专题07 数列小题综合（精选30题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题07 数列小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】A 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件及等比数列通项公式求出，再由求和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，显然， 由，即， 则，解得， 所以. 故选：A 例题2．已知是等比数列，则“，，”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 【分析】利用等比递增数列的定义判断即可. 【详解】（1）充分性证明：设数列的公比为q, 由，得， 当时，，则或，当时，显然是递增数列， 当时，则数列为摆动数列不能保证对任意正整数n使得（舍去）， 同理当时，，当时，显然是递增数列， 当，为摆动数列不能保证对任意正整数n使得（舍去）， 故充分性成立. （2）必要性证明：若是递增数列，则从第二项开始，每一项都比它的前一项大， 所以，，故，由上两个式子可得，，必要性成立. 故选：C 例题3．已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 例题4．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】由表达式及得到，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 例题5．（多选）已知等差数列满足，前项和，则（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的公差为 C．数列的前项和为 D．数列的前22项和为 【答案】BCD 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】通过基本量计算得和d，可判断ABC；用裂项相消法求和可判断D. 【详解】由题知，，解得，则，，故A错，BC正确； 记的前n项和为，因为， 所以 所以，故D正确. 故选：BCD 例题6．（多选）记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【来源】山东省青岛市、淄博市2024-2025学年高三下学期第二次适应性检测数学试题 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 例题7．（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是递减数列 B．数列可以是等比数列 C． D． 【答案】ACD 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 【分析】根据已知条件求得，数列是递减数列判断A、C，假设是等比数列，求得矛盾判断B，化为，利用累加法判断D. 【详解】因为，整理有，又，由此可得， 对于A选项，因为，所以数列为递减数列，所以A正确； 对于B选项，若是等比数列，则由可知为定值， 又因为，所以，所以，即， 与矛盾，所以数列不可以是等比数列，所以B错误； 对于C，因为，且为递减数列，又，所以， 所以C正确； 对于D，由，，两边取倒数有， 整理有：， 即，，，， 累加得： ， 即，又，所以， 整理得：，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于对已知条件变形、分析，得到数列的性质. 例题8．数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 . 【答案】/1.75 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 【分析】由条件求数列的通项公式，再研究数列的单调性，由此确定其最大项. 【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为： ，该数列为首项为1，公差为的等差数列， 所以， 所以 因为 所以当时，，即， 又， 所以数列的最大项为第二项，其值为. 故答案为：. 例题9．设是数列的前项和，，则 （1） ； （2） ． 【答案】 /0.03125 / 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】根据给定条件，按为奇数和偶数分别变形给定的递推公式，求出并结合求解即可. 【详解】数列中，由，得， 即，又，即， 因此，；. 故答案为：； 例题10．对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】利用裂项求和法可求出，求出的取值范围，结合有界数列的定义可得出实数的取值范围. 【详解】因为， 所以 ， 因为，故数列为递增数列，故，故， 因为为有界数列，则，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】由等差数列前项和公式列方程组求得和公差后可得结果. 【详解】设等差数列首项为，公差为， 由，， 则，解得 则. 故选：C. 2．设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】山西省2025届高三下学期考前适应性测试启航（一模）数学试题 【分析】当为奇数时，，由此公式可得，，进而可得. 【详解】，，解得． 故选: 3．已知数列满足，，则此数列前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，计算出、的值，结合数列的周期性可求得数列的前项的和. 【详解】由，得， 所以，， 故数列是以为周期的周期数列， 又，，且， 则此数列前项的和． 故选：D. 4．数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和. 【详解】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 5．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得. 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 6．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】利用基本量先计算公差和，进而得和，由解得的范围，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为，又，所以， 由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得， 所以， 所以， 由有，即， 解得， 所以使成立的的最大值是， 故选：C. 7．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】用定义法进行判断. 【详解】充分性：若，，此时，而，满足，即存在，使得，但是不成立.故充分性不成立； 必要性：若，则，此时.故必要性满足. 故选：B 8．已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 【答案】C 【来源】北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模考试数学试题 【分析】当时，得到，当时，得到，数列不能构成等比数列，可判定A错误；当时，求得，可判定B错误；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，求得，可判定C正确；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简求得，这与矛盾，可判定D错误. 【详解】对于A中，若，可得，即， 当且时，两边取对数，可得，即， 此时数列表示首项为，公比为的等比数列； 当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误； 对于B中，当时，可得，即， 例如：当时，由，可得， 又由，可得，此时， 所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误； 对于C中，若数列为常数列，则， 因为，即， 又因为，所以， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且， 因为，可得，所以， 则，即， 又因为数列的各项均为正数，即， 所以，即，这与矛盾， 所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误. 故选：C. 9．已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则. 故选：A 10．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前项和公式推理判断即得.. 【详解】因为是等比数列，由可得: ， 故“公比”是“是和有界数列”的充分条件； 反之，若取，则，即此时是和有界数列， 故“公比”不是“是和有界数列”的必要条件. 故选：A. 11．在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足： ①，且； ②，有． 则该数表中的10个数之和的最小值为（    ） A．26 B．22 C．20 D．0 【答案】B 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】根据给定的信息，确定第一行各数取的最小值，第二行各数取的最小值，再求和即可得总和最小值. 【详解】由，且，不妨令，则， 由，，得，同时成立， 同时成立，同时成立， 则，； 由，，得，同时成立， 同时成立，同时成立， 则，， 因此， 所以该数表中的10个数之和的最小值为22. 故选：B 二、多选题 12．已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 【分析】根据给定条件结合等差数列性质求出公差d，再逐项分析计算作答. 【详解】在等差数列中，，解得，而，则，B正确； 于是得公差，A正确； ，则，C不正确；，D正确. 故选：ABD 13．已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 【解析】根据条件即可求出等比数列的首项和公差，然后依次判断每个选项正误即可. 【详解】公比q为正数，且，，， 又，解得，. ，，， ∴数列是公比为2的等比数列.，故ABC正确， ，数列是公差为的等差数列，故D错误. 故选：ABC. 14．已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A． B． C． D．是等比数列 【答案】ACD 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 【分析】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案. 【详解】设的公比为，则由递增，得， 因为，所以， 解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 又， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD. 15．已知各项均不为零的数列，其前项和是，且. 下列说法正确的是（    ） A． B．若为递增数列，则的取值范围是 C．存在实数，使得为等比数列 D．，使得当时，总有 【答案】ABD 【来源】河南省马店市重点高中联考2024-2025学年高三下学期第三次考试（3月月考）数学试题 【分析】赋值法计算判断A，先应用计算化简得出数列分奇偶得出等差数列，再分类求出通项即可判断B，C，再结合指数运算判断D. 【详解】由得， 相减可得，， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于A，，，故正确； 对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以， 若，则需要，则，故正确， 对于C，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误， 对于D，若，只要足够大，一定会有 ， 则，只要足够的大， 趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故选：ABD. 16．对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列.设是数列的前n项和，则下列结论正确的是（   ） A．首项为1，公比为的等比数列是数列 B．若数列是数列，则数列是数列 C．若数列是数列，则数列是数列 D．若数列是数列，数列是数列 【答案】ACD 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】对于A由题设，根据数列及等比数列前n项和公式判断数列性质判断即可；对于B，设，由数列性质判断即可；对于C由数列性质判断及和的关系判断即可；对于D，由数列是数列可得存在，对任意的，有，再由，记，进而结合数列性质判断即可. 【详解】对于A：由题意，设，则，， 因此 ，故是数列，故A正确； 对于B：设，则，易知数列是数列， 而此时，所以， 由的任意性，知数列不是数列，故B错误； 对于C：若数列是数列，则存在， 对任意的，有， 即， 所以， 所以数列为数列，故C正确； 对于D：若数列是数列，则存在， 对任意的，有， 因为 ， 记， 则有， 因此. 故数列是数列，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 17．已知等差数列 的前n项和为 若 则 【答案】30 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】根据题意可求出，进而可求 【详解】由题意 则 所以 故答案为：30 18．若数列满足，则 ． 【答案】121 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】根据递推关系可得，所以，计算得解. 【详解】由题意可得，作差得， 故 故答案为：121. 19．若数列满足，，则的前2025项的和为 ． 【答案】1013 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】利用分组并项求和，对为偶数时进行分组计算即可. 【详解】易知当为偶数时，可得，即； 所以可知的前2025项的和. 故答案为：1013 20．数列满足，则的前100项和 ． 【答案】 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解. 【详解】， ①当为偶数时， ，，， ，， … ， . ②当为奇数时， ，， ， ，，…，， ， 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．9 C． D． 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 例题2．已知是等比数列，则“，，”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 例题3．已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 例题4．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 例题5．（多选）已知等差数列满足，前项和，则（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的公差为 C．数列的前项和为 D．数列的前22项和为 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 例题6．（多选）记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 【来源】山东省青岛市、淄博市2024-2025学年高三下学期第二次适应性检测数学试题 例题7．（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是递减数列 B．数列可以是等比数列 C． D． 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 例题8．数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 . 【来源】山东省实验中学2025届高三第二次模拟考试数学试题 例题9．设是数列的前项和，，则 （1） ； （2） ． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 例题10．对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围是 . 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 2．设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【来源】山西省2025届高三下学期考前适应性测试启航（一模）数学试题 3．已知数列满足，，则此数列前项的和为（   ） A． B． C． D． 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 4．数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 5．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 6．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 7．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 8．已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 【来源】北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模考试数学试题 9．已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 10．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 11．在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足： ①，且； ②，有． 则该数表中的10个数之和的最小值为（    ） A．26 B．22 C．20 D．0 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 二、多选题 12．已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 13．已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷 14．已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A． B． C． D．是等比数列 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 15．已知各项均不为零的数列，其前项和是，且. 下列说法正确的是（    ） A． B．若为递增数列，则的取值范围是 C．存在实数，使得为等比数列 D．，使得当时，总有 【来源】河南省马店市重点高中联考2024-2025学年高三下学期第三次考试（3月月考）数学试题 16．对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列.设是数列的前n项和，则下列结论正确的是（   ） A．首项为1，公比为的等比数列是数列 B．若数列是数列，则数列是数列 C．若数列是数列，则数列是数列 D．若数列是数列，数列是数列 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 三、填空题 17．已知等差数列 的前n项和为 若 则 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 18．若数列满足，则 ． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 19．若数列满足，，则的前2025项的和为 ． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 20．数列满足，则的前100项和 ． 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $