专题03 导数及其应用小题综合（精选35题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题03 导数及其应用小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知函数，若，则 ． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 例题2．函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【来源】湖北省部分市州2025届高三上学期元月期末联考数学试卷 例题3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 例题4．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【来源】重庆市南开中学2025届高三第九次质量检测数学试题 例题5．不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 例题6．已知正实数满足，则（   ） A． B． C．-1 D． 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 例题7．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【来源】江苏省盐城中学2025届高三第三次模拟考试数学试题 例题8．已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【来源】江西省重点中学盟校2025届高三下学期第一次联考数学试卷 例题9．（多选）设函数，则（ ） A．当时，在处取极大值 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 【来源】山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期10月模块诊断（总第四次）数学试题 例题10．（多选）已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 【来源】2025届重庆市部分区县高三5月三诊考试数学试卷 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 2．过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 3．当，且时，函数与图象的交点个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 4．若满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【来源】广东省潮州市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试题 5．已知函数，若时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 6．已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【来源】山东省聊城市百师联盟2025-2026学年高三上学期第一次调研考试数学试题 二、多选题 7．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 【来源】重庆市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题 8．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 9．已知，若，则下列选项正确的是（     ） A．有两个极值点 B．当时， C．当时， D．对任意的实数， 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 10．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 11．已知函数，则（   ） A．的极小值是1 B．恰有2个零点 C．方程恰有1个实根 D．对任意的，都有 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 12．若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 【来源】重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题 13．已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 14．已知 ，若 ，则下列关系式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【来源】2025届重庆市南开中学高三第八次质量检测数学试卷 15．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．对任意都有，则 D．设在定义域上有两个不同的极值点，则 【来源】重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题 16．Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（   ） A．函数在定义域上单调递增 B．不等式的解集为 C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子” D．，当时， 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三下学期第四次模拟考试数学试卷 三、填空题 17．已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为 ． 【来源】广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题 18．已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 19．已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【来源】山东省青岛市第二中学2024-2025学年高三下学期打靶考试数学试题 20．不等式对任意成立，则实数的取值范围是 . 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 21．已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【来源】河北省定州中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题 22．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为 ． 【来源】黑龙江省实验中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段考试数学试题 23．已知，则的最小值为 ． 【来源】江苏省盐城中学2025届高三第三次模拟考试数学试题 24．设函数，若恒成立，则的最小值为 . 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 25．已知关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是 ． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用小题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．已知函数，若，则 ． 【答案】 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】根据导函数的奇偶性，代入求值即可. 【详解】由，得， 又， 所以为奇函数，所以. 故答案为：. 例题2．函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省部分市州2025届高三上学期元月期末联考数学试卷 【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值． 【详解】函数，求导得， 在处的切线斜率为， 又在处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 例题3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解. 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 例题4．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市南开中学2025届高三第九次质量检测数学试题 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 例题5．不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．然后分，，讨论求解. 【详解】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．当时，若对任意恒成立，则；当时，对于恒成立，则当时，，与已知矛盾；当时，在上单调递增，则要使得在时恒成立，必有成立．所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 例题6．已知正实数满足，则（   ） A． B． C．-1 D． 【答案】C 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 【分析】分别利用基本不等式和导函数求出函数最值，由夹逼法可得出，再利用不等式中等号成立的条件构建方程组，解出的值即可. 【详解】由，得． 因为均为正实数，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，即. 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 故当时，，即（当且仅当时取等号）， 因此，即. 由和可得， 则有，解得， 所以. 故选：C. 例题7．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省盐城中学2025届高三第三次模拟考试数学试题 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 例题8．已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省重点中学盟校2025届高三下学期第一次联考数学试卷 【分析】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 例题9．（多选）设函数，则（ ） A．当时，在处取极大值 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 【答案】ABD 【来源】山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期10月模块诊断（总第四次）数学试题 【分析】利用导数判断函数单调性可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【详解】当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，故A正确； 又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD 例题10．（多选）已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 【答案】ACD 【来源】2025届重庆市部分区县高三5月三诊考试数学试卷 【分析】对于AB：分析可知有2个不同是实根，利用韦达定理分析判断；对于C：根据，整理可得；对于D：整理可得，结合二次函数最值分析求解. 【详解】对于选项AB：因为，可知有2个不同实根， 则，且，即，故A正确，B错误； 对于选项C：可得，故C正确； 对于选项D：因为， 构建 若，即，即， 且，则， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：ACD. 百强名校-必刷真题精练 一、单选题 1．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】用表示出体积，利用导数求最值，由轴截面面积列方程即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 则，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当圆锥体积取得最大值时，， 设圆锥内切球的半径为，则由轴截面面积可得， 解得. 故选：A 2．过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题 【分析】根据图象可知直线符合题意，求导，根据导数的几何意义求切线，即可得结果. 【详解】如图，直线与抛物线有且仅有1个公共点，符合题意， 将求导可得， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，解得或， 可知过点的切线有2条， 综上所述：符合题意的直线有3条. 故选：D. 3．当，且时，函数与图象的交点个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】通过函数导数判断函数单调性，根据函数单调性判断函数零点的个数 【详解】设,换底公式变形得， 可知， 因为，且，所以，， 所以在单调递增. 且， 函数必有一个零点. 故选:B. 4．若满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省潮州市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试题 【分析】设，则满足 等价于，求导分析的单调性，求出的最小值，继而即可求解. 【详解】设，则恒成立，即， 因为，所以在上单调递增， 且当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， ， 令，得． 故选：D． 5．已知函数，若时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，将恒成立转化为恒成立，解的范围即可. 【详解】由题意可得，令解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 所以为偶函数，大致图象如下， 若时，关于的不等式恒成立， 则对恒成立， 所以，则或， 所以或对恒成立， 所以或， 所以实数的取值范围为， 故选：C 6．已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】山东省聊城市百师联盟2025-2026学年高三上学期第一次调研考试数学试题 【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数. 【详解】函数，求导得 ，由，得，令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数的大致图象如图， 由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点， 当或时，，；当时，，， 因此函数恰有2个极值点，B正确. 故选：B 二、多选题 7．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 【答案】ABD 【来源】重庆市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题 【分析】根据给定条件，结合复合函数求导及奇偶性定义判断A；求出及其导数的解析式依次判断BCD. 【详解】对于A，由是定义在上的奇函数，得，求导得， 即，因此函数为偶函数，A正确； 由，得，即， 解得，， 对于B，，因此在上单调递增，B正确； 对于C，，，即，C错误； 对于D，当时，， 求导得，函数在上单调递增，， 因此，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用奇偶性函数的定义求出和的解析式是解决问题的关键. 8．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 【答案】ABD 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】对A，求导，判断的单调性，求出极值，由得解；对B，求出的二阶导数，令的二阶导数等于0，求得对称中心的横坐标进而得解；对C，作出的图象，利用图象分析判断；对D，由题可得，展开得，结合成等差数列，运算得解. 【详解】由，令，解得：或， 在上单调递增，在上单调递减. 对于A，若有3个零点，则，解得：，故A正确； 对于B，令，则，令， 令，得，又所以对称中心为，故B正确； 对于C，结合图象，过引曲线的切线有2条，故C错误； 对于D， ， （*） 若成等差数列，则，则， 代入（*）得：，故D正确. 故选：ABD. 9．已知，若，则下列选项正确的是（     ） A．有两个极值点 B．当时， C．当时， D．对任意的实数， 【答案】ABD 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】对于A选项，通过求导可得存在两个极值点；对于B、C、D选项，结合集合的定义，即在时的取值范围，结合其单调性和极值点进行判断即可. 【详解】，，，，解得或， 当时，，当时，，当时，， 所以为其极小值点，为其极大值点，故A正确； 当时，，，即为在时的取值范围， 又当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取得最大值， 又，当时，， 所以，故B正确； 当时，，，即， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值， 又时，，所以， 所以，故C错误； 对任意的实数，当时， 若，的最大值为，此时； 若，的最大值为，此时； 综上所述，，故D正确. 故选：ABD. 10．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 11．已知函数，则（   ） A．的极小值是1 B．恰有2个零点 C．方程恰有1个实根 D．对任意的，都有 【答案】ACD 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】计算的导数可判断A；分析的单调性和最值可判断B；变形得到，令，分析的单调性及和的极限值可判断C；对二次求导分析符号可判断D. 【详解】，， 令，可得，当时，，当时，， 所以是函数的极小值点，极小值，故A正确； 由在上单调递减，上单调递增，且， 可知无零点，故B错误； 令，则，即， 令，， 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，上单调递减， ，故，则，单调递减， 当时，，当时，， 所以直线和曲线有且只有一个交点， 即方程恰有1个实根，故C正确； 由，令，， 当时，，所以在上为凹函数， 所以对任意的，都有，故D正确. 故选：ACD. 12．若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 【答案】BC 【来源】重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题 【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式求解可得；B项利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用分别表示即可判断. 【详解】A项，由题意得有三个零点， 则至少有三个单调区间，故有两个不等实根， 所以，解得，故A错误； B项，由题意可知， 则， ， 同理 ，故B正确； C项， ， 若成等差数列，则， 则，，则， 所以，即，故C正确； D项，若成等比数列，则，， 故，， 则，由，可知，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B项中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷. 13．已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称后可判断A，对后得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D． 【详解】对A，因为为奇函数，所以，即，即，所以的图象关于点对称，所以，A正确； 对B，由，两边求导得，即，又的图象关于点对称，得，所以，B正确； 对C，因为，即，所以，令可得, ，所以的图象关于直线对称， 所以，又，所以，所以的图象关于点成中心对称， 由得，所以， 所以是周期函数，4是它的一个周期，C错误； 对D，由得，，所以， 又，所以 ，D正确． 故选：ABD． 14．已知 ，若 ，则下列关系式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】2025届重庆市南开中学高三第八次质量检测数学试卷 【分析】令，先求与的导数，通过导数判断其单调性与最值，再构造函数判断其单调性，最后结合函数值及图象分析时与的大小关系. 【详解】令，， ， 当时，， 当时，由，则，， 综上可知，在上单调递增， ，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 最小值为， 当时，，，即， 当时，令， ， 因为，，所以， 单调递增，且，所以，即. 故二者图象如图所示，令， 当时，， 当时，或， 当时，或. 故选：BC 15．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．对任意都有，则 D．设在定义域上有两个不同的极值点，则 【答案】BCD 【来源】重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题 【分析】A选项求导利用单调性求解；B选项令，求导利用单调性证明即可；C选项化简构造函数即可；D选项两个不同的极值点转变为直线与函数的图象有两个不同的交点，得到的取值，再利用极值点偏移即可得解. 【详解】对于函数，定义域为，所以， 对于A，当时，，则单调递减， 所以当时，，即，所以A错误； 对于B，令，则， 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减， 所以，即，所以B正确； 对于C，由题可得，对于任意，恒成立， 令，，则，且， 于是，解得，所以C正确； 对于D，，，则， 令，得， 由题可知有两个不同的极值点， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点， 对求导得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有最大值， 且当时，，当时，，    所以，由题可知，， 不妨设，则，要证明，只需要证明， 即证，也就是证明， 令，，，， 则，即在上单调递增， 又，所以，所以，即，所以D正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 16．Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（   ） A．函数在定义域上单调递增 B．不等式的解集为 C．若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子” D．，当时， 【答案】BCD 【来源】湖北省黄冈中学2025届高三下学期第四次模拟考试数学试卷 【分析】求得，令，求得，得到单调递增，由，存在，使得，求得函数的单调性，可判定A错误；由函数其图象，结合，列出不等式组，可判定B正确；分别求得和的解析式，可判定C正确；当时，得到，结合，可判定D正确． 【详解】对于A中，由函数， 可得， 令，可得，所以单调递增， 因为， 由零点存在定理，存在，使得， 当时，，即，函数递减，所以A错误； 对于B中，由函数 ，则函数其图象（如图所示）， ，则满足或 解得或，所以B正确；    对于C中，已知，对于函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 即， 对于函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 即，可得， 所以函数和函数是“可交换算子”，所以C正确． 对于D中，当时，可得，因为， 所以对任意，存在使得时，使得，即误差小于，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 17．已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为 ． 【答案】 【来源】广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题 【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，函数，可得 设切点为，则， 所以切线方程为， 因为切线过原点，可得，解得，不符合题意，舍去； 当时，函数，可得 设切点为，则， 所切线方程为， 因为切点过原点，可得，解得， 此时切线方程为，即， 故答案为： 18．已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】先求，进而得，由函数在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 由函数在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 故答案为：. 19．已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【来源】山东省青岛市第二中学2024-2025学年高三下学期打靶考试数学试题 【分析】令，由题意有，利用导数求最小值，得，令，利用导数求最大值即可. 【详解】令，由不等式对任意实数恒成立等价于， 所以，令有，令， 由有，有，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 令， 所以，令有， 由有，由有， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故答案为：. 20．不等式对任意成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】根据题意，转化为对任意成立，分两种情况讨论：（1）不等式且对任意成立，结合的性质，求得；（2）方程且有相同的解，进而得到的取值范围. 【详解】由不等式，可得， 要使得不等式对任意成立， 可得分为两种情况： （1）不等式且对任意成立， 由不等式恒成立，即，可得； 由不等式恒成立，即在恒成立， 令，可得恒成立， 所以在上单调递增，所以，则，所以； （2）方程且有相同的解，即且的零点重合， 由，可得，将代入，可得，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 21．已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【来源】河北省定州中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题 【分析】根据题意得有两个不同的实根，分，，利用参变分离得，根据函数单调性分析求解即可. 【详解】因为，所以， 时，，无极值点，不符合题意； 时，恰有两个极值点，则方程有两个不同实根， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 又时，，当时，，时，， 所以，解得， 当时，有两个变号零点（在零点的左右附近导函数值变号），符合题意． 故a的取值范围为． 故答案为：. 22．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【来源】黑龙江省实验中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段考试数学试题 【分析】通过构造函数得到单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， ，的每一项都除以不等号方向不变，即， ，设，则， ，，， 为R上的减函数，， 等价于，为R上的减函数， 的解为，等价于， 的解集为. 故答案为： 23．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】江苏省盐城中学2025届高三第三次模拟考试数学试题 【分析】先利用导数证明和，再利用其放缩得出，最后利用基本不等式即可求最值. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时， 则，等号成立时，即，等号成立时； 则，等号成立时，，等号成立时， 则， 等号成立时， 所以， 等号成立时，显然时成立， 综上，当时，取最小值. 故答案为： 24．设函数，若恒成立，则的最小值为 . 【答案】2 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 【分析】分，，，可得，从而有，令，利用导数求解即可. 【详解】要使恒成立，需分情况讨论： 当，即时，， 即对恒成立，所以. 当，即，时，，恒成立； 当，即，时，， 即对恒成立， 所以， 综上，，则. 令， 对求导，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在时取得最小值，， 即的最小值为2. 故答案为：2. 25．已知关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】参变分离可得，原题意等价于函数与有3个不同的交点，利用导数判断函数的单调性和极值，结合函数的图象即可得解. 【详解】因为关于的方程有三个实数解， 显然不为方程的根，整理可得， 原题意等价于函数与有3个不同的交点， 因为， 注意到，令，解得；令，解得或； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 若，当趋近于时，趋近于；当趋近于0时，趋近于； 若，则，当趋近于0或时，趋近于； 据此可得函数的图象如图所示：    若函数与有3个不同的交点，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $