有：、、、、、 、、，共个， 因此，构成的三角形不是等边三角形的概率是. 故选：B. 12．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可. 【详解】根据题意可取0,1,2， ，，， 所以， 故选：A. 13．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】A写出事件包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出；C事件是不可能事件；D利用概率的加法公式. 【详解】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为， 则选出两只鞋包含了6种， 其中事件包含了4种， 事件包含了2种，事件包含了2种， 故，则A错误； ，，，，故BC错误； ，故D正确. 故选：D 14．设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（    ）. A．(10)=2. B．(16n+5)=ω(4n+3). C．(8n+5)=ω(4n+5). D．若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 【答案】C 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】利用的定义可判断A、B的正误，用特殊值代入可判断C，列举法可判断D的正误，即可得正确答案. 【详解】，所以，故A项正确， ， 所以，， 所以 ，所以， 故B项正确; ， ，故， 即时，，故C项错误， 若且，由 ， 可知，时，有个，时，有个，时， 有个，…，时，有个， 共有，故D项正确. 故选：C. 二、多选题 15．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】对于A，采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；对于B，利用插空法；对于C，利用捆绑法；对于D，利用特殊元素优先法. 【详解】对于A，共有种不同的坐法，故A正确； 对于B，空位不相邻的坐法有种，故B错误； 对于C，空位相邻的坐法有种，故C正确； 对于D，两端不是空位的坐法有种，故D错误， 故选：AC. 16．已知甲､乙两组样本数据分别为和，则下列结论正确的为（    ） A．甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等 B．甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等 C．甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差 D．甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差 【答案】BC 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 【分析】利用反例法，分类讨论法对每个选项讨论即可. 【详解】对于A选项： 若甲组样本数据的中位数为， 且5个数据由小到大排列为：时； 那么乙组样本数据的大小排列为：， 此时乙组样本数据的中位数为， 故用反例法证明了A选项错误. 对于B选项： 甲组样本数据的平均数……① 甲组样本数据的平均数……② ①②式相等，故B选项正确. 对于CD选项： 设甲组数据的分别为，,极差为2； 那么乙组数据的分别为，，极差为0； 此时有甲组样本数据的极差大于乙组样本数据的极差，；故C正确，D错误. 综上所述应选BC. 故选：BC. 17．下列命题中正确的有（    ） A．已知随机变量，则 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥，且，，则 D．样本数据，，，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 【答案】CD 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】对于A利用二项分布的方差公式即可判断，对于B利用百分位数的定义即可判断，对于C利用互斥事件的概率公式即可判断，对于D利用平均数和方差的性质即可判断. 【详解】对于A：由，所以，故A错误； 对于B：由，所以数据2，3，4，5，6的第60百分位数是，故B错误； 对于C：事件A与B互斥，且，，所以，故C正确； 对于D：利用平均数和方差的性质有：样本数据，，，的平均数为， 方差为，则，，…，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：CD. 18．某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数，中位数为18，唯一众数为20，极差为5，则（    ） A．该组数据的第80百分位数是20 B．该组数据的平均数大于18 C．该组数据中最大数字为20 D．将该组数据从小到大排列，第二个数字是17 【答案】AC 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 【分析】设这组数从小到大排列为，由题意可得，，结合百分位数定义计算可得A；设出举出符合题意但不符合选项的一组数据即可B、D；结合众数与极差定义，借助反证法可得C. 【详解】设这组数从小到大排列为， 由中位数为18，故， 由唯一众数为20，故或，即可确定， 对A：由，则该组数据的第80百分位数是，即为，故A正确； 对B：该组数据可能为， 此时，故B错误； 对C：由题可知，若，则，此时只有， 故，从而有，，，与矛盾， 故，故C正确； 对D：同B中假设，该组数据可能为，故D错误. 故选：AC. 19．设的极差为，平均值为，中位数为m，标准差为s.，其中，的极差为Y，平均值为，中位数为P，标准差为t，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】根据方差及标准差的性质判断A,D,应用平均数及中位数性质判断B,C. 【详解】不妨设， 则知，故A不正确，，D不正确； 由平均值、中位数定义可知，B，C正确. 故选：BC. 20．下列说法中，正确的是（   ） A．在这组数据中，第百分位数为 B．分类变量与的统计量越小，说明“与有关系”的可信度越低 C．设则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 【答案】ABC 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】根据百分数的定义求解，判断A，根据统计量的定义进行判断B，赋值进行计算，判断C，根据残差的定义进行判断D. 【详解】对于A，，故第百分位为，故A正确； 分类变量A与B的统计量越小，说明变量间关联性越弱，即A与B有关系的可信度越低，故B正确； 即的通项公式为， 即x的奇数次方的系数为负值， 故令，则，故， 故C正确； 残差平方和越小的模型,越大,拟合的效果越好,故D错误. 故选：ABC. 21．设的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】根据题意，结合数据的极差，平均数，中位数和方差的性质，即可求解. 【详解】由的极差为，平均值为，中位数为m，方差为， 若， 则数据的极差为，平均值为，中位数为，方差为. 故选：BC. 22．下列说法正确的是（    ） A．数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B．若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C．随机变量X服从正态分布，若，则 D．随机变量Y服从二项分布，若方差，则 【答案】CD 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据， 因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A错误； 对于B中，数据的标准差为， 由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B错误； 对于C中，随机变量服从正态分布，且， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，随机变量服从二项分布，且， 可得，解得或， 当时，可得； 当时，可得， 综上可得，，所以D正确. 故选：CD. 23．某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本中得分不低于80分的同学有15名 C．估计样本的40%分位数为66分 D．该组数据的平均数大于众数 【答案】ABC 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】结合频率分布直方图逐项判断即可. 【详解】对于A：由， 可得：，正确； 对于B：样本中得分不低于80分的频率， 故样本中得分不低于80分的同学有，正确； 对于C：第一个矩形面积为，第二个矩形面积为，第三个矩形面积为， ，， 所以样本的40%分位数：，正确； 对于D：平均数为：， 众数为：75，故D错误； 故选：ABC 24．下列说法正确的是（   ） A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据调整为，决定系数不变（附：，，） 【答案】BD 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】求出上四分位数判断A；利用正态曲线的性质判断B；利用散点图的性质判断C；利用决定系数公式计算判断D. 【详解】对于A，给定数据按由小到大排列为：，由，得数据的上四分位数为，A错误； 对于B，越大，对应的正态曲线越“矮胖”，随机变量的分布越分散， 因此该物理量在一次测量中在的概率越小，B正确； 对于C，散点不一定在回归直线上，将该点代入直线方程，方程不一定成立，C错误； 对于D，，变成了，则，， 因此都不变，决定系数不变，D正确. 故选：BD 25．为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（    ）    A．该校男生和女生人数之比为 B．如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率 C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率为 D．从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为 【答案】ABC 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】根据分层随机抽样的特点判断A；结合题意判断B；先求出样本中学生手机成瘾的频率，再利用频率估计概率即可判断C；根据条件概率求出从样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率，再用频率估计概率即可判断D. 【详解】根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为， 用样本估计总体可知全校男生和女生人数之比为，故A正确； 样本中男生有手机成瘾，女生有手机成瘾，比例关系差异很大， 男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率，故B正确； 结合样本数据以及等高堆积条形图可知， 男生中有人手机成瘾，女生中有人手机成瘾， 即样本的100人中有28人手机成瘾，所以样本中学生手机成瘾的频率为， 用频率估计概率可知，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成瘾的概率为， 故C正确； 根据条件概率可知，在样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为， 用样本估计总体可知该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为， 故D错误. 故选：ABC. 26．已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为： 1 2 其中满足：，且.定义由生成的函数.现有一个装有分别标记着1，2，3的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为，由生成的函数为，；若连续两次有放回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为，此时由生成的函数为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】根据题意分别求的分布列和期望，以及，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可知：的可能取值为，且， 所以的分布列为 1 2 3 可得，，， 所以，，即， 可得，，故A、C正确； 由题意可知：的可能取值为，可得： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 则， 所以的分布列为 2 3 4 5 6 可得， ，（认为此时）， 则， 所以，即，故D错误； 又因为，故B正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：对于新定义题型，要明确新定义的条件、原理以及结论，把问题转化为已经学过的知识进行运算求解. 27．数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（） A．十进制数2025用二进制表示为 B．满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275 C．将对应的二进制数中1的个数记为，则 D．将对应的二进制数中0的个数记为，令，则 【答案】BCD 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】根据十进制与二进制的转化方法即可判断A，利用组合分析出所有情况即可判断B；分别计算等式左右两侧即可判断；利用二项展开式公式即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，其中中有且只有2个1，有种可能； 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次， 所以对应的十进制数的和为，故B正确； 对于C：， 则，， 故,， 故，故，故C正确； 对于D：共个数中所有的数转换为二进制后， 总位数都为2026，且最高位都为1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0或者1； 设其中的数，转换为二进制后有个； 在这个数中，转换为二进制后有个0的数共有个， 故，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 28．若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答） 【答案】2 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】利用展开式的通项公式求出第 项，令的指数为3得的系数，列出方程解得． 【详解】展开式的通项为， 令 的展开式中的系数为 ， ∵展开式中x3的系数为80， ∴ . ∴. 故答案为：2. 29．已知展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 . 【答案】 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】利用二项式系数的性质结合二项式定理列式计算即得. 【详解】展开式中二项式系数之和为，解得， 展开式的通项为，， 当时，，所以的系数为. 故答案为： 30．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 . 【答案】 【来源】河南省豫西北教研联盟（洛平许济）2024-2025学年高三第二次质量检测数学试题 【分析】依题意可得，即可求出，再由展开式的通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 依题意，所以， 所以二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以展开式中的系数为为. 故答案为： 31．已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 32．被8除的余数为 . 【答案】2 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】根据二项式展开式性质计算求解余数. 【详解】， 因为能被8整除， 所以除以8的余数即是被8除的余数， 所以被8除的余数是2. 故答案为：2. 33．一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答） 【答案】9450 【来源】广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题 【分析】结合题意先分三类，每类由乘法原理结合组合数计算，再由分步加法原理求和. 【详解】 质点第10秒末到达点共跳了10次，可分三类情况讨论： 第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有种； 第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有种； 第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有种； 根据分类计数原理得，共有（种）． 故答案为：9450. 34．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 【答案】 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】首先求剩余数据的中心点，再代入回归直线方程求，再代入求，即可求残差值. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 35．已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设患该种疾病为事件，血检呈阳性为事件，依据题意得，，根据条件概率， 得. 故答案为： 36．电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答） 【答案】144 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 【分析】先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可. 【详解】因为上午要播出某电视剧和某专题报道，所以有种排法， 其他4个节目有种排法 根据分步乘法计数原理， 不同播出方案的种数为. 故答案为：144 37．甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2样，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 种．（用数字作答） 【答案】60 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式求解. 【详解】从5种课外读物中任取1样为甲乙共同的，有5种方法； 再从余下4种中取1样给甲，有4种方法；最后从3种中取1样给乙，有3种方法， 所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（种）. 故答案为：60 38．已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 【答案】31.5 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 【分析】根据中位数、平均数、方差的定义求解即可. 【详解】由于样本共有6个数据，且最中间的两个数为，， 由题意可得，，即， 则样本平均数为， 则样本的方差为， 要使该组样本的方差最小，只需最小即可， 而， 则时，最小，此时， 则. 故答案为：31.5. 39．数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为 ． 【答案】 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 【分析】根据平均数的公式和基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以， 故答案为：. 40．某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为 ． 【答案】/ 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】设投篮总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可. 【详解】设投篮总次数的数学期望为， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 则投篮总次数的数学期望为， 解得 故答案为： 41．从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则 ． 【答案】 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】利用分类计数加法原理，根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】由题意，在1∼15这15个数字中，5的倍数有5、10、15，共3个，所以事件发生的概率， 记事件表示 “第一次抽到数字为5的倍数且第二次抽到的数字小于第一次”. 若第一次抽到5，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 若第一次抽到15，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于15的卡片，有14种抽法. 所以. 根据条件概率公式，. 故答案为：. 42．掷一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为，则的概率是 ． 【答案】 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 【分析】先算出总的基本事件，可分为四种情况，每种情况可理解为先选数，再把数赋值给， 利用组合数的定义和古典概型即可求得概率. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子3次，总的基本事件数为：，可分为以下四种情况： ，可理解为从1到6任选3个数，最大的赋给，中间值赋给，最小的赋给，所以包含的基本事件数为：， ，可理解为从1到6任选2个数，较大的赋给，较小的赋给，所以包含的基本事件数为：， ，可理解为从1到6任选2个数，较大的赋给，较小的赋给，所以包含的基本事件数为：， ，可理解为从1到6任选1个数，把这个数都赋给，所以包含的基本事件数为：， 所以所求事件概率为． 故答案：． 43．有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 ． 【答案】 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 【分析】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得； 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：五次抽取同一球，选择球的编号有3种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出； 情况一：一种球出现1次、另一种球出现4次，选取出现1次的球有3种方式，选取出现4次的球有2种方式； 其中选取出现一次球的位置有5种可能，此时事件的可能情况有种， 情况二：一种球出现2次、另一种球出现3次，选取出现2次的球有3种方式，选取出现3次的球有2种方式； 其中选取出现2次球的位置有种可能，此时事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 情况一：一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现3次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现1次的球有2种方式，第三种出现3次的球有1种方式， 其中选取出现3次球的位置有5种可能，两种各出现1次的球的位置有种可能， 此时事件的可能情况有种， 情况二：一种球出现1次、另一种球出现2次、第三种球出现2次，选取出现1次的球有3种方式，另一种出现2次的球有2种方式，第三种出现2次的球有1种方式， 其中选取出现一次球的位置有5种可能，两种各出现2次的球的位置有种可能，第三种出现2次的球的位置只有1种方式， 此时事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故答案为：. 44．甲乙两位同学一起玩掷骰子的游戏，骰子为均匀的正方体，且正方体的六个面上分别标注了点数.现甲乙两位同学轮流掷骰子，规定玩家完成一轮投掷的规则如下： ①玩家开始投掷骰子，若玩家掷出的点数为6，则获得6分，且玩家继续掷骰子，本轮投掷继续； ②若玩家掷出的点数小于6，则获得相应点数的得分，此时将骰子交给对手投掷，该玩家完成了一轮投掷. 称甲乙两人各完成一轮投掷为完成了一轮游戏，则甲在三轮游戏中共得14分的概率为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】分两种情况讨论，其一三轮游戏中未掷出6点，其二，拋掷4次骰子，有且只有一次掷出6点，再利用独立事件的概率公式计算即可. 【详解】①甲在三轮游戏中未掷出6点时，则三轮得分为5，5，4，共有3种情况，概率为，②甲在三轮游戏中掷出过6点时，则仅可能在其中一轮掷出一次6点，共有3种情况，且仅拋掷4次骰子， 分别记另外三次掷出的点数为，则，且， 利用隔板法可得，共有种情况（其中3指的是两次1，一次6的情况）， 概率为， 综上，甲在三轮游戏中共得14分的概率 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $