专题04 导数及其应用大题综合（精选30题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题04 导数及其应用大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程； （2）分，，，四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性. 【详解】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 例题2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，根据导数求得最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 例题3．已知函数. (1)若为的极值点，求； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】（1）求导，根据为的极值点，可得，即可求出； （2）法一：利用分离参数法可得对于恒成立，构造函数，再利用导数求出函数的最小值即可得解. 法二：根据当时，有，解得，再充分性，即证当时，时，有，进而可得出答案. 【详解】（1），由于为的极值点， 所以，解得， 当时，令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 故； （2）法一：由题意有对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，故对于恒成立， 令， 则时，， 当且仅当时，成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 法二：当时，有，即当时，有，解得； 下证充分性，即证当时，时，有， 即证当时，有，记， ，故在上单调递减， 则， 记，则， 当时，，当且仅当时，成立， 即在上单调递增，故， 故当时，有恒成立. 例题4．已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解及，从而可得函数在点处的切线方程； （2）当，不满足题意，当时，单调递增，结合，，可得在区间上有唯一的零点，满足题意，进而可得结论． 【详解】（1）当时，，可得， 则， 又， 所以函数在点处的切线方程为：； （2）由于， 则， 若，当时，则，所以， 则在区间上单调递增，没有极值点，舍去； 若，设，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，， 所以在区间上有唯一的零点， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在区间内有唯一的极值点，符合题意． 综上，实数的取值范围是． 例题5．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】2025届山东省聊城市高三一模数学试题 【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性. （2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等式求解. 【详解】（1）的定义域为. 求导可得：. 令，其判别式. 当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增. 当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，. 因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增. 当时，，则，，且， 此时在和上，，，单调递增； 在上，，，单调递减. 综上所得， 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减. （2）因为有两个不同的极值点，所以且，解得. 由韦达定理可知，，代入上式可得： . 已知，即， 可得，即. 令，对求导得. 因为，所以，在上单调递增. 又，所以的解集为， 即实数的取值范围是. 例题6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 【分析】（1）先求出导函数，再根据判别式分类讨论得出单调区间即可； （2）先证明不等式，再代入，累加法计算证明即可. 【详解】（1），， 对于方程， 当，即时，， 函数在上单调递减； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ，且， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，当时，，即当时，. ，， 即，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 累加可得，， 即， 所以. 例题7．已知函数（），． (1)求函数的极值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：时，． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的极值. （2）构造函数，利用导数探讨单调性求出的范围. （3）利用导数分别证明不等式，在时成立，再利用不等式的性质推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， ①当时，恒成立，无极值； ②当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数极小值为，无极大值， 所以当时，无极值； 当时，极小值为，无极大值． （2）对任意的，不等式， 设，且，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，则在上单调递增，， 函数在上单调递增，而， 当时，恒成立，函数在上单调递增，恒成立； 当，则，又， 则在内存在，使得，当时，， 函数在上单调递减，当时，，不合题意， 所以实数的取值范围是. （3）令函数，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，， 即， 令函数，，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此当时，，即， 所以成立. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 例题8．已知函数为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可； （2）（i）由题意得是方程的两个正根，进一步转化为与有两个不同的交点，然后利用导数求出的单调区间和极值分析求解即可；（ii）由（i）可知，由得，则可得，令，利用导数求出其单调区间和最值，从而可证得结论. 【详解】（1）当时，，则， ，求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i），且定义域. 因为若有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即 令，则， 所以，当时，；当时，， 因此，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，， 又因为当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 所以； （ii）由（i）可知，且时，， 又，所以， 令， 单调递增， 且，所以时，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即 ， 又因为，所以， 所以，即. 例题9．已知函数，其中为自然对数的底数 (1)当时，求的单调区间； (2)若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 【答案】(1)单调递增区间为和，无单调递减区间. (2)（i）；（ii） 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】（1）先求，再通过研究的正负性来确定的正负性，即可求出的单调区间； （2）（i）将问题转化为在上有两个不同的零点，根据导函数研究其单调性，最后根据零点存在性定理即可得出； （ii）令，通过，先研究函数的单调性，再研究的最小值，利用两者最小值的一致性，可得的值，即可通过求的值. 【详解】（1）定义域为， 当时，，则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因，则或时，，即， 则的单调递增区间为和，无单调递减区间. （2）（i）当时， 有两个不同的根， 则在上有两个不同的非零零点， 因，则在上有两个不同的零点， 因， 当时，，则在上单调递增， 则在上至多存在一个零点，不符合题意； 当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，则在上恒成立， 因，则， 则当时，； 当时，， 则由零点存在性定理可知在上有两个不同的零点， 综上可知，的范围为. （ii）因，结合的单调性可知， 由（i）可知是的两个根，即， 两式相减得， 令，则，则， 令由（1）可知，在上单调递增， 故欲求的最小值，只需求的最小值，即的最小值， 令，则， 令，则，则在上单调递增， 又，则使得，即， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时取最小值，取最小值，取最小值， 此时 综上所述，当最小时，. 例题10．已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 【答案】(1)（i）有一个极值点，理由见解析；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 【分析】（1）利用函数求导计算函数的极值点；利用函数求导计算函数极值点，结合函数的周期得到所证结果； （2）根据双重切线的定义得到斜率表达式，再通过求导、三角函数性质等进行分析和证明 【详解】（1）当时，函数. （i）在上极值点的个数为1个. 对求导，根据求导公式，令， 对求导，. 当时，在上，在上， 在内，的符号会发生变化， 因为上连续，且，又符号变化， 所以存在使得先正后负，即先正后负， 根据极值点的定义，在上有一个极值点. （ii）已知，令，即，可得. 设与的交点横坐标为， 因为的周期为，且在上单调递增， 相邻两个交点之间，的图象变化一个周期。 考虑与的图象关系，， 对于在上，单调递减， 从可知，（因为一个周期内与有一个交点，且两交点间水平距离大于半个周期）， 又因为与的交点不会超过一个周期的距离，所以， 所以； （2）当时， 设为双重切线的两个切点， 则在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 因为两条切线重合，则，即，则或， 不妨设（取一种情况分析），则直线的斜率为， 设此时直线的斜率， 设此时直线的斜率， 则，因为根据三角函数的图象和性质， 令求导， 当求时，通过分析的单调性，可知当靠近时，较大； 当求时，靠近时，较大； 不妨设，则，由三角函数的图像和性质可知， 当在相应区间内时，，则 所以，故得证. 百强名校-必刷真题精练 1．已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【答案】(1)在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． (2)答案见解析 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】（1）根据极值点求出，再求导，根据导数正负得出单调性即可； （2）根据（1）的结论，用m对区间进行分类讨论，再根据再结合单调性得到最值. 【详解】（1）的定义域为R，． 当时，，不是的极值点． 当时，令，得，． 在小于0，在区间大于0，在小于0， 故在单调递减，在区间单调递增，在单调递减，此时是的极小值点，符合题意． 综上，在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． （2）由（1）可知：在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．分类讨论. 当,即时，在区间单调递减，故最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，故最大值为； 当时，在区间单调递增，故最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，故最大值为； 当时，在区间单调递减，故最大值为． 2．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【来源】广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性； （2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案. 【详解】（1）由，则函数，易知其定义域为， 由，则函数为偶函数， 当时，，显然当时，函数在上单调递增， 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减. （2）由时，则函数，可得，解得或， 所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数， 当时，则函数， 当时，函数在上单调递增，此时无极值； 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为， 由函数为偶函数，则函数的极大值为， 综上，当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. 3．已知函数. (1)设是的极值点，求在点处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】（1）根据给定条件，求出导数，利用极值点求出并验证，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用导数求出函数最大值，进而求出范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由是的极值点，得，解得， ，函数在上单调递增， 当时，；当时，，则是的极小值点，， ， 所以在点处的切线方程：. （2）不等式， 设，求导得，设，函数在上单调递减，且， 则当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 4．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论导数正负即可得解； （2）分离参数得对恒成立，再设，求导后对分子因式分解，再设新函数求导，最后得到右边最值即可得到答案. 【详解】（1）定义域为，， ①当时，恒成立，故在上单调递增； ②当时，令有，解得，又， 令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题， 所以恒成立等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 即在上单调递增，故， 令有， 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增， 则为唯一的极小值点，也是最小值点， 故，从而， 因此实数的取值范围为. 5．设函数，． (1)若在处切线为，求实数的值； (2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值； （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1）， 在处切线为，故，解得， 故，所以，所以， 所以； （2）存在，理由如下： 的定义域为，， 当时，在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，解得，舍去. 当时，令得，，令得，， 若，则，故在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，则，故在上单调递减， 故，解得，舍去. 综上，. 6．设函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 【分析】（1）首先确定函数定义域，再对其求导得到，然后根据的取值范围进行分类讨论即得： （2）通过对与作差，构造函数判断其单调性，进而得出与的大小关系，再结合的单调性即得结论. 【详解】（1）易知的定义域为， 又. 若，则恒成立，所以此时在上单调递增； 若，则当时，；当时，； 所以此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （2）结论：. 证明如下：由（1）知，当时，存在极值. ， 由，则， 则， 又，则， 所以 . 设，则. 令，则， 所以在上单调递增，则，故. 又，即，所以，即. 又由可知在上单调递减， 则，即. 7．已知函数 (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若，求证：． (3)若在上有唯一的零点，求实数的最小值． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2)证明见解析； (3)1． 【来源】黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）构造，应用导数研究单调性求其最小值得到，即可证； （3）问题化为与有唯一的交点，利用导数求的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）当时，， ， 由，， 令，则，所以，或， 令，则，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， （2）令，则，可得， 令，则，，在上单调递减， ，在上单调递增， 所以时，即，所以； （3）令，即， 在上有唯一的零点，即与有唯一的交点， ，由（2）知， ， 在上单调递增，故，， ，的最小值为1． 8．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)． 【来源】陕西省西安中学2025-2026学年高三上学期质量检测考试（一）数学试题 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 9．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为单调递增区间为 (3) 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 10．已知函数（）. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若有两个极值点，（）. ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【来源】河南省新高中创新联盟TOP二十名校计划2024届高三上学期11月调研考试数学试题 【分析】（1）利用切点和导数几何意义即可求解； （2）①令，由题意可知，在有两个不相等的实数根，根据的单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可； ②由①分析得，，令，可得在上单调递增，因为，所以，根据不等式性质计算即可得证. 【详解】（1）若，则，所以， 所以，又， 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）①由题意知. 令，则. 因为有两个极值点，（），所以有两个不等正实根，（）. 若，，则在上单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令，解得，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以时，取得极大值，即最大值为， 所以，解得. 当时，，又，所以， 由零点存在性定理知：存在唯一的，使得. 又，令， 所以，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以， 由零点存在性定理知：存在唯一的，使得. 所以当时，有两个不等正实根，. 综上，的取值范围是. ②证明：由①知，且，所以， 因为在上为增函数，及，所以， 又，所以. 因为，，所以，， 所以，所以. 令（）， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以. 所以. 【点睛】本题证明的关键在于构造函数，进而求证，再运用不等式性质即可证明. 11．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点. （2）（i）利用导数求出函数的极值点，再求出并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）函数， 求导得， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以. （2）（i）函数，求导得 ，其中， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 则函数在上递增， 在上递减， 又，则， ，， 且，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，则只需证，即证，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 12．已知函数. (1)若函数的最大值为0，求的取值范围； (2)证明：当时，有； (3)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】浙江省强基联盟2025-2026学年高三上学期返校联考数学试卷 【分析】（1）根据得出，再检验其正确性即可； （2）利用函数的单调性求解即可； （3）先用和差化积公式得出，再通过探究出的取值范围，最后验证其正确性即可. 【详解】（1）， 注意到，而函数的最大值为0，因此，所以， 另一方面，当时，，故在上单调递减， 则，满足题意， 综上所述，的取值范围为. （2）由（1）得当时函数在单调递减， 又，因此，即成立. （3）因， 则， 当时，，则， 令，则， 因在上恒成立，且，则，即， 下面证明时成立： 由（2）得，下面证明， 即证明， 令，则，因此单调递增， 则即成立； 综上所述，实数的取值范围为. 13．已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可； （2）令，利用同构思想求证即可； （3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 14．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 【答案】(1)减区间为，增区间为； (2)①②证明见解析. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）①分析得的两根为，且，再构造函数，利用导数得其单调性即可证明原不等式； ②将左边不等式等价转化证明，再构造函数，利用导数即可证明，右边不等式利用切线放缩即可证明. 【详解】（1）时，，， 因为，均在上单调递增， 则在上单调递增，又， 所以，，，， 所以在单调递减，在单调递增． （2）①依题意的两根为， 即的两根为． 令， 得，且，， 则在单调递减，在单调递增，则． 令， 则，所以在单调递增，所以， 所以，又，在单调递增． 所以，即． ②由，要证明，只需证， 即证明， 即证明 即证明 即证明，设，， 则，则当时，，则在单调递减， 则，则在上恒成立，从而左边得证． 因为，，且，， 则在和处的切线分别为和， 令，得， 再证明恒成立， 设，则，令，解得， 且时，，此时函数单调递减； 时，，此时函数单调递增； 则，则恒成立， 再证明恒成立， 设，， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增； 则恒成立， 所以，从而右边得证． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一问是经典的极值点偏移问题，需构造函数，再利用导数即可证明. 15．已知函数 (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设是的两个极值点，证明： (i)； (ii) 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】（1）依题可知，对恒成立，参变分离后，利用导数求函数最值即可； （2）(i)由题可得是方程的两根，即，且，令，得，问题转化为证明，构造函数利用导数证明；(ii)先利用导数证明，，可得与的交点横坐标为，则，与的交点横坐标为，则，由此得证. 【详解】（1）的定义域为， 依题可知对恒成立，即，   令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，故； （2）(i)令，即，由题知是方程的两根， 又时，，由（1）得， 此时，， 令，则， 即，， 要证，即证，即证， 构造，则， 故在上递增，， ，原问题得证. (ii)易求得的图象在处的切线方程为， 的图象在处的切线方程为， 先证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 再证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 易知直线与曲线的交点横坐标为， 令与的交点横坐标为，则， 令与的交点横坐标为，则， 故. 16．已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”． (1)设函数． （i）当时，求在上的最大“Ω点”； （ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； (2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【来源】山东省青岛市2024-2025学年高三上学期期初调研检测数学试题 【分析】（1）（i）由题意可得对，，当时，都有，即可结合导数研究单调性后取最大值点即可得； （ii）由题意可得在时恒成立，借助导数分、、及讨论函数单调性即可得； （2）分“Ω点”个数为，及大于等于进行讨论，结合，从而得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 【详解】（1）（i）当时，， 则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即对，，当时，都有， 即在上的最大“Ω点”为； （ii）由题意可得在时恒成立， ， 令，， 则， 当时，恒成立，故在上单调递减， 则， 故在上单调递减，此时，符合要求； 当时，令，则， 则当，即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 有，不符合要求，故舍去； 当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减， 此时，符合要求； 当，即时， 若，，若，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则若需恒成立，有，解得， 由，故， 由，故， 即当时，符合要求； 综上所述，； （2）若在D上的“Ω点”个数为，则，符合要求； 若在D上的“Ω点”个数为，令在D上的“Ω点”分别为、、、， 其中、，、、、， 若， 则若，由，则，即， 若，由题意，，， 故，即，又，故，符合要求； 若， 则，，，， 由，则， 若，即，则， 若，由题意，，且， 又，故，即，，，， 即有，即， 由，故， 又，故， 即在D上的“Ω点”个数不小于. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，结合定义得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 17．对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． (1)若时，求证：； (2)若时，求证：； (3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【来源】2025届甘肃省高三4月二模考试数学试题 【分析】（1）当时，，根据的定义求解； （2）解法一：如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的面积大于，，得证； 解法二：转化为证明：，设，，则不等式可化为，构造函数：，利用导数证明在恒成立； （3）令，故，直线与曲线交于，，所以，即有：①，②，进一步变形可得，从而得证. 【详解】（1）因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； （3）因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可. 18．已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在2个零点； (3)所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求出的导数，判断得的单调性，进而可求得的最小值，通过判断其最小值的正负，即可判断其零点个数； （3）求出函数的导数，由曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系，即可求解. 【详解】（1）由，得， 因为在处的切线为，即， 代入得，解得，. （2）当时，，得，令， 即，结合函数图像可知，当且仅当时，成立，即①， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 将①代入，得， 令，，所以， 所以， 又，， 所以当时，求在上存在2个零点. （3）当时，， 所以，，，， 切线方程：，即， 整理得， 令， ， 因为，， 当时，，为单调递增函数， 当时，，为单调递减函数， 函数所有的极大值为， 当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0，函数所有的极小值为， 当时，极小值， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点处的切线与有3个交点， 等价于，即有解， 令， 则， 因此为上的严格增函数， 因为，， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 19．若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. (1)若正实数，满足，且，求的最大值； (2)若代数式为二元轮换式，比较与的大小； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）整理等式可得参数的取值范围，根据二次函数的性质，可得答案； （2）由题意，构建函数，利用导数研究其单调性，可得取值范围，可得答案； （3）由题意对不等式进行分解因式，分析符号后，构造函数并求出其单调性，可得答案. 【详解】（1）正实数满足，可得，即， 所以， 又，所以，所以当即时，取得最大值为． （2）依题意可得，即， 由对称性不妨假设，令，则有， 则有， 设 所以在单调递增，则有， 所以，即，即，即， 综上，． （3）已知对任意的正实数，均有， 不妨设是中的最小值，则令，其中. 将代入不等式并化简可得. 若或，则不等式对任意实数均成立. 因为，所以要使不等式成立，即. 若，则不等式对任意实数均成立. 若，设. 当时，不等式可整理为. 设，对其进行变形可得. 对求导，，令，， 因为，所，即在上单调递增. 令，即，化简可得， 令，则，解得(舍去），即. 则存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，因为，所以，则，所以. 又因为，所以，则， 因为，所以，所以，所以，所以. 当时，不等式可整理为， 此时，所以时，不等式恒成立. 20．已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【来源】上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三下学期摸底考试（3月）数学试题 【分析】（1）由已知求得，解不等式即可求解； （2）的解集为，进而得方程有重根及，据此求解即可． （3）记，必要性，则有，由题意可得的单调性，可得结论；充分性，时，结合已知可得函数在处取得极大值，进而可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 由，得，解得，所以． （2）存在实数k，m使得集合，则的解集为， 即的解集为， 所以方程有重根及． 因此恒成立，故有， 则是二次方程的两个不相等的实数解， 所以，所以实数b的取值范围是． （3）记，则，在上严格递减， ①若直线l是曲线在点处的切线， 则有，所以． 故时，，所以函数在上严格递减，； 时，，所以函数在上严格递增，； 所以的解集为，集合是单元素集合； ②若集合是单元素集合，故时，， 而函数的图象是一条连续曲线，所以． 则在的附近其他自变量对应的函数值都小于， 故函数在处取得极大值，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线． 综上，“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【点睛】关键点点睛：第二问，关键在于得到方程有两个二重根，进而得到恒成立，从而可求解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 例题2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 例题3．已知函数. (1)若为的极值点，求； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 例题4．已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 例题5．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【来源】2025届山东省聊城市高三一模数学试题 例题6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 【来源】2025届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷 例题7．已知函数（），． (1)求函数的极值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：时，． 【来源】天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题 例题8．已知函数为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷 例题9．已知函数，其中为自然对数的底数 (1)当时，求的单调区间； (2)若当时，关于的方程：有两个不同的根：且， （i）求的范围； （ii）当最小时，求的值． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 例题10．已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题 百强名校-必刷真题精练 1．已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 2．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【来源】广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题 3．已知函数. (1)设是的极值点，求在点处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 4．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 5．设函数，． (1)若在处切线为，求实数的值； (2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 6．设函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明. 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 7．已知函数 (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若，求证：． (3)若在上有唯一的零点，求实数的最小值． 【来源】黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题 8．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【来源】陕西省西安中学2025-2026学年高三上学期质量检测考试（一）数学试题 9．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 10．已知函数（）. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若有两个极值点，（）. ①求的取值范围； ②求证：. 【来源】河南省新高中创新联盟TOP二十名校计划2024届高三上学期11月调研考试数学试题 11．已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 12．已知函数. (1)若函数的最大值为0，求的取值范围； (2)证明：当时，有； (3)若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【来源】浙江省强基联盟2025-2026学年高三上学期返校联考数学试卷 13．已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 14．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 15．已知函数 (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设是的两个极值点，证明： (i)； (ii) 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 16．已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”． (1)设函数． （i）当时，求在上的最大“Ω点”； （ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； (2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于． 【来源】山东省青岛市2024-2025学年高三上学期期初调研检测数学试题 17．对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． (1)若时，求证：； (2)若时，求证：； (3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【来源】2025届甘肃省高三4月二模考试数学试题 18．已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 19．若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. (1)若正实数，满足，且，求的最大值； (2)若代数式为二元轮换式，比较与的大小； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数的最大值. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 20．已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【来源】上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三下学期摸底考试（3月）数学试题 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $