5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及辅助角公式，通过单位圆两点距离公式推导差角余弦公式，衔接诱导公式中“任意角关系”问题，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于注重公式推导过程，以问题链引导探究，如从诱导公式“特殊角”到“任意角β”的思考，培养数学思维的推理意识。分层设计给值求值、化简等题型，结合辅助角公式应用，强化数学语言表达，辅以特殊角三角函数值表提升直观认知，助力学生深化逻辑推理与应用能力，也为教师提供系统教学资源。

诱导公式可统一为 的三角函数与α的三角函数之间的关系 口诀：奇变偶不变,符号看象限. 公式二： 公式三： 公式四： 公式一： 公式五： 公式六： 如果特殊角 变为任意角β呢？ 如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？ 5.5 三角函数恒等变换 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1，2课时） 1、情境创设 不妨令kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，可知AP=A1P1 根据两点间的距离公式，得 +=+， 化简得: =+ 当kπ＋β （k∈Z）时，上式仍然成立． 下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系 LOGO 2、探究新知 知识点一、差角的余弦公式 对于任意角α，β有 =+ （Ｃ（α－β）） 给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系 角α，β是任意角，即可以是一个角，也可以是几个角的组合，如 正用（从左到右，即展开），逆用（从右到左，即化简） LOGO 2、探究新知 思考：你能利用公式Ｃ（α－β）推出的公式吗？ 知识点二、和角的余弦公式 Ｃ（α+β） 余弦公式 ccss符号相反 Ｃ（α-β） LOGO 3、典例分析 例１ 利用公式Ｃ（α－β）证明： （１）= （２）= ． LOGO 3、典例分析 例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值． 题型一　给值求值 LOGO 3、典例分析 例２ 已知是锐角，，，求的值． 题型一　给值求值 学案大书P97 LOGO 3、典例分析 题型一　给值求值 LOGO 3、典例分析 练习-2 利用公式Ｃ（α－β）求的值 教材P217 例1（1） 利用公式Ｃ（α+β）求的值 学案大书P97 题型二　给角求值 LOGO 3、典例分析 题型三　化简-公式的“逆用” 学案大书P97 例1（2） 化简 过程评价1 计算 LOGO 3、典例分析 题型四　给值求角 学案大书P97 例3 已知，，且，求角． LOGO 3、典例分析 题型四　给值求角 LOGO 3、典例分析 LOGO 2、探究新知 LOGO 2、探究新知 知识点三、两角和与差的正弦公式 ＝ （ S（α ＋ β ） ） ＝ （ S（α － β ） ） 对于任意角α，β有 正弦公式 sc cs符号相同 LOGO 2、探究新知 分子分母同 除以 LOGO 2、探究新知 知识点四、两角和与差的正切公式 T(α + β ) T(α β ) 符号规律： “分子同，分母异” 使用要求：均不等于 思考： 变形式如何？ LOGO 2、探究新知 两角和(差)的正切公式及变形式： LOGO = = ＝ ＝ Ｃ（α－β）: Ｃ（α+β）: S（α+β）: T（α+β）: S（α-β）: T（α-β）: 和角公式 差角公式 2、探究新知 练习-1 求三角函数值： sin15°=？ sin75°=？ tan15°=？ tan75°=？ 教材P220 LOGO 若，则 若，则 3、典例分析 题型一　给值求值 LOGO 3、典例分析 教材P220 练习-3（6） 题型二　公式的逆用（化简、求值） LOGO 3、典例分析 教材P220练习-4 方法：变换常值系数，配凑出特殊角的三角函数值 LOGO 2、探究新知 思考：化简 ? 知识点五、辅助角公式（或称“化一公式”） , 其中称为辅助角，且满足条件： ①, ②与点同象限 练习：应用辅助角公式求 教材220页——练习4（2）、（4） LOGO 3、典例分析 题型三　辅助角公式的应用 例4 (1)求值 . 学案大书P100 (2)当函数取最大值时， . LOGO 3、典例分析 题型四　两角和与差的正切公式及其变形的应用 例2 (1) . (2)化简 . 学案大书P99 变3. . LOGO 3、典例分析 题型四　两角和与差的正切公式及其变形的应用 学案大书P100 变5 在中， 则为 . LOGO 4、课堂练习 LOGO 方法小结 　在解决三角函数求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)； α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]； α＝eq \f(1,2)[(β＋α)－(β－α)]等． 方法小结 已知三角函数值求角的解题步骤： (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． 方法小结 (1)两角差的余弦公式常见题型及解法： ①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解； ②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解； ③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解． (2)特殊角：0°，30°，45°，60°，90°…. (3)公式的运用有三种： ①正用；②逆用；③变形用，都要熟练． 课堂小结——方法小结 (1)两角差(和)的正、余弦、正切公式常见题型及解法： ①两特殊角之差(和)的三角函数值，利用两角差的公式直接展开求解； ②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差(和)，然后利用两角差(和)的公式求解； ③含有常数系数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差(和)的公式求解． 可先考虑如何去变换系数，才能与学习的公式相挂钩，可以考虑1＝2×eq \f(1,2)，eq \r(3)＝2×eq \f(\r(3),2)，引入特殊角的三角函数值． 化一公式：asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a). (2)公式的运用有三种： ①正用；②逆用；③变形用，都要熟练． $