专题11 平面解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线）小题综合（精选50题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题11 平面解析几何 （直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线）小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【来源】青海省海东市第二中学等校2025届第二次模拟考试数学试卷 【分析】求出圆的圆心及半径，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 点到直线：的距离， 直线与圆相交，则. 故选：B 例题2．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 例题3．已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（     ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上位置关系都有可能 【答案】C 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】应用点到直线距离计算判定两条直线位置关系即可. 【详解】直线，（其中）， 当时，在直线的同侧， 所以，所以，所以到直线的距离大于到直线的距离， 所以直线与直线不平行， 所以直线与直线相交， 故选：C. 例题4．已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【答案】 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则. 即圆的半径为. 故答案为：. 例题5．已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D      【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 例题6．（多选）已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积的最小值为 B．最小时，弦长为 C．最小时，弦所在直线方程为 D．直线过定点 【答案】AD 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 【分析】利用和等面积法判断AB；设，，，利用两条切线方程联立得到直线关于的方程，求出最小时点坐标代入即可判断C；由含参直线方程过定点的求法计算D即可. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 对于AB，四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离，所以， 此时，A正确； 又，所以此时，B错误； 对于C，设，，， 则过作圆的切线，切线方程为：， 过作圆的切线，切线方程为：， 又为两切线交点，所以， 则两点坐标满足方程：， 即方程为：； 当最小时，，所以直线方程为：， 由得，即， 所以方程为：，即，C错误 对于D，由C知：方程为：； 又，即， 所以方程可整理为：， 由得，所以过定点，D正确. 故选：AD 例题7．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 例题8．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 . 【答案】 【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（八）数学试卷 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故答案为： 例题9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 【分析】由四边形为矩形，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为.    直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为， 由解得，或 所以，或，. 不妨设，，又， 所以，. 在△AMN中，， 由余弦定理得， 即， 则，所以，则， 所以. 故选C. 例题10．已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解. 【详解】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B    例题11．已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【来源】河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第二次质量预测数学试题 【分析】由题意写出交点坐标和准线方程，由圆的方程求出圆心和半径，作图.结合切线的性质和求出直线的倾斜角，从而得到直线方程，联立方程组求出点坐标，从而知道的面积. 【详解】由题意可知，， ∵，∴，， 如图：设点为与圆的切点， 则，， ∴，则，， ∴直线， 联立方程组，即，解得（舍去）或， ∴，∴， ∴. 故选：C. 例题12．（多选）已知曲线，则以下结论正确的是（    ） A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性 C．曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D．曲线与圆有公共点 【答案】BCD 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】根据正弦函数值域判断A，根据周期性及对称性定义判断B，C，应用特殊点判断D. 【详解】曲线，则，A选项错误； 当，则曲线，， 所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确； 代入曲线成立，所以曲线关于轴成轴对称图形， 代入曲线成立，所以曲线关于对称图形， 所以曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 曲线，与圆有公共点，D选项正确； 故选：BCD. 例题13．（多选）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【来源】山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题 【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可. 【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确； 选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求， 得，即，超出，同理的范围也超过，B错误； 选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和， 故弦长为，C正确； 选项D：则即 又，即， 则 同理可得：， 则曲线的上任一点到的距离之和为： 曲线表示以为焦点且的椭圆，则， 则线段的最大值为正确； 故选：ACD 【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可. 例题14．已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于中点坐标公式和垂直直线的斜率关系列方程，化简得到齐次式即可得解. 例题15．（多选）已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（   ） A．恒过的焦点 B．，的横坐标之积为定值4 C．，距离的最大值为6 D．直线的斜率恒为定值 【答案】ABD 【来源】辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷押题卷数学（一） 【分析】对AC，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而根据求解可得的方程为，的方程为即可判断；对B，根据韦达定理结合求解即可；对D，根据中点坐标求解的坐标即可判断. 【详解】对AC，设直线的方程为， 的方程为， ，，，， 联立，得， 所以，，， 所以， 解得或， 所以的方程为或， 同理可得的方程为或， 又，所以的方程为，的方程为， 所以恒过焦点，恒过点（6，0），且，距离的最大值为，A项正确，C项错误； 对B，，B项正确； 对D，由题得，同理得， 所以，D项正确. 故选：ABD 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】根据双曲线的离心率为，由求解. 【详解】由题意双曲线，所以，， 由计算得：，又因为双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为． 故选：B. 2．已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】根据椭圆的性质求出焦点坐标，再结合焦点在圆上求出的值，最后根据椭圆离心率公式求出离心率. 【详解】已知椭圆方程，则. 根据椭圆的性质，可得，那么椭圆的焦点坐标为. 因为椭圆的焦点在圆上，将焦点坐标代入圆的方程可得： 即，移项可得. 因为，所以. 由，. 根据椭圆离心率公式，可得. 此椭圆的离心率为. 故选： B. 3．实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 4．过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由抛物线的焦点坐标和直线垂直的斜率关系求解. 【详解】抛物线的焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 代入，可得，故所求直线方程为， 即. 故选：B. 5．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知，又， 所以为等边三角形， 为准线与轴的交点)， 抛物线的焦点，准线，， 故 故. 故选：C 6．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】求出直线过定点，采用数形结合法即可求解.. 【详解】直线可化为：， 令，得，所以直线过定点， 圆的圆心为，半径， 当时，有最小值，如图所示： 即圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：C 7．椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】由双曲线的渐近线斜率小于，可得，再结合椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于， 所以，即， 设椭圆的焦距为，离心率为， 则， 可得. 故选：B. 8．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围． 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为， 抛物线的焦点为， 设，则，， 由可得：， 整理可得：， ， ， ， 则：， 由可得：. 故选：B. 9．已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图：    所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 10．如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】    设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得， 所以 所以，所以. 故选:C. 11．已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】解：设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故选：B. 12．已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】抛物线的准线与轴交于，则， 设的中点为，，则， 在的渐近线上存在点，使得， 是以为圆心，半径为的圆与渐近线有公共点， 所以， ， 所以. 故选：D 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试数学试卷 【分析】根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点坐标，利用向量的坐标运算得到点坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率. 【详解】 由双曲线可知渐近线方程为， 因为，所以， 在中，，，可得. 即， 则 又因为点在渐近线上，所以，解得，可得. 故选：B. 14．已知曲线，则命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】已知曲线， 若曲线为椭圆，焦点在轴上，需要，则, 若曲线为双曲线，焦点在轴上，需要, 则焦点在轴上得不到, 若，表示曲线表示双曲线，焦点坐标在轴上. 故命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的既不充分也不必要. 故选：D. 15．定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题 【分析】直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积. 【详解】设，则“椭圆”方程是，即， 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为，换为可得，即，所以“椭圆”关于原点对称； 研究“椭圆”在第一象限图象， 当时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，， 当时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，， 结合曲线的对称性，“ 椭圆”大致图象如图： 四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为， 所以梯形面积为， 所以“椭圆”面积为 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情形. 二、多选题 16．已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（   ） A．圆的半径 B．直线与圆相交 C．直线不可能将圆的周长平分 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BD 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】对于A，根据条件得到圆心为，半径为，即可求解；对于B，根据条件可得直线过定点，且定点在圆内，即可求解；对于C，当直线过圆心时，直线平分圆，即可求解；对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，由弦长公式，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到， 所以圆圆心为，半径为，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过点， 又，所以点在圆内，故直线与圆相交，则选项B正确， 对于选项C，当直线过点，即时，直线平分圆的周长，所以选项C错误， 对于选项D，当时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最短， 此时弦长为，所以选项D正确， 故选：BD. 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（   ） A．的周长为8 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．若线段中点坐标为，则直线的方程为 D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为 【答案】BCD 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 【分析】对于A，利用椭圆的定义计算可判断；对于B，利用焦点弦长通径最短可判断；对于C，利用点差法，即可得直线方程；对于D，利用点到圆心的距离最大值，再加上半径即为的最大值. 【详解】 对于A，若直线经过点，如图一，则的周长为， 若直线不经过点，如图二，则的周长为，故A错误； 对于B，过左焦点的椭圆焦点弦中，通径最短，即，故B正确； 对于C，显然直线的斜率存在，设， 易知 ， 若中点为，则， 则直线的方程为,即，故C正确； 对于D，设，圆心，则， 因为，所以当时，取得最大值为， 此时取得最大值为，故D正确． 故选：BCD. 18．已知，为抛物线上两点，的焦点为，且，，则下列结论正确的是（    ） A．的准线为 B．当时，的值为5 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】CD 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 【分析】对于AB，根据抛物线的方程和定义即可判断；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到可判断. 【详解】因为，，，准线方程为， 所以由抛物线的定义可得， 的准线为，故选项A错误； 当时，，的值为，故选项B错误； 如图，过点P作准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为，C正确； 由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确. 故选：CD. 19．已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（   ） A． B．的面积为 C． D．内切圆的半径 【答案】AD 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】不妨设点在第一象限，，根据已知条件，由内切圆的性质以及双曲线的定义，求出，，从而可得，的值，由面积公式可解得，再用等面积法化简即得内切圆的半径.从而判断各个选项. 【详解】不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点． 由切线长定理以及双曲线的定义，得 ， ∴，∴． 设，由为的重心知，，故A正确. 把代入双曲线：可得． ∴， ∴． 所以，故B错误； 若点在第二象限，则，同理可求得，，故C错误. 设内切圆的半径为， 则． 又， ∴，∴．故D正确； 故选：AD. 20．已知椭圆的离心率为，将绕其中心分别逆时针、顺时针各旋转，得到椭圆，设围成的公共区域的边界为曲线，则（    ） A．有四条对称轴 B．上任意两点间距离的最大值为 C．的周长 D．围成图形的面积 【答案】ACD 【来源】皖豫名校联盟2024-2025学年高三下学期4月份检测数学试题 【分析】先根据给定等式求出椭圆相关参数，再通过联立方程求交点和弦长，最后画出图形，结合图形对称性、图形周长和面积知识逐个分析各选项即可. 【详解】由题意知，解得. 由解得或 则与直线的交点为， 所以直线被截得的弦长为4. 结合对称性，可作出以及如图所示，其中. 对于A，有四条对称轴，分别为直线，故A正确； 对于B，由图可知，上任意两点间距离的最大值为，故B错误； 对于C，正方形的周长为，所以的周长，故C正确； 对于D，的短半轴长为，可知以原点为圆心，半径为的圆为曲线的内切圆，其面积为，所以，故D正确. 故选：ACD. 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 【答案】BC 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】由椭圆的方程可得，即可判断AB；由判断C，确定P点所在方程，联立椭圆方程可求出符合题意的点的个数，判断D. 【详解】对于椭圆，，故椭圆长轴长为，A错误； 椭圆离心率为，B正确； 点）是椭圆E上的一个动点，则，即，C正确； 由可知P点位于以为直径的圆上，， 则该圆方程为，联立，解得， 则或或或，故满足题意的点P有4个，D错误， 故选：BC 22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线：就是其中之一，P为曲线上一点，则下列结论正确的有（   ） A．曲线恰有2条对称轴和1个对称中心 B．若P在第一象限内，则点P到点的距离和到直线的距离相等 C．曲线所围成的封闭图形的面积小于 D．若P不在坐标轴上，则曲线在点P处的切线的横纵截距之和为1 【答案】BC 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 【分析】首先画出曲线C的图象，结合图象可直接判断A选项；由两点之间的距离公式以及点到直线的距离公式即可判断B；由第一象限的点到点的距离，可得曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，则曲线C和两坐标轴所围成的封闭图形的面积小于，则C可判断；利用导数的几何意义求切线方程即可判断D. 【详解】对于A，曲线C：即， 如图， 曲线C关于x，y轴和直线，对称，有4条对称轴； 又曲线C关于原点对称；故A错误； 设为曲线C上一点，则 对于B，只考查曲线C在第一象限内的部分，此时曲线C：， 又由， 而，故B正确； 对于C，由对称性，考查曲线C在第一象限内的部分， 由点到点的距离， 则曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方， 则曲线C和两坐标轴所围成的封闭图形的面积小于， 所以曲线C所围成的封闭图形的面积小于，故C正确； 对于D，由对称性，只考查曲线C在第一象限内的部分， 此时曲线C：， 设为曲线C在第一象限部分上一点，则， 由，则， 则曲线C在点处的切线为， 即，即， 由以及对称性可知，曲线C在点P处的切线的横纵截距的绝对值之和为1，故D错误； 故选：BC. 23．曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 【答案】ABD 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 【分析】A选项，由已知表示出曲线C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设结论成立，推理出曲线存在，符合题意；C选项，点P在椭圆上顶点时，面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点P，验证. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意可知C的方程为. 对于A，在方程中，用替代，方程不变，可得曲线C关于轴对称，故A正确； 对于B，若，则，所以这样的点P存在，故B正确； 对于C，，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点， 此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C不正确； 在曲线C上再寻找一个点，，若， 则，即，解得, 所以，故存在点，使，故D正确. 故选：ABD. 24．设焦点为F的抛物线的准线与对称轴交于点D，过C上两点A，B（不与原点重合）分别作抛物线的切线，两切线交于点P，记和面积分别为，，则（   ） A．过点A有且仅有两条直线与C只有一个公共点 B．若直线AB过点F，则面积的最小值为 C．若直线AB过点F，且倾斜角为，，则 D．若直线AB过点，则 【答案】ACD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 【分析】对于A，结合直线与抛物线的位置关系判断即可；对于BC，设直线AB的方程为，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式求解判断C，由可得，即可得到直线的方程为，进而得到的坐标，进而求解判断C；对于D，设直线AB的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式及导数的几何意义求出，，进而判断D. 【详解】对于A，过点A的切线与C只有一个公共点，过点A的与轴平行的直线与C只有一个公共点， 因此过点A有且仅有两条直线与C只有一个公共点，故A正确； 对于BC，由抛物线，即，则焦点，准线为， 设直线AB的方程为，，， 联立，得， 则，， 所以， 点到直线AB的距离为， 所以，故B错误， 由，则， 则，即， 则直线的方程为， 联立，解得或， 即或， 当的坐标为时，， 当的坐标为时，， 所以，又，解得，故C正确； 对于D，设直线AB的方程为，， 联立，得， 则，， 所以， 点到直线AB的距离为， 所以， 则， 由抛物线，则，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得，则， 所以到直线AB的距离为， 则， 则，故D正确. 故选：ACD. 25．已知动点，其到直线的距离与其到点的距离相等，设其轨迹为.上有两个关于轴对称的点（在的上方）.记直线的斜率为，坐标原点记为，的外接圆记为．则下列结论正确的是（      ） A．当时，的面积为 B． C．的周长大于 D．过点分别作的切线，且与轴交于点，则最小值为24 【答案】BC 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】先由题意写出动点满足关系式，坐标代入化简求出抛物线方程，再依次判断选项，A项联立直线与抛物线方程求解点坐标，进而得坐标，则可求三角形面积；B项用斜率表示坐标，利用向量数量积求即可；C项借助正弦定理可求外接圆直径，进而得周长范围；D项，设，求出切线方程可用表示坐标，再设圆的切线与轴交点，借助相切由垂直关系利用勾股定理表示，取特值可得，从而判断D项错误. 【详解】由题意得，化简得. A项，当时，联立，又由题意可知在轴上方， 故解得，由对称性知，， 则，故A错误； B项，由直线的斜率为，联立，得， 则，即， 设直线的倾斜角，则，， 故，故B正确； C项，由B项可得，且， 则的外接圆直径， 故的周长大于，C正确； D项，设，，由，则， 故抛物线在处切线的斜率为， 则切线方程为， 令，得，故， 由，故的外接圆圆心为， 设， 则，， ， 由勾股定理可得， 解得，故当时，， 此时，故D错误； 故选：BC. 26．在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点.已知曲线，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成的封闭图形的面积大于 C．过原点的直线与曲线有且仅有两个交点 D．点到原点的距离不超过3 【答案】ABD 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】A证明关于轴的对称点也在曲线上；B根据曲线与圆的位置关系判断；C举反例，取；D利用即可求证. 【详解】对于选项A：因为曲线上任意一点，则， 则仍成立， 即关于轴的对称点也在曲线上，故A选项正确； 对于选项B：易知， 即曲线C上的点在圆的圆周上或其外部， 又圆的面积为，故面积大于，B选项正确； 对于选项C：取，方程化简为，解得，故有3个交点， 故C选项不正确； 对于选项D：，所以，D选项正确； 故选：ABD． 三、填空题 27．若直线与抛物线相切于第一象限点，则 ． 【答案】/ 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 【分析】法一：设切点坐标，根据导数的几何意义可得解；法二，联立直线与抛物线，根据判别式可得解. 【详解】法一： 设，因为在第一象限，所以， 且，得， 即，解得； 法二： 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 又切点位于第一象限，即，， 所以， 故答案为：. 28．已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则C的准线方程为 . 【答案】 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】由题可得圆M圆心为，将其代入抛物线方程可得，据此可得准线方程. 【详解】. 则圆心为，将代入，可得. 则抛物线方程为：，则准线方程为：. 故答案为： 29．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】写出直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解. 【详解】由题意直线的方程为 ，即 ，与抛物线方程联立： ，得， 即，， 解得. 故答案为：1. 30．已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 31．已知曲线C，直线,点，，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切，过点的直线与曲线C交于A，B两点，则的最大值为 ． 【答案】 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 【分析】先由动点的轨迹得出曲线轨迹方程，通过选设直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，接着验证过定点的两直线的斜率之和为零，得出两直线关于轴对称，从而将求的正切值转化为求的正切值，再结合表达式运用基本不等式，函数单调性即得. 【详解】    如图，依题意，曲线C上任意一点M到定点的距离等于点到定直线的距离，故点M的轨迹是抛物线，其轨迹方程为：. 设直线AB的方程为，由消去得：，不妨设，，则必有且，，分别记直线的斜率为，则 ， 所以．（两直线的斜率之和为0．则两直线关于x轴对称） 设，则，当且仅当时等号成立，所以，（利用基本不等式求出的范围） 则，不妨设记，则，因在上为减函数且恒为正数，故在上为增函数，则有故的最大值为． 故答案为：. 32．在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ． 【答案】 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 【分析】设点，利用平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程，可知曲线是以点为圆心，半径为的圆，求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离取最大值，结合勾股定理可求出的最小值. 【详解】设点，由得， 化简得，所以曲线是以点为圆心，半径为的圆， 直线的方程可化为， 由得，即直线过定点， 且，故点在圆内，易知轴， 当时，即当时，圆心到直线的距离取最大值，且， 故，即最小值为. 故答案为：. 33．已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是 ． 【答案】 【来源】四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题 【分析】利用方程组思想，结合三次方程求根，然后得到三点坐标，利用三点确定一个圆，通过圆心来确定点即可. 【详解】 由已知两函数解析式联立方程组，消元得：， 发现是方程的根，则可因式分解为， 所以可以解得：， 分别代入到可得：， 由，可知点为三角形的圆心， 所以由确定一个圆， 设圆的方程为，则可得： ， 解得：， 所以圆的方程为， 化为圆的标准方程得：， 所以可得圆心坐标为， 故答案为：. 34．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 . 【答案】 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 35．若点为上一动点，为直线上一动点，其中．记，则最小值的取值范围是 ． 【答案】. 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 【分析】首先根据题意确定直线过定点，然后分析图象，确定取最小值时的位置，得出的最小值为，利用直线的横截距之差用表示出，然后根据的范围求出最小值的范围. 【详解】因为直线方程为，化简得，说明直线必过点. 由圆心到直线的距离，解得，由题意，所以直线与圆相离. 如图，作一条纵截距为负数且平行于的直线与圆相切，要使最小，点应位于切点处， 作轴交直线于点，过点作直线于点. 当点位于点的左方时，因为，即，则； 当点位于点的右方时，同理可得. 所以的最小值为. 设直线与圆相切，则有，即， 则切线的横截距为，而直线的横截距为，所以. 设 则， 所以在上单调递减，且， 综上，最小值的取值范围是. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平面解析几何 （直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线）小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B．4 C． D．2 【来源】青海省海东市第二中学等校2025届第二次模拟考试数学试卷 例题2．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 例题3．已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（     ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上位置关系都有可能 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 例题4．已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 例题5．已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 例题6．（多选）已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积的最小值为 B．最小时，弦长为 C．最小时，弦所在直线方程为 D．直线过定点 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 例题7．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 例题8．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 . 【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（八）数学试卷 例题9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 例题10．已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 例题11．已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【来源】河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第二次质量预测数学试题 例题12．（多选）已知曲线，则以下结论正确的是（    ） A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性 C．曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D．曲线与圆有公共点 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 例题13．（多选）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 【来源】山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题 例题14．已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 例题15．（多选）已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（   ） A．恒过的焦点 B．，的横坐标之积为定值4 C．，距离的最大值为6 D．直线的斜率恒为定值 【来源】辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷押题卷数学（一） 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 2．已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 3．实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 4．过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 5．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 6．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 7．椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 8．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 9．已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A． B． C． D． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 10．如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 11．已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 12．已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【来源】广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试数学试卷 14．已知曲线，则命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 15．定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（    ） A． B． C． D． 【来源】江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题 二、多选题 16．已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（   ） A．圆的半径 B．直线与圆相交 C．直线不可能将圆的周长平分 D．直线被圆截得的最短弦长为 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（   ） A．的周长为8 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．若线段中点坐标为，则直线的方程为 D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 18．已知，为抛物线上两点，的焦点为，且，，则下列结论正确的是（    ） A．的准线为 B．当时，的值为5 C．的最小值为3 D．的最大值为 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 19．已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（   ） A． B．的面积为 C． D．内切圆的半径 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 20．已知椭圆的离心率为，将绕其中心分别逆时针、顺时针各旋转，得到椭圆，设围成的公共区域的边界为曲线，则（    ） A．有四条对称轴 B．上任意两点间距离的最大值为 C．的周长 D．围成图形的面积 【来源】皖豫名校联盟2024-2025学年高三下学期4月份检测数学试题 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线：就是其中之一，P为曲线上一点，则下列结论正确的有（   ） A．曲线恰有2条对称轴和1个对称中心 B．若P在第一象限内，则点P到点的距离和到直线的距离相等 C．曲线所围成的封闭图形的面积小于 D．若P不在坐标轴上，则曲线在点P处的切线的横纵截距之和为1 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 23．曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 24．设焦点为F的抛物线的准线与对称轴交于点D，过C上两点A，B（不与原点重合）分别作抛物线的切线，两切线交于点P，记和面积分别为，，则（   ） A．过点A有且仅有两条直线与C只有一个公共点 B．若直线AB过点F，则面积的最小值为 C．若直线AB过点F，且倾斜角为，，则 D．若直线AB过点，则 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 25．已知动点，其到直线的距离与其到点的距离相等，设其轨迹为.上有两个关于轴对称的点（在的上方）.记直线的斜率为，坐标原点记为，的外接圆记为．则下列结论正确的是（      ） A．当时，的面积为 B． C．的周长大于 D．过点分别作的切线，且与轴交于点，则最小值为24 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 26．在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点.已知曲线，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成的封闭图形的面积大于 C．过原点的直线与曲线有且仅有两个交点 D．点到原点的距离不超过3 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 三、填空题 27．若直线与抛物线相切于第一象限点，则 ． 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 28．已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则C的准线方程为 . 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 29．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 30．已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 31．已知曲线C，直线,点，，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切，过点的直线与曲线C交于A，B两点，则的最大值为 ． 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 32．在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ． 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 33．已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是 ． 【来源】四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题 34．过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则 . 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 35．若点为上一动点，为直线上一动点，其中．记，则最小值的取值范围是 ． 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $