专题08 数列大题综合（精选30题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题08 数列大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得成立的的最大值； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)45 (3) 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 【分析】（1）利用时结合已知等式得首项，再由代入等式，转化得到是等差数列，进而求出的通项. （2）由求出，再通过与的前项和关系得到的分段表达式，分和讨论的不等式，求解的最大值. （3）写出的分段形式，时对通项进行裂项相消拆分，再分和计算前项和. 【详解】（1）因为，所以，在中令，得.所以 当时，由及，得，所以. 又，所以是首项为3，公差为2的等差数列. .所以. （2）由（1）知（）. 当时，，满足上式，所以， 则（）. 当时，，不满足上式，所以 当时，，显然成立； 当时，有，所以， 又，所以的最大值为45. （3）设， 当时，， 当时， 所以 . 当时，上式也符合， 所以. 例题2．已知数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解； （2）由（1）求出，再由裂项法求和即可证明． 【详解】（1）由，则（n≥2）， 两式左右分别相减得，即． 得， 则，，…，，， 将以上个式子相乘得． 上式对仍成立，所以． （2）， ∴． 故命题得证． 例题3．数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可说明； （2）由（1）可知，从而得到，再由分组求和法及并项求和法计算可得. 【详解】（1）是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 例题4．已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . （3）由（2）可得， 则， 所以当时，当时， 即， 所以数列的最大项为； 例题5．若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解. 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 例题6．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列； （2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可. 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 例题7．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)第2分钟 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解. （2）根据给定条件，求出的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求得结果. （3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时， 猫在i号房间，老鼠在j号房间，则 ， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）依题意， 当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为； 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，而也满足上式， 则， 又， 所以以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知，显然不是其最大值， 设，当n为奇数时，， 当且仅当时取等号，最大值为0；当n为偶数且时，， 当时，，最大值为， 则的最大值为,所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. 例题8．已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）证明见解析. 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】（1）利用的关系消去得到之间的递推关系后求解； （2）（i）利用组合数的性质，利用倒序相加法处理；（ii）先求出的表达式，然后利用放缩法进行证明. 【详解】（1）由，得， 当时，由，得， 整理得， 又因为，， 又因为 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 故数列的通项公式为． （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得 故数列的通项公式为； 所以 又 将以上两式相减得 所以． （ⅱ）由题， 数列满足， 即， 则， 所以， 两式相减得 所以， 当时，，所以． 【点睛】关键点睛：求解出通项公式是研究数列其他性质的前提，本题多次考到数列和其前项和的关系，常见的处理方法是消去，得出新的递推关系，从而进行化简整理. 例题9．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且． (1)用表示； (2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】（1）求导函数，将切点横坐标代入，得切线的斜率，写出切线方程并计算其与x轴交点的横坐标，写出即可. （2）由与的关系，得与的关系，证明数列成等比，先写出的通项公式，再利用写出的通项公式即可. 【详解】（1）因为，所以， 则曲线在点处的切线方程为， 将点代入方程，得， 因为为正实数，所以为正实数，. （2）因为，所以， ，由题意得， 则，而， 则，故为公比为的等比数列，且， 得到，故， 两边取指数得到，解得. 例题10．若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 【答案】(1)与为“2级相邻数列”；理由见解析 (2)； (3)3470 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 【分析】（1）根据数列通项公式的关系，先求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，从而确定的通项公式.利用累加法，得到的通项公式，同样检验时是否满足.最后根据“2级相邻数列”的定义，计算的表达式，通过分析该表达式与的大小关系，判断与是否为“2级相邻数列”. （2）由，通过移项得到关于的不等式.设，通过分析与的大小关系判断的单调性，进而求出的最值， 由此得到的取值范围和的取值范围，从而确定的取值范围. （3）根据条件集合有，，，，，共6种不同的情况，每种情况下考虑数列的不同情况，并对应研究数列的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的数列的组数. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，也成立，所以， 所以， 所以， 所以， 所以与是“2级相邻数列” （2）已知，化简可得. 设，则. 因为，所以，（当时取等号）， 所以单调递减，所以的最大值为， 所以， 所以，， 所以，即的取值范围为. （3）已知， 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”， 因为与为“1级相邻数列”，所以， 当时，有2种不同选择；时，，有3种不同选择； 时，有3种不同选择，时，有2中不同选择． 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素， 所以有，，，，，共6种不同的情况． 当时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）． 1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列， 3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有，，种不同的清况， 总共个不同的数列； 同样，，时也各贡献528个不同的数列； 时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列）， 总共个不同的数列； 时，总共个不同的数列； 共计有个不同的数列组； 即满足条件的数列组的个数为3470． 百强名校-必刷真题精练 1．已知数列满足：，设 (1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】（1）由，即可求证，进而可求通项公式； （2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1） 即 所以数列为等差数列，首项为1，公差为2. ∴， ∴， （2） 2．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 3．已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）由可得出，两式作差推导出，然后利用初值可求得数列的通项公式； （2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立； 【详解】（1）因为，进而，两式作差可得： ，即， 所以为常数列， 又，则，故数列的通项公式为． （2）由（1），则，其中，8，…，， 结合等比数列求和公式，有： ， 当时，， 综上所述，. 4．已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【详解】（1）由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2）由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 5．已知函数为数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】广东省部分学校2026届高三八月份联考数学试题 【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解； （2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案 【详解】（1）由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， 的通项公式为； （2）证：， ， 又， 故. 6．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1)， (2)，和. 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 【分析】（1）解方程组求出等比数列公比，即可求得；继而可求出等差数列的首项，即可求得的通项公式； （2）结合（1）可得数列的通项公式，利用作差法可判断数列单调性，即可求得答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， ，， 可知,故，解得，故， 又数列是公差为1的等差数列，且， 故，即，解得， 故； （2）由于，则， 则， 当时，，当时，，即， 故数列的最小值为，此时和. 7．已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1)，，证明见解析 (2)1，2，3，4. 【来源】福建省莆田市第一中学2025届高三下学期5月适应性考试数学试题 【分析】（1）利用递推关系来证明等比数列即可； （2）利用通项公式可求等比数列前项和，然后通过赋值结合单调性可作出判断. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 8．已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. (1)求的值; (2)求满足的最小自然数的值. 【答案】(1)， (2) 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值； （2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值. 【详解】（1）解：设数列的公差为， 因为成等比数列，且，所以， 即，即，解得，所以， 又因为， 当时，集合，所以集合中元素的个数； 当时，集合，所以集合中元素的个数； （2）解：由集合 的元素个数为， 结合（1）可得， 所以， 当时，可得； 当时，可得， 又由， 所以数列为单调递增数列，所以的最小值是. 9．已知数列满足：，且． (1)求的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】（1）由题设有，即知为等差数列，进而求其公差，再写出其通项公式； （2）根据题意有，可得，则，再应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求和. 【详解】（1）由，即，则为等差数列， 又，则数列的公差为，故. （2）由题设，则， 故， 所以，记， 所以， 两式相减，得， 所以， 所以. 10．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和． 【答案】(1)， (2)11522 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项； （2）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可． 【详解】（1）由 得： ∵ 则是首项，公差为2的等差数列，∴， 又当时，得， 当，由…① …② 由①－②整理得：， ∵，∴，∴， ∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故； （2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项． 由，（）得：， ∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，； ∴． 11．已知数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 【分析】（1）借助与的关系计算可得，再利用等比数列定义计算即可得； （2）由题意可得，数列的其余项为1，则可借助分组求和计算即可得解. 【详解】（1）由，得， 则，即， 又，满足，所以， 所以是首项是，公比为的等比数列，故； （2）由题知，数列的其余项为1， 则 . 12．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． (1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【答案】(1)分布列见解析，1 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 【来源】广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题 【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望； （2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证为等比数列，可得，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解. 【详解】（1）X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确的概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ；， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； （2）（ⅰ），， 由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （ⅱ）根据（ⅰ）可知，①， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， 令②－①可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故， 所以， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则，找出累计得分分与分，分之间的概率递推关系，从而得到与，的关系式. 13．已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． (1)若数列：，求数列和； (2)设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； (3)当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】（1）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案； （2）根据题设中新的变换，得到仍为递增数列，进而得到仍为递增数列，证得仍为递增数列，以此类推，对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列； （3）设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，得到，得到数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，分情况讨论，即可得证. 【详解】（1）解：由题意得，数列，数列， 故数列． （2）证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列； 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，很，故仍为递增数列： 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列． 综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列． 以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列． （3）解：记数列：中去除等于0的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为0的项后得到的数列为． 设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对， 则． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即； 若与异号，则或； 若与中有0，则一定不与异号，故． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则； 若与异号，有以下三种情况： ①若与同号，显然也与异号，则； ②若与异号，则； ③若与中有0，只有一个0， 不妨设，则与异号，故，或，或． 若与同为0，则； 若，，不妨设，则与同号，故； 若，，不妨设，则与异号，故或； 对进行变换与进行变换类似． 综上，对进行一次变换后，． 以此类推，对进行2025次变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且． 在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变， 则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号， 故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对． 所以对进行2025次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变， 即． 14．若数列满足：对任意的且则称为“关联数列”，定义 (1)若数列为“关联数列”，求的值； (2)若数列为“关联数列”，且从中任取3项，记这3项的和为X，求X的分布列和数学期望； (3)若数列为“关联数列”，数列满足且求的最大值. 【答案】(1)-10；10 (2)分布列见解析， (3)5 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】（1）根据已知条件且，得出与异号，进而利用和的定义式分别求出与. （2）由“关联数列”性质及，推出中和的个数.确定随机变量的可能取值，通过组合数公式计算各取值的概率，得到分布列，再依据数学期望公式求出. （3）由求出中符号相同与相反的组数，结合符号相反，得到符号相同与相反的组数，算出.考虑使最大的情况，即后面项都取，求出的最大值. 【详解】（1）由题意易得，且，所以 （2）由数列为“关联数列”，可得 ， 若，则， 若，则， 中有5个，3个. 由题意可得X的所有可能取值为 所以X 的分布列为 X -3 -1 1 3 P 数学期望. （3）由（1）可得，即 中有 4组符号相同，6 组符号相反， 因为符号相反，所以有 6 组符号相同，4 组符号相反， 当符号相同时，， 当符号相反时，， 的最大值为5. 15．存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】（1）根据新定义再作差得，再证明其他情况也满足等比数列即可； （2）①计算得，再利用错位相减法即可得到答案； ②令，作差得到其单调性，则有，再利用等比数列求和公式和放缩法即可证明. 【详解】（1）因为数列同时满足性质， 所以当时，， 当时，， 当时，由得：， 将式代入式得：， 所以， 又因为，所以； 取，得； 所以当时，数列为等比数列. 设， 将代入式得，所以； 将代入式得，所以； 所以对任意的，数列为等比数列. （2）①因为，所以，所以， . 当时，，所以为等差数列， 得到：， 所以， 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. ②， 理由如下：令， 所以数列单调递减，所以， 所以 . 16．将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数． (2)（i），，；（ii）. 【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题 【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置； （2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到； （ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项. 【详解】（1）设，因为， ， 所以， 所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数， 所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项， 所以，，故， 所以，是数阵第4行，第3097个数． （2）（i）当时，显然． 当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉． 故． 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个． 故． （ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法， 但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个． 综上，由加法原理知． 设， 所以，，即， 解得， 所以，是首项为，公比为的等比数列； 是首项为，公比为的等比数列； 所以，， ， 所以，当时，， 经检验，当时，也成立 当时，也成立． 综上，． 17．已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【详解】（1）由，，则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以， 所以； （ii）当时，，与矛盾，所以， 当时，，与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 18．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点. （2）（i）利用导数求出函数的极值点，再求出并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）函数， 求导得， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以. （2）（i）函数，求导得 ，其中， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 则函数在上递增， 在上递减， 又，则， ，， 且，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，则只需证，即证，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 19．差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”. (1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由； (2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由； (3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)不是“绝对差异数列”， 是“累差不变数列”，理由见解析 (2)都是等差数列，理由见解析 (3) 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 【分析】（1）根据“绝对差异数列”和“累差不变数列”的定义判断即可； （2）分别求出数列的通项，再根据等差数列的定义即可得出结论； （3）根据等差数列的性质以及新定义求解出，运用基本不等式求解出的范围，从而得出的最值. 【详解】（1）对于数列， 可得：一阶差分数列为，不满足， 所以不是“绝对差异数列”， 二阶分差数列为，满足， 所以是“累差不变数列”； （2）因为， 所以，所以， 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因为， 所以数列数列是首项为，公差为的等差数列； （3）由题意得， 对，都有， 所以， 所以， 所以，所以数列是等差数列， 设数列的公差为，则， 当时，，与矛盾； 当时，当时，， 与数列的各项均为正数矛盾，故， ， 则， ， 因为，所以， 所以， 则当时，不等式恒成立， 另一方面，当时，令， 则， ， 则 ， 因为， 所以当时，， 即有，与恒成立矛盾. 综上所述，实数的最大值为. 【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题，关于新定义问题的常见思路为： （1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等； （2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用； （3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类讨论的时机. 20．设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. (3)证明见解析；. 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）根据伴随数列的定义求解； （2）（i）利用证明；（ii）根据伴随数列的定义求； （3）根据伴随数列的定义证明数列的伴随数列为数列，然后由已知数列的伴随数列的通项公式构造出，通过反函数得出通项公式． 【详解】（1）根据定义，有： ， 即． （2）（i）的证明：注意到：，故，反之有．而且，进而且， 即． （ii）的证明：根据定义和已知条件，数列和数列均为整数数列．考虑数列的伴随数列：，即数列的伴随数列就是数列． （3）由（2）中（ii）的证明可知：只需证明数列的伴随数列为数列． 设，由定义有，即， 进而有， 由（2）中（i）的证明可知，这等价于， 即．故数列与数列互为伴随数列． 记数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，…为， 易见数列的伴随数列的通项公式为， 记函数，则其反函数为：， 由（3）中所证明结论可知数列的通项公式为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数列大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得成立的的最大值； (3)求数列的前项和. 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 例题2．已知数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：． 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 例题3．数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 例题4．已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 例题5．若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 例题6．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 例题7．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 例题8．已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 例题9．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且． (1)用表示； (2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 例题10．若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 百强名校-必刷真题精练 1．已知数列满足：，设 (1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 2．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 3．已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 4．已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 5．已知函数为数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【来源】广东省部分学校2026届高三八月份联考数学试题 6．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的最小值及取得最小值时的值． 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 7．已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【来源】福建省莆田市第一中学2025届高三下学期5月适应性考试数学试题 8．已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. (1)求的值; (2)求满足的最小自然数的值. 【来源】湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷 9．已知数列满足：，且． (1)求的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 10．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和． 【来源】广东省中山市中山纪念中学2025届高三考前最后一卷数学试题 11．已知数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 12．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． (1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【来源】广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题 13．已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． (1)若数列：，求数列和； (2)设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； (3)当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 14．若数列满足：对任意的且则称为“关联数列”，定义 (1)若数列为“关联数列”，求的值； (2)若数列为“关联数列”，且从中任取3项，记这3项的和为X，求X的分布列和数学期望； (3)若数列为“关联数列”，数列满足且求的最大值. 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 15．存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 16．将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【来源】山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题 17．已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 18．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 19．差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”. (1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由； (2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由； (3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值. 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 20．设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列． (1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）； (2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质： （i）； （ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列： (3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $