专题05 三角函数、恒等变换与解三角形小题综合（精选50题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题05 三角函数、恒等变换与解三角形小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】由在区间上的单调性可排除ABD，根据函数的周期性和在区间上的单调性即可确定C正确. 【详解】对于A：当时，，函数在上显然单调递增，故A错误； 对于B：当时，，则在上显然单调递增，故B错误 ； 对于D：时，，则，.该函数在单调递增，故D错误； 对于C：时，，则在上单调递减，且为最小正周期是的周期函数，故C正确. 故选：C. 例题2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学试卷 【分析】根据同角关系，两角差正弦公式化简可得，由此可求，由配方，结合平方关系可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 例题3．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】利用三角函数的定义求出，再结合诱导公式可得. 【详解】由题意可得，， 则，解得（舍去）. 故选：B 例题4．已知函数的一条对称轴为，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 【分析】先根据对称轴确定函数的解析式，再利用，借助正弦函数的最值求出的值，即可求出的最小值. 【详解】（其中）， 由题意知的一条对称轴为，所以， 即，所以， 解得，所以原式. 因为，即， 不妨令， 所以，， 即，， 所以. 所以当时，取到最小值. 故选：C 例题5．（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得，     由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确；     对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 例题6．（多选）已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】利用同角公式，两角和差公式，结合角的范围和变角思想：来求解即可. 【详解】由，，所以，即，故A错误； 由于，所以，则有， 即，故B正确； 因为，，所以， 又因为，所以，故C错误； 由 ， 因为，，所以， 则，故D正确； 故选：BD. 例题7．（多选）已知，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上是单调函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】BCD 【来源】江苏省沭阳高级中学2024-2025学年高三下学期期初调研测试数学试卷 【分析】对于A：整理可得，即可得最小正周期；对于B：整理可得，结合复合函数单调性分析判断；对于C：根据对称性定义分析判断；对于D：分析易得是函数的一个周期，进而结合导数求解值域. 【详解】因为. 对于A，因为 ， 所以的最小正周期为，故A错误； 对于B，因为， 令，可得，其图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且在内单调递增， 所以在上是单调函数，故B正确； 对于C，， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，因为， 所以函数为周期函数，且是函数的一个周期， 只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域， 由， 则， 当时，，故， 此时，函数在上单调递增， 当时，，， 此时，函数在上单调递减， 所以当时，， 又因为，则， 则函数的值域为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于先得到是函数的一个周期，进而结合导数分析函数在上的值域，即为函数在上的值域，进而求解即可. 例题8．已知，，则 . 【答案】 【来源】山东省聊城市2025-2026学年高三上学期期中教学质量检测数学试题 【分析】由题意得，根据同角三角函数的关系，可得和的值，代入两角差的余弦公式，即可求得答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 例题9．在中，若，则的最大值为 . 【答案】 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 【分析】依题意，，化简得，令，则，构造函数，借助导数求出最大值，进而得到答案. 【详解】因为，即，即， 即，即， 两边同时除以，得， 即， 令，，则， 则， 令，则， 令，则或， 当时，，所以在上单调递增， 当或时，，所以在上单调递减， 所以当时，，当时，， 所以的最大值为, 故答案为：. 例题10．记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则 ；的最小值为 . 【答案】 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合题中关系可得，即可分析最值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又因为， ， 即， 可得， 且，则，可得， 则， 且，所以； 因为， 由正弦定理可得， 由题意可知：， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以转化为的表达式，代入求解即可. 【详解】因为，分子分母同除， ， 故选：D. 2．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】先判断，再得到加减运算和开算术平方根不影响周期性，最后利用正弦函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由正弦函数的最小正周期公式得的最小正周期为， 由正弦函数性质得，故加减运算和开算术平方根不影响周期性， 则函数的最小正周期是，故B正确. 故选：B 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 【分析】先利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确. 故选：B 4．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质求解. 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的最小正周期为. 故选：B. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】由求得和得代入的展开式即得结果. 【详解】由得① 由，得，即② 所以，， 所以. 故选：C. 6．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第二次质量预测数学试题 【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数. 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 7．对于锐角，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】由三角函数的二倍角公式化简已知条件可得，再利用同角三角函数的关系以及角范围，即可求解的值. 【详解】 根据二倍角公式可得：， 化简得. 因为是锐角，所以，则， 等式两边同时除以可得： ①， 又因为②， 联立方程组①②可得：，解得 因为，所以， 则， 故选：B. 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故选：A. 9．在钝角中，内角的对边分别为，且最大角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】由题意可得，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意可知：，则， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 10．在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理可得余弦值，进而利用同角三角函数关系求解正弦值，由面积公式即可求解. 【详解】由以及正弦定理可得，设， 由余弦定理可得, 由于 则，解得， 又最小的边长为，故， 故选：B 11．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】利用图象求出函数解析式，代入再结合诱导公式计算可得结果. 【详解】根据图象可知，即，解得； 又，即， 解得，又，因此； 所以， 因此. 故选：B 12．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省南充市阆中市阆中中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【分析】由平分，即，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为平分，所以， 又，所以， 即. 故选：B. 13．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（   ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2026届高三上学期三模数学试题 【分析】根据题中公式，结合正切两角差的公式进行求解即可. 【详解】由题意，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍， 又标杆在地面上的影长与表高满足关系：， 所以， 又因为第二次测量时太阳天顶距为，且满足， 解得， 则第二次测量时影长， 即第二次测量时影长是表高的1倍. 故选：A. 14．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【来源】湖北省十一校2024-2025学年高三第二次联考数学试卷 【分析】首先根据辅助角公式，化简函数的解析式，根据周期求，利用代入法判断选项. 【详解】因为. 因为函数的最小正周期为，且，所以，故A错误； 因为，所以， 所以是函数的一条对称轴，不是函数的对称中心.故B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数，不是奇函数，故C错误； 当时，，因为在递增，由复合函数单调性法则知在区间上单调递增，故D正确. 故选：D 15．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 16．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 17．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】由辅助角公式将方程转化成，再结合正弦函数图像及对称性求解即可. 【详解】， 则，即， 即 ∵，∴ 令，则, 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，与共有5个交点， 所以： 其中， 即，， 解得， 所以. 故选：C 18．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，它们的终边分别与单位圆交于点，设线段的中点的纵坐标为，若，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题 【分析】由题意可得，，得用中点坐标公式可求得，结合已知可得，利用利用，可求结论. 【详解】由题意可得，， 则， 由可得， . 故选：B. 19．已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（   ） A． B． C．36 D．27 【答案】D 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】根据求出，再根据余弦定理求出，再根据面积公式求解. 【详解】因为，且，所以， 由余弦定理得：， 即即，即， 所以， 所以的面积为. 故选：D. 20．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代k数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以O为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 【分析】根据图形写出的正弦和余弦值，然后验证各选项等式． 【详解】是矩形，则，又，，则， 而，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得平面，而平面，因此，又，所以， 于是，，，，，， ，，其中，， 因为，，， 所以，，故A、B不正确； 因为，故C不正确，D正确. 故选：D. 21．在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市第十一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【分析】先根据已知条件求出，再根据与的关系得出，进而求出，最后利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】根据三角函数的定义可得：， 因为把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度后得到， 所以， 所以， 因为角终边与单位圆交点的纵坐标是， 所以角的终边在第一象限或第二象限， 所以，即， 当时， 所以， 当时，所以， 综上所述，， 故选：B. 22．如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【答案】D 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D. 【详解】对于AB，当时，，，AB错误； 对于C，，C错误； 对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称， 则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确. 故选：D 二、多选题 23．已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】直接代入计算可判断A；根据正切函数周期性可判断B；根据正切函数的对称性，整体代入求解可判断C；利用正切函数单调性解表示可判断D. 【详解】对A，，A正确； 对B，的最小正周期，B错误； 对C，由得， 所以图象的对称中心为，C正确； 对D，由得， 所以，解得，D正确. 故选：ACD 24．对于函数和，下列正确的有（    ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BCD 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】求出两函数的零点判断A；根据最大值判断B；求出两函数的最小正周期判断C；求出两函数的对称轴判断D. 【详解】令，解得：；令，解得：； 所以与零点不相同，故A错误； 与有相同最大值1，故B正确； 与与的最小正周期都是， 所以函数和最小正周期都为，故C正确； 与有相同的对称轴为，故D正确. 故选：BCD. 25．已知曲线，则以下结论正确的是（    ） A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性 C．曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D．曲线与圆有公共点 【答案】BCD 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】根据正弦函数值域判断A，根据周期性及对称性定义判断B，C，应用特殊点判断D. 【详解】曲线，则，A选项错误； 当，则曲线，， 所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确； 代入曲线成立，所以曲线关于轴成轴对称图形， 代入曲线成立，所以曲线关于对称图形， 所以曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 曲线，与圆有公共点，D选项正确； 故选：BCD. 26．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以．则（   ） A．crd B．若，则 C． D．crd 【答案】AC 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】根据所给定义即可结合选项逐一求解. 【详解】因为，所以， 对于A，圆心角所对弦长为，故A正确，‘’ 对于B，若，则，故，B错误， 对于C，圆心角所对的弦长为，故，C正确， 对于D，根据三角形两边之和大于第三边可知：所对的弦长之和大于所对的弦长， 所以，（），故D错误， 故选：AC 27．在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A．可以是钝角三角形 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】对A，由，利用三角恒等变换化简可得，结合分析得解；对B，由，可得，结合角的范围求解；对C，由，得，结合求解判断；对D，由题可得必是锐角三角形，问题转化即证，即证. 【详解】对于A， ， 即， 所以 所以， 即得，即， 因为，所以， 故，则， 所以， 故为直角三角形，故A错误； 对于B，由，则，所以， 由于，故，故B正确； 对于C，由，则， 所以， 其中， 又， 故，故C正确； 对于D，，所以必是锐角三角形， 即证， 又，即证，即，成立，故D正确. 故选：BCD. 28．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（     ） A． B．角的最大值为 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C由已知有得，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于D令代入 有，由三角不等式有，解出的范围，又，利用二次函数即可求解，进而判断D. 【详解】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确； 对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角的最大值为，故B正确； 对于C：由有， 所以， 所以， 即，与题干不符，故C错误； 对于D：令代入 有，由有 得解得， 所以，由， 所以 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 29．两位同学在研究三角形时，分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”，你认为这两位同学的刻画方式更合适的是 ，请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式 . 【答案】 三角形的周长 三角形最长边的长度（或三角形三条中线的长度和、三角形三个顶点到内心的距离之和，答案合理即可） 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 【分析】分析三角形面积和周长随着顶点集中程度的变化情况，言之有理即可. 【详解】当顶点分散时，三角形面积和周长增大；当顶点集中时，三角形面积和周长减小. 但极限情况下，若三点共线，面积为0，而周长不为0，故三角形的周长更适合刻画三角形三个顶点的“集中程度”. 同理，三角形最长边的长度、三角形三条中线的长度和或三角形三个顶点到内心的距离之和等均可作为刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式. 故答案为：三角形的周长；三角形最长边的长度（或三角形三条中线的长度和、三角形三个顶点到内心的距离之和，答案合理即可）. 30．已知，则 . 【答案】 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】以为整体，利用诱导公式可得，再根据倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为 由 . 故答案为：. 31．函数的最小正周期为 ． 【答案】 【来源】2025届湖北省襄阳随州八校高三三模联考数学试题 【分析】利用周期函数的定义，结合正弦函数的周期求出的周期，再作出函数图象求得最小正周期. 【详解】函数的定义域为R， ，是函数的周期， ，作出的图象，如图， 观察图象得，是函数的最小正周期. 故答案为： 32．已知是第一象限角，且，则 . 【答案】 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】由题意可得，即， 因为是第一象限角，所以，，， 所以，， 所以， 故答案为： 33．已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则 . 【答案】 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 【分析】由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 34．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 【答案】 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围. 【详解】在锐角中，由，有， 法一：有余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，故，所以的取值范围为. 故答案为：. 35．若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 36．在中，，则边的长为 . 【答案】 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】由正弦定理、平方关系及已知得、，则有，再由余弦定理列方程求. 【详解】由正弦定理可知：，所以，又， 所以， 又，所以， 故， 由余弦定理可得：，则（负值舍）. 故答案为： 37．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 【答案】 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题 【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得． 【详解】依题意，， 由是偶函数，得，， 而，则． 故答案为：． 38．在中，的面积为，且，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可. 【详解】设，则， 由，得， 由余弦定理得， 令，则， 即（其中）， 所以，即， 得，解得或，即或（舍去）， 解得或（舍去），所以的最小值为. 故答案为： 39．已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ． 【答案】 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，结合柯西不等式进而可求解. 【详解】设， 易知为的重心， 又，由重心为中线三等分点可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，求其最小值即可， 上式化简可得：， 也即当且仅当时取得等号， 所以， 故答案为： 40．锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】由题意得，结合正弦定理得，根据是锐角三角形求出的取值范围，通过换元法即可求解. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 即， 因为，所以，， 所以，故或（舍），即， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 令，     则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数、恒等变换与解三角形小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 例题2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【来源】安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学试卷 例题3．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 例题4．已知函数的一条对称轴为，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 例题5．（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 例题6．（多选）已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 例题7．（多选）已知，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上是单调函数 C．的图象关于直线对称 D． 【来源】江苏省沭阳高级中学2024-2025学年高三下学期期初调研测试数学试卷 例题8．已知，，则 . 【来源】山东省聊城市2025-2026学年高三上学期期中教学质量检测数学试题 例题9．在中，若，则的最大值为 . 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 例题10．记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则 ；的最小值为 . 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 2．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 4．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 6．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【来源】河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第二次质量预测数学试题 7．对于锐角，满足，则（   ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 9．在钝角中，内角的对边分别为，且最大角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 10．在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 11．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 12．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【来源】四川省南充市阆中市阆中中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 13．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（   ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2026届高三上学期三模数学试题 14．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 D．在区间上单调递增 【来源】湖北省十一校2024-2025学年高三第二次联考数学试卷 15．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 16．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【来源】广东省湛江市2025年普通高考测试（一）数学试题 17．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 18．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，它们的终边分别与单位圆交于点，设线段的中点的纵坐标为，若，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【来源】河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题 19．已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（   ） A． B． C．36 D．27 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 20．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代k数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以O为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记，，则（   ） A． B． C． D． 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 21．在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（    ） A． B． C． D． 【来源】北京市第十一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 22．如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 二、多选题 23．已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 24．对于函数和，下列正确的有（    ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 25．已知曲线，则以下结论正确的是（    ） A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性 C．曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D．曲线与圆有公共点 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 26．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以．则（   ） A．crd B．若，则 C． D．crd 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 27．在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A．可以是钝角三角形 B． C．若，则 D． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 28．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（     ） A． B．角的最大值为 C． D．的取值范围是 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 三、填空题 29．两位同学在研究三角形时，分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”，你认为这两位同学的刻画方式更合适的是 ，请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式 . 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 30．已知，则 . 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 31．函数的最小正周期为 ． 【来源】2025届湖北省襄阳随州八校高三三模联考数学试题 32．已知是第一象限角，且，则 . 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 33．已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则 . 【来源】2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 34．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 35．若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 36．在中，，则边的长为 . 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 37．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题 38．在中，的面积为，且，则的最小值为 ． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 39．已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 40．锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $