专题09 空间向量与立体几何小题综合（精选36题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题09 空间向量与立体几何小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【来源】北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期中练习（一模）数学试题 例题2．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 例题3．在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 例题4．已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 例题5．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 例题6．公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【来源】云南省曲靖市2024-2025学年高三第二次教学质量监测数学试卷 例题7．（多选）如图所示，在正方体中，是棱上一点（不包含端点），平面与棱交于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形是平行四边形； B．四边形可能是正方形； C．任意平面都与平面垂直； D．对任意点，一定存在过的直线，使与直线和都相交． 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 例题8．（多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（   ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 例题9．（多选）如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（    ）    A．三棱锥的4个面均为直角三角形 B． C．沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2 D．当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 例题10．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：    ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 2．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 4．设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 6．已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（   ） A． B． C． D． 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试题 7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 8．三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【来源】四川省达州市2025届高三第二次诊断性测试数学试题 9．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 10．正三棱柱的9条棱长均相等，且体积为36．P，Q，R分别是棱上的点，其中，则几何体的体积为（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 11．已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 12．故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 13．有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（       ） A．1个元素 B．2个元素 C．3个元素 D．5个元素 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 二、多选题 14．在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 15．在长方体中，，，，则（   ） A． B．与平面所成的角为 C．与平面所成的角为 D．三棱锥的体积为 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 16．在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（　　） A．表面积为 B．体积为 C．外接球的半径为 D．内切球的半径为 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 17．如图，正方体棱长为1，点M是侧面上的一个动点（含边界），P，Q分别为棱，的中点，过点A，P，Q的平面记为，则（   ） A．若M在线段上，则平面 B．若，则点M的运动路径的长度为 C．存在点，使得平面 D．分正方体两部分的体积为，（），则 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 18．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（    ） A． B．四面体的体积为 C．当时，点的轨迹长度为 D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 19．如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（   ） A．当时，异面直线与成角的余弦值是 B．当时，直线与平面成角的余弦值是 C．的最大值是 D．三棱锥体积的最大值是 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 20．已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（   ） A．动点F的轨迹的长度为 B．三棱锥体积的取值范围为 C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【来源】山西省大同市名校联考2024-2025学年高三下学期4月模拟考试（二）数学试题 21．如图，棱长为2的正方体．中，点P是棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则直线与直线所成角的最小值为 C．若且．，则点的轨迹长为 D．若动点M在平面上的投影为点与平面所成角与二面角大小相等，则直线与点N的轨迹相切 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 22．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（   ） A．平面平面 B．当时，直线与平面所成角的余弦值为 C．当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为 D．当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 三、填空题 23．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 24．如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则 ． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 25．棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则 . 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 26．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 . 【来源】广东省广州市外国语学校2024-2025学年高三下学期3月模拟测数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 空间向量与立体几何小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【来源】北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期中练习（一模）数学试题 【分析】分析两种不同状态下圆柱的体积和轴截面面积，即可选择和判断. 【详解】不妨设纸的长宽分别为； 当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 综上所述，，. 故选：B. 例题2．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】用表示出体积，利用导数求最值，由轴截面面积列方程即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 则，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当圆锥体积取得最大值时，， 设圆锥内切球的半径为，则由轴截面面积可得， 解得. 故选：A 例题3．在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 【分析】将三棱锥补成长方体并建立空间直角坐标系，设、外接球半径为R，求出各点及球心坐标，分析截面圆的面积差从而求出h、R，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R， 以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为， 最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为. 因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为， 所以，解得， 则，外接球表面积为：. 故选：D 例题4．已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】先设正四面体的棱长为，得到其高为，结合题意可判断出正四面体的棱长取最值时球和正四面体的位置关系，再利用球半径、截面圆半径、球心到截面圆心距离之间的关系求解即可. 【详解】如图所示，设在底面的投影为，连接并延长交于，易知E为中点， 正四面体的棱长为， 则由正四面体的特征知，， 正四面体的高为. 当正四面体内接于球时，即时，最小， 此时，得. 当球与正四面体的每条棱都相切时，即，最大， 因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等， 所以当球与正四面体的每条棱都相切时， 借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点， 且球心到正四面体的顶点的距离为， 利用勾股定理可得，得. 故正四面体的棱长的取值范围为. 故选：A. 例题5．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 【答案】B 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 例题6．公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】B 【来源】云南省曲靖市2024-2025学年高三第二次教学质量监测数学试卷 【分析】先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图象得出足球截面体各个面的性质，即可得出答案. 【详解】易知正二十面体有20个面，每个面都是三角形，每个顶点都是5条棱的交点，每条棱都是两个面的公共边， 所以，正二十面体的棱数为，顶点的个数为. 由图象可知，正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了5条棱； 原来的30条棱数量不变，所以，足球截面体的棱数为. 故选：B. 例题7．（多选）如图所示，在正方体中，是棱上一点（不包含端点），平面与棱交于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形是平行四边形； B．四边形可能是正方形； C．任意平面都与平面垂直； D．对任意点，一定存在过的直线，使与直线和都相交． 【答案】ACD 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】对于选项A，利用面面平行的性质定理推出线线平行，进而判断四边形的形状；选项B通过线面垂直性质以及正方形的性质进行推理判断；选项C依据线面垂直的判定定理和性质定理以及面面垂直的判定定理来判断；选项D采用向量共线的坐标表示来求解判断，另解则是利用空间几何中的线面关系判断直线是否满足要求. 【详解】对于A，因为平面与棱交于点，所以四点共面， 在正方体中，由平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 同理可得，故四边形一定是平行四边形，故①正确 对于B，在正方体中，面， 因为面，所以， 若是正方形， 有，， 若不重合，则与矛盾， 若重合，则不成立，故B错误； 对于C，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理：，又平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面，故C正确. 对于D， 设平面与交于，交于，则平面， 又平面，在平面内，直线PM与必相交，故直线满足要求，所以D正确. 故选：ACD. 例题8．（多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（   ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，故D正确. 故选：ACD 例题9．（多选）如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（    ）    A．三棱锥的4个面均为直角三角形 B． C．沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2 D．当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即可判断；根据，利用解三角形过程即可求解；判断出圆锥展开为一个半圆，再利用勾股定理求解；得出为直线与平面所成角，设，表示出，得出，根据，利用基本不等式得出最值，根据锥的外接球半径为，点到平面的距离为，又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为，即可求解． 【详解】对于A，根据直线垂直于平面，故，故为直角三角形，半圆锥的底面直径为，为圆弧上任意一点（不包括，两点），，故为直角三角形，，，故平面，得，故为直角三角形，故A正确； 对于B，中，，则； ．B答案正确． 对于C，将圆锥沿母线剪开后得到平面展开图，，则； 即圆锥展开为一个半圆． 又，则，C答案错误． 对于D，过P作于，连接，则面， 故为与面所成的角 设，则， 则， 可得． 设，则上式， 当且仅当，即时取得“”． 又三棱锥的外接球半径为， 点到平面的距离为， 又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为； 则，所以，故D正确； 故选：ABD． 例题10．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：    ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 【分析】根据正方体的结构特征以及空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于①，过点向引垂线，交于点，连接， 由正方体的性质可知，在平面上的投影图形为， 当在上底面运动时，的面积保持不变，其面积为，故①正确；    对于②，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 由正方体性质可知，，且，所以，且，即四边形ABMF为平行四边形，所以， 因为分别为中点，所以，即有， 所以四点共面， 所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形， 因为，， ，故梯形不是等腰梯形，故②不正确；    对于③，延长使得，则由对称性可知：， 所以， 当三点共线时，取到最小值， 因为， 所以,即的最小值是，故③不正确；    对于④，取中点，连接，由正方体性质可知，， 因为，， 所以由可得， 所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧， 如图，由，可得，同理 所以圆弧的长度为，故④正确；    故答案为：①④. 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【详解】向量在平面法向量上的投影向量： ， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故选：D 2．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 【分析】根据线线平行证明线面平行. 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则与平行或相交，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确. 故选：D 4．设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据线面垂直的性质可判断C；根据面面平行与线面垂直的性质可判断D. 【详解】若，则或与互为异面直线，故A错误； 若，由面面平行的性质定理，可得，故B正确； 若，由线面垂直的性质，可得，故C正确； 若，则， 又因为是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则，D选项正确； 故选：A 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】根据题意结合圆锥的结构特征列式求，进而可得体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 6．已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试题 【分析】根据圆台母线长与侧面展开图扇环内外圆半径的关系得到一个等式，再利用圆台上下底面圆周长与扇环内外圆周长的比例关系，进而求出圆台上下底面圆周长之差. 【详解】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为，外圆半径为，（） 则圆台母线长为， 设圆台上、下底面圆半径分别为，（）， 则，，∴， 圆台上下底面圆周长之差的绝对值为. 故选：A. 7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 8．三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省达州市2025届高三第二次诊断性测试数学试题 【分析】连接，所以O必在上，在中求得，在中得，由勾股定理计算得球半径，从而得球面积． 【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点， 又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上， 因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，， 因为平面，与平面所成的角为， 则，从而， 设球O的半径为R，在中，，则，解得， 所以球O的表面积为. 故选：B． 9．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解. 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 10．正三棱柱的9条棱长均相等，且体积为36．P，Q，R分别是棱上的点，其中，则几何体的体积为（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】先根据正三棱柱体积公式求出的值，再分别计算四棱锥的体积、三棱柱的体积，最后将四棱锥体积与三棱柱体积相加得到几何体的体积. 【详解】设正三棱柱的9条棱长均为a ， 已知正三棱柱的体积为，化简可得得. 设的中点为，的中点为. 因为，，，所以，. 又因为到平面的距离等于到的距离，即为. 根据四棱锥体积公式四棱锥的底面积为，高为，则其体积为： 将代入上式可得：. 因为三棱柱的体积为正三棱柱的体积的一半，正三棱柱体积为36，所以三棱柱的体积为. 几何体的体积等于四棱锥的体积与三棱柱的体积之和，即. 故选：B. 11．已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 【分析】作出圆锥的轴截面，得到内切圆均切于各边的中点，从而得到交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆，求出上部分圆锥与圆锥的体积之比，即可得解. 【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设的内切圆的圆心为， 切、、于、、， 因为为等边三角形，所以、、分别为、、的中点， 设与交于点，的边长为，则，，， 则圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆， 所在的平面将圆锥分成上下两部分，此时上部分圆锥的底面半径为，高为， 又圆锥的底面半径为，高为， 所以上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为， 所以所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为. 故选：B 12．故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，在根据已知条件得，解方程求出即可. 【详解】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，    取中点，连接， 由已知，、分别为、中点， 因为是直三棱柱，所以，且 ， 所以其，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为； ，在中，， 所以，设角，则有， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为因为是直三棱柱，所以，且， 所以，， 又因为平面， 平面，所以， 所以，即，解得， 所以点到平面的距离是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点到平面的垂线段. 13．有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（       ） A．1个元素 B．2个元素 C．3个元素 D．5个元素 【答案】A 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知，利用补形法，将四面体补成正方体，分析点的可能位置，即可得结果. 【详解】如图所示： 在正四棱锥中，， 则，， 即全等，则， 将四面体补成正方体，如图所示： 可知点的可能位置为，且， 所以线段长度的集合有1个元素. 故选：A. 二、多选题 14．在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】根据题意作图，利用中位线的性质证得四边形是平行四边形即，可直接判断A；利用线面平行的判定定理可证明并判断B；利用等边三角形的性质可证明并判断C；利用线面垂直的性质和判定定理可判断D. 【详解】 如图，取中点，连接， 分别是和的中点，四棱锥是正四棱锥， 且，即四边形是平行四边形， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，是中点，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D，连接交于点，连接， 因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，， 因为平面，平面，所以， 则由，，平面平面，可证得平面， 又因为，所以与为异面直线， 如果平面，则与题意矛盾，故D错误. 故选：BC. 15．在长方体中，，，，则（   ） A． B．与平面所成的角为 C．与平面所成的角为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABD 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；利用线面角的定义可判断BC选项；利用可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，在长方体中，由题意可知， 故矩形为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，A对； 对于B选项，因为平面，所以直线与平面所成的角为， 由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，且， 故与平面所成的角为，B对； 对于C选项，过点在平面内作， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，故， 所以与平面所成的角不是，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 16．在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（　　） A．表面积为 B．体积为 C．外接球的半径为 D．内切球的半径为 【答案】BD 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】利用四面体有两个面是等边三角形，有另两个面是等腰三角形，即可求解表面积，利用取中点作直截面即可求体积，利用等体积法可求内切球半径，利用过截圆面的圆心作垂线必过球心，可作出外接球球心，再结合等腰三角形进行求解即可. 【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为， 两个等腰三角形的面积为， 所以四面体的表面积为，故A错误； 取的中点，由等边三角形的性质可得：， 由于平面，所以平面， 由此可得等腰三角形面积为， 所以四面体的体积为，故B正确； 设内切球半径为，根据等体积公式可得：，故D正确； 由两个等边三角形的外心分别为，可得， 过分别作两个平面平面的垂线，相交于点， 根据球心的性质可知，点为四面体的外接球球心， 由于三角形是等腰三角形，可知点在等腰三角形的底边角平分线上， 则有，即， 又因为，所以， 所以外接球半径为，故C不正确； 故选：BD 17．如图，正方体棱长为1，点M是侧面上的一个动点（含边界），P，Q分别为棱，的中点，过点A，P，Q的平面记为，则（   ） A．若M在线段上，则平面 B．若，则点M的运动路径的长度为 C．存在点，使得平面 D．分正方体两部分的体积为，（），则 【答案】ABD 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 【分析】由面面平行的判定与性质即可判断A；作出截正方体所得的截面，过点作平面，截得正方体的截面为，根据几何关系即可判断B；连接，由线面垂直的判定得平面，过作平面平面，交延长线于点，由图即可判断C；由三棱锥的体积公式即可判断D． 【详解】对于A，由正方体得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故A正确； 对于B，作出截正方体所得的截面，如图所示，则 过点作平面，截得正方体的截面为，如图所示， 因为平面，所以， 此时，，进而， 所以，当在上运动时，满足，故B正确； 对于C，连接， 由正方体得，， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 同理得，，又平面， 所以平面， 当过的平面时，该平面平行于平面， 过作平面平面，交延长线于点，如图所示， 由图可知，平面与正方形无交点， 故不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，作出平面截得正方体的截面， 则， 所以， ， ， 所以，故D正确； 故选：ABD． 18．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（    ） A． B．四面体的体积为 C．当时，点的轨迹长度为 D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为 【答案】AC 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 【分析】根据线面的垂直可判断线线垂直，判断A；根据棱锥的体积公式可判断B；根据条件，确定轨迹的形状，结合圆的周长求得轨迹长度或范围，即可判断C，D. 【详解】对于A，依题意，可知， 设F为的中点，连接，则， 而平面，故平面， 平面，故，A正确； 对于B，将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为， 则，解得， 由于，即异面直线和的距离为，且平面，， 所以四面体的体积为，B错误； 对于C，由以上分析可知，四面体的外接球半径为， 由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为， 则，解得， 所以的轨迹长度为，C正确； 对于D，由题意可得, 故的外接圆半径为， 所以球心到所在平面的距离为， 设三棱锥的高为h， 由三棱锥的体积为时，可得， 故， 又由，故E点轨迹为外接球上平行于平面且到平面的距离为的两个截面圆， 其中一个圆为外接球的大圆， 所以点的轨迹长度大于，D错误， 故选：AC. 【点睛】难点点睛：本题考查了四面体中的线面以及线线的位置关系，以及体积和空间几何体中的轨迹问题，难点在于要发挥空间想象，明确空间几何体中的线线位置关系，特别是选项D中要明确E点轨迹，从而确定轨迹长度或其范围. 19．如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（   ） A．当时，异面直线与成角的余弦值是 B．当时，直线与平面成角的余弦值是 C．的最大值是 D．三棱锥体积的最大值是 【答案】ACD 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】连接，利用余弦定理即可判断A；证明平面，即可得到为直线与平面成角，即可判断B；取的中点，连接、，求出的最大值，即可判断C；过点作交于点，即可证明平面，再由锥体体积公式及C选项判断D. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，，所以； 对于A：当时，又，所以为等边三角形， 所以，连接，则，又， 所以为异面直线与成角，所以， 即异面直线与成角的余弦值是，故A正确； 对于B：当时，由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以，即，又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面成角，又，所以， 则，所以直线与平面成角的余弦值是，故B错误； 对于C：取的中点，连接、，则且， 又平面，所以平面，因为平面，所以， 由余弦定理，即， 所以，则，当且仅当时取等号， 因为，所以 ， 所以，又，所以， 所以的最大值是，故C正确； 对于D：过点作交于点，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又， 所以， 由C可知，所以，当且仅当时取最大值，故D正确. 故选：ACD 20．已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（   ） A．动点F的轨迹的长度为 B．三棱锥体积的取值范围为 C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【来源】山西省大同市名校联考2024-2025学年高三下学期4月模拟考试（二）数学试题 【分析】取的中点，连接，可得为的轨迹，求解可判断A；，可得在点M、处，体积最大或最小，求解可判断B；建立空间直角坐标系，直接求出外接球径，即可求出外接球球心，可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误； 对于B，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在点处时，最小， 此时， 最大时，最大，显然在点处时，最大， 此时，故B正确； 对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处， 如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为， 易知， 所以①，②， ③，④， 联立①②③④解得，，所以， 故外接球的表面积为，所以选项C正确；    对于D，因为是直角三角形， 所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确.    故选：BCD 21．如图，棱长为2的正方体．中，点P是棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则直线与直线所成角的最小值为 C．若且．，则点的轨迹长为 D．若动点M在平面上的投影为点与平面所成角与二面角大小相等，则直线与点N的轨迹相切 【答案】ACD 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】如图建系，空间向量计算判断A，根据异面直线所成角结合值域判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二面角定义结合直线和抛物线联立求解判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以，即， 所以，又， 所以， 当时，，所以，所以，故A正确； 点为的中点，其坐标为，点的坐标为， 向量，向量， 设直线PM与直线BC所成的角为， 又因为，当时，， 即直线PM与直线BC所成角的最小值为，故B错误； 由知， 设点为，则，化简得， 是以点为圆心，为半径的圆， 如图2所示，又因为，故点的轨迹为圆心角为的圆弧，轨迹长度为，故C正确； 如图3，过点作于点， 连接GN，NC，MG，MC，则MC与平面所成角为是二面角的平面角， 故，易证， 则，由抛物线的定义可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 如图4，以BC的中点建立平面直角坐标系xOy， 则点的轨迹方程为，直线为， 联立得，则直线与点的轨迹相切，故D正确． 故选：ACD. 22．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（   ） A．平面平面 B．当时，直线与平面所成角的余弦值为 C．当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为 D．当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理先证明平面，从而得到平面平面；对于B，用等体积法可求得点A到平面的距离，从而求得直线与平面所成角的正弦值，由同角三角函数关系式可求得直线与平面所成角的余弦值；对于C，分析点在三棱锥的表面上运动时，则点在各个侧面的运动轨迹，并求其长度的和即可判断；对于D，根据题意列得关于三棱锥的外接球半径的方程组，求解可得外接球半径，从而得到外接球的表面积. 【详解】由题可知，，所以. 由，得， 所以，所以. 折起如图2. 对于选项A，由图1知，菱形中， 图2中平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.所以选项A正确； 对于选项B，由题可知，是等边三角形， 取的中点E，连接，则，且. 因为平面， 所以平面， 又平面，所以. 所以. 因为，所以， 所以. 所以. 所以. 因为， 所以点A到平面的距离为. 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为.故选项B正确. 对于选项C，当二面角的大小为时，由选项A可知，. 因为，所以. 因为， 所以点C到平面的距离为，所以中，点运动轨迹为一个点； 点在三棱锥的侧面上运动，且时， 点运动轨迹分别为三棱锥的三个侧面上的三段圆弧. 中，，所以点运动轨迹长度为； 中，.所以， 所以，所以点运动轨迹长度大于； 同理中，， 所以，所以点运动轨迹长度大于； 所以点运动轨迹长度大于；所以选项C错误. 对于选项D，当二面角的余弦值为时，由选项A可知，. 所以，所以， 记棱的中点为F，则. 记三棱锥的外接球球心为T，因为O为的中点，且平面， 所以T在等腰三角形的中线上. 设三棱锥的外接球的半径为R， 则，解得. 所以三棱锥的外接球的表面积为.所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 23．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 【答案】/ 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】根据，结合向量数量积的运算法则，分别求出和的值，再利用，求解即可． 【详解】解：不妨设三棱柱的各条棱长均为2， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 且， 所以， 又异面直线夹角的取值范围为， 所以异面直线与所成角为． 故答案为：． 24．如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】利用几何体的特征可知，利用割补法求出即可得答案. 【详解】由题意可知，, 设正四面体的棱长为6，则下部分可以看作一个直棱柱两端截去两个体积相同的四棱锥和，如图， 由题可知，,,; 由直棱柱的性质可知,所以的高为，且为四棱锥的高； , 棱长为6的正四面体高为，其体积为. 所以，所以. 故答案为： 25．棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则 . 【答案】 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 【分析】由题可得，由，可得，从而可得，据此可得答案. 【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为， 所以，由题意可得，又由得，∴，∴ ∵，∴，∴ 在等边中，边上的高为. 因为，∴. 故答案为：. 26．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有 个，的所有可能取值构成的集合是 . 【答案】 7 【来源】广东省广州市外国语学校2024-2025学年高三下学期3月模拟测数学试题 【分析】分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数； 【详解】①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是； 故答案为：7； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $