专题02 导数的运算（思维导图+3大知识点+10大题型）（讲义）-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题02 导数的运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：基本初等函数的导数公式 4 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 4 知识点三：复合函数的求导法则 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：求函数的导数 7 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 8 题型三：求复合函数的导数 10 题型四：利用导数求参数问题 12 题型五：在点P处与过点P处的切线 13 题型六：切点坐标问题 16 题型七：与切线有关的综合问题 18 题型八：切线平行、垂直问题 19 题型九：距离的最值问题 21 题型十：公切线问题 23 05 强化训练 27 知识点一：基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识点三：复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 要点诠释： 1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 题型一：求函数的导数 【例1】（2025·高二·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 【变式1-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）因为，所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． （4）因为，所以． 【变式1-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）． （2）． （3）∵是常数函数，∴． （4）∵，∴． （5）∵，∴． 【变式1-3】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】（1）由幂函数的导数公式有； （2）由幂函数的导数公式有； （3）由幂函数的导数公式有； （4）由指数函数的导数公式有； （5）由对数函数的导数公式有. 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 【例2】（2025·高二·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【解析】（1） （2） （3） 【变式2-1】（2025·高二·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）（1） （2）因为， 所以 （3） （4） 【变式2-2】（2025·高二·四川成都·月考）求下列函数的导数 (1)； (2) (3) 【解析】（1）因为，所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以. 【变式2-3】求下列函数的导数 (1)； (2) (3)． 【解析】（1）. （2）. （3）因为，所以． 题型三：求复合函数的导数 【例3】（2025·高二·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【解析】（1）由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）由，根据导数的四则运算法则， 可得. （4）由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 【变式3-1】（2025·高二·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）对求导可得： （2）对求导可得： （3）对求导可得： （4）对求导可得： 【变式3-2】求下列各函数的导数． (1)． (2)． (3)． 【解析】（1）， ． （2）， ． （3）， ， ． 【变式3-3】（2025·高二·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由得． （2）． （3）方法一： ． 方法二：因为， 所以． （4）令， 则， 所以． 题型四：利用导数求参数问题 【例4】（2025·高二·河南许昌·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 【变式4-1】（2025·高二·陕西西安·月考）若，则 ． 【答案】 【解析】，则，得， 故，则. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高三·江西·期中）已知函数，则 . 【答案】 【解析】函数， 则，所以， 所以， 则， ， 所以. 故答案为： 【变式4-3】（2025·高三·福建莆田·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由求导得， 令，可得，解得， 则，故. 故答案为：. 题型五：在点P处与过点P处的切线 【例5】（2025·高二·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【解析】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 【变式5-1】（2025·高二·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【解析】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 【变式5-2】（2025·高二·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【解析】（1）， ， 切线方程为， 即； （2）设切点为， 则， 切线方程为， 切线过点， ， ， ， 或， 切线方程为或． 【变式5-3】（2025·高二·河南·月考）已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【解析】（1）由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. （2）由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 【变式5-4】（2025·高二·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【解析】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 题型六：切点坐标问题 【例6】（2025·高二·全国·单元测试）已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． (1)求的表达式； (2)求点处的公切线方程； (3)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 【解析】（1）由已知可得，得， 则，． 又在点处有公切线，故可得， 即，得，则， 所以． （2）由（1）知，，所以点处的公切线方程为，即． （3）设切点为，则切线的斜率为， 故，解得或， 又点在第三象限，故解得，即． 【变式6-1】（2025·高二·青海西宁·期中）已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 【解析】（1）由，得点在曲线上， 求导得，则， 所以所求切线的方程为，即. （2）设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为：， 由切线过点，得，整理得， 解得，，切线的斜率， 所以切线的方程为，切点坐标为. 【变式6-2】（2025·高二·广东潮州·期中）已知函数， (1)求； (2)若直线与曲线相切于点，求切点的坐标. 【解析】（1）因为函数， 所以， 则， 解得. （2）由（1）易得 设切点，则 , 解得, 所以切点的坐标为. 【变式6-3】（2025·高二·贵州黔西·月考）已知函数． (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标． 【解析】（1）∵，∴点在曲线上． ∵， ∴在点处的切线的斜率为. ∴切线的方程为． 即． （2）设切点为，则直线的斜率为， ∴直线的方程为：． 又∵直线过点， ∴，整理得， ∴， ∴， ∴直线的方程为，切点坐标为． 题型七：与切线有关的综合问题 【例7】（2025·高二·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 【变式7-1】（2025·高二·河北·期末）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由可得：； 由可得：. 由曲线在点处的切线与曲线相切于点， 得，， 则. ， 所以，整理得：， 结合，可得：. 故选：B. 【变式7-2】（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【解析】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A 【变式7-3】（2025·高二·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 题型八：切线平行、垂直问题 【例8】（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，切线的斜率为，则，得， 故，故切线的方程为：，即， 直线，即， 故两直线的距离为， 故选：B 【变式8-1】（2025·高二·江苏苏州·月考）设曲线在点处的切线与直线平行，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由，得， 又因为点在曲线上， 所以曲线在点处的切线的斜率， 易知直线的斜率为， 又因为两直线平行，所以即. 故选：C 【变式8-2】（2025·高二·广东深圳·期末）设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：， 由直线的斜率为：， 又因为曲线在处的切线与垂直， 所以， 所以， 故选：C. 【变式8-3】（2025·高二·山东青岛·月考）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 题型九：距离的最值问题 【例9】（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行， 则，解得，则点， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2， 故选： 【变式9-1】（2025·高二·安徽亳州·期末）已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，曲线为， 则，设， 当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值， 令，，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 此时的距离最小值为直线与直线的距离：. 故选：B. 【变式9-2】（2025·高二·浙江·期中）动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设过曲线上的点的切线方程与直线平行， 则，所以，解得或（舍）， 即，则切点为， 切线方程为，化简可得， 则的最小值即为切线与直线的距离， 所以. 故选：C 【变式9-3】（2025·高二·江苏无锡·月考）已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为，则，由题有， 解得或（舍），所以， 此时到直线的距离为， 故选：B. 【变式9-4】（2025·高三·辽宁·月考）若函数，其中．若只有一个零点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【解析】令，得或， 因为只有一个零点，所以， 如图，在坐标系中，可以看成到的距离的平方， 而到的距离为，且函数，求导得到， 在处的切线斜率为，则方程为，斜率为，则与线段垂直， 由于函数的图象在直线的下方，可以知道的最小值为5． 题型十：公切线问题 【例10】（2025·高二·云南丽江·月考）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 【变式10-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【变式10-2】（2025·高二·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【解析】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 【变式10-3】（2025·高二·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【解析】因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， ，设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 【变式10-4】（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线与曲线有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易得,设公共点为, 则由题意可得,即 且 令,则上式可化为: 记，则恒成立，即在上单调递增，而，故满足的根只有，即. 故选：C 1．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 【答案】B 【解析】由，得， ，得. 故选：B. 2．（2025·高二·江苏·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 3．（2025·高二·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 4．（2025·高二·江苏·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的导数为，则， 则函数在点处的切线方程为，即. 故函数在点处的切线方程为. 故选：B. 5．（2025·高三·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 【答案】B 【解析】由或，则函数的定义域为， 又， 所以，则， 综上，. 故选：B 6．（2025·高二·湖南长沙·月考）曲线 在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线 ，所以，在点处的切线方程的斜率为， 曲线 在点处的切线方程为，即得. 故选：C. 7．（2025·高二·安徽·月考）若，则在的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，求导得， 在处的斜率， 则在的切线方程为，即，故B正确． 故选：B． 8．（2025·高二·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为, 则, 当时，则有, 又 , 则 . 故选∶B 9．（多选题）（2025·高二·湖南长沙·月考）已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 【答案】BC 【解析】对于A：由，故A错误； 对于B：因为，故，故B正确； 对于C：由在上的平均变化率为，故C正确； 对于D：因为，当时，，故D错误. 故选：BC. 10．（多选题）（多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】设切点， 由知， 所以切线斜率，解得， 故或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故选：AB 11．（多选题）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线斜率，即， 去分母整理得，切线有3条， 设，则有3个零点， ，令，得或， 所以， 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，则，不满足，B错误； 对于C，令，，则，，满足，C正确； 对于D，令，，则，，满足，D正确； 故选：ACD. 12．（2025·高二·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 【答案】和 【解析】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 13．（2025·高二·内蒙古包头·月考）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论“近似计算”的值为 （结果用分数表示）． 【答案】 【解析】函数的导数为，所以， 函数在点处的切线为， 所以在附近可以用代替， 即，又非常接近0， ． 故答案为：；． 14．已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为 . 【答案】 【解析】设P点坐标为， 因为，所以，令，得， 又，可得点， 所以点到直线的距离最短， 最短距离为. 故答案为： 15．（2025·高二·江苏连云港·月考）已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【解析】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 16．（2025·高二·江苏连云港·月考）已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，得． 所以． 所以． 所以切线方程为，即． （2）因为的图象在点处的切线都与直线垂直， 所以在点处的切线的斜率为， 则有两个不同的解． 所以，，得，又． 所以，，且． 17．（2025·高二·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【解析】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 18．（2025·高二·广东汕尾·期末）已知函数，且． (1)写出函数的定义域并求出a的值； (2)若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求b的值． 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 则，，所以． （2）由（1）知，则，而， 因此曲线在点处的切线为，即， （法1）由，消去得， 而直线与函数的图象相切，则，所以. （法2）函数的导函数为， 令，解得，则， 于是切线与函数图象的切点为， 代入，即，所以． 19．（2025·高二·湖北恩施·期末）已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. (1)若为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线的距离. 【解析】（1）由函数和， 可得和，则，， 由是直角，则，即， 解得，则. （2）由（1）知，， 由，知，所以直线与必相交， 又由， 联立方程组，解得，即， 故点P到直线的距离为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数的运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：基本初等函数的导数公式 4 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 4 知识点三：复合函数的求导法则 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：求函数的导数 7 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 8 题型三：求复合函数的导数 9 题型四：利用导数求参数问题 10 题型五：在点P处与过点P处的切线 10 题型六：切点坐标问题 12 题型七：与切线有关的综合问题 12 题型八：切线平行、垂直问题 13 题型九：距离的最值问题 14 题型十：公切线问题 14 05 强化训练 16 知识点一：基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识点三：复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 要点诠释： 1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 题型一：求函数的导数 【例1】（2025·高二·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-3】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 【例2】（2025·高二·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【变式2-1】（2025·高二·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-2】（2025·高二·四川成都·月考）求下列函数的导数 (1)； (2) (3) 【变式2-3】求下列函数的导数 (1)； (2) (3)． 题型三：求复合函数的导数 【例3】（2025·高二·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式3-1】（2025·高二·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】求下列各函数的导数． (1)． (2)． (3)． 【变式3-3】（2025·高二·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：利用导数求参数问题 【例4】（2025·高二·河南许昌·期末）已知函数满足，则 . 【变式4-1】（2025·高二·陕西西安·月考）若，则 ． 【变式4-2】（2025·高三·江西·期中）已知函数，则 . 【变式4-3】（2025·高三·福建莆田·期中）已知函数，则 ． 题型五：在点P处与过点P处的切线 【例5】（2025·高二·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【变式5-1】（2025·高二·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【变式5-2】（2025·高二·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【变式5-3】（2025·高二·河南·月考）已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【变式5-4】（2025·高二·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 题型六：切点坐标问题 【例6】（2025·高二·全国·单元测试）已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． (1)求的表达式； (2)求点处的公切线方程； (3)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 【变式6-1】（2025·高二·青海西宁·期中）已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 【变式6-2】（2025·高二·广东潮州·期中）已知函数， (1)求； (2)若直线与曲线相切于点，求切点的坐标. 【变式6-3】（2025·高二·贵州黔西·月考）已知函数． (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标． 题型七：与切线有关的综合问题 【例7】（2025·高二·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【变式7-1】（2025·高二·河北·期末）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【变式7-2】（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【变式7-3】（2025·高二·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八：切线平行、垂直问题 【例8】（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·高二·江苏苏州·月考）设曲线在点处的切线与直线平行，则（   ） A． B． C． D．2 【变式8-2】（2025·高二·广东深圳·期末）设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式8-3】（2025·高二·山东青岛·月考）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 题型九：距离的最值问题 【例9】（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【变式9-1】（2025·高二·安徽亳州·期末）已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·高二·浙江·期中）动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式9-3】（2025·高二·江苏无锡·月考）已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（2025·高三·辽宁·月考）若函数，其中．若只有一个零点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．2 题型十：公切线问题 【例10】（2025·高二·云南丽江·月考）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式10-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式10-2】（2025·高二·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【变式10-3】（2025·高二·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【变式10-4】（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线与曲线有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 2．（2025·高二·江苏·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 3．（2025·高二·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 6．（2025·高二·湖南长沙·月考）曲线 在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·安徽·月考）若，则在的切线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·湖南长沙·月考）已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 10．（多选题）（多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 12．（2025·高二·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 13．（2025·高二·内蒙古包头·月考）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论“近似计算”的值为 （结果用分数表示）． 14．已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为 . 15．（2025·高二·江苏连云港·月考）已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 16．（2025·高二·江苏连云港·月考）已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 17．（2025·高二·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 18．（2025·高二·广东汕尾·期末）已知函数，且． (1)写出函数的定义域并求出a的值； (2)若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求b的值． 19．（2025·高二·湖北恩施·期末）已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. (1)若为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线的距离. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $