2.3.2 已知三个条件求二次函数表达式课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“已知三个条件求二次函数表达式”，课堂导入通过复习顶点式与一般式，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从已掌握的表达式形式过渡到用三个条件确定系数的新内容。 特色在于通过多种方法探究（如议一议中用一般式直接代入、利用特殊点简化系数、根据对称点确定顶点用顶点式）培养数学思维灵活性，结合中考考法（教材变式、表格题等）强化应用意识，课堂小结系统梳理三种表达式助力知识结构化。学生能提升解题策略，教师可直接使用丰富例题与考法提升教学效率。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 2.3.2 已知三个条件求二次函数表达式 第二章 二次函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 复习导入 确定二次函数表达式的一般方法: 已知条件 选用表达式的形式 顶点和另一点的坐标 二次函数各项系数中的一个和两点的坐标 y=a(x-h)2+k（a≠0） 顶点式 y=ax2+bx+c（a≠0） 一般式 探究新知 例2 已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 解:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式，得 10=a－b+c， 4=a+b+c， 7=4a+2b+c. 解这个方程组，得 a=2， c=5. b=-3， ∴二次函数表达式为y=2x2－3x+5. ∵y=2x2－3x+5=2(x－ )2+ ， ∴二次函数图象的对称轴为直线x= ， 顶点坐标为( , ). 例2 已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 探究新知 返回 C 1. [教材P45“习题2.7”第2题变式]已知二次函数的图象经过(0，0)，(3，0)，(1，－4)三点，则该二次函数的表达式为(　　) A．y＝x2－3x　 B．y＝2x2－3x C．y＝2x2－6x　 D．y＝x2－6x 中考考法 5 返回 2. 如图，二次函数的图象经过点A，B，C，且A，B，C三点均在格点上，则该二次函数的表达式为__________________. 中考考法 一个二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流． 议一议 方法一 A（0，1），B（1，2），C（2，1） 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将(0,1)，(1,2)，(2,1)的坐标分别代入表达式，得 1=c， 2=a+b+c， 1=4a+2b+c. 解这个方程组，得 a=-1， c=1. b=2， ∴二次函数表达式为y=－x2＋2x+1. A（0，1），B（1，2），C（2，1） 方法二 解：因为二次函数的抛物线经过A（0，1），所以可设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，则可得： 2=a+b+1， 1=4a＋2b+1. 解得 a=-1， b=2. ∴二次函数表达式为y=－x2＋2x+1. A（0，1），B（1，2），C（2，1） 方法三 解：A（0，1）与C（2，1）的纵坐标相同， ∴ A， C两点关于二次函数的对称轴对称. ∴根据对称轴性质可得对称轴的横坐标 . ∴所以B（1，2）为二次函数的顶点. 则可设 ， 将A（0，1）代入 ， 解得a=－1. ∴二次函数表达式为y=－(x－1)2＋2 =－x2＋2x+1. 已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式. 除了用“一般式”还有其他的方法吗？ 如果已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为( x1，0 )， ( x2，0). 那么可设二次函数的表达式为：y=a(x－x1)(x－x2) 再将另一个已知点的坐标带入，解方程求出a的值即可. 交点式 解：设二次函数的表达式为y=a(x＋1)(x－3). 将 (0，－3) 代入，可得 a(0＋1) (0－3) =－3 解得a=1 ∴二次函数表达式为y=(x＋1)(x－3)=x2－2x－3 交点式 3. (12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c部分自变量x与函数值y的对应值如下表：   (1)求二次函数的表达式； x … －2 －1 0 1 2 …   y … －5 0 3 4 3 …   中考考法 中考考法 解：二次函数的图象如图． (2)在如图的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当－3≤x≤2时，y的取值范围是________. －12≤y≤4 返回 中考考法 16 返回 4. x －1 0 1 ax2     1 ax2＋bx＋c 8 3   若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是(　　) A．y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8 A 中考考法 5. 返回 C 中考考法 6. (8分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C，D(0，－6). (1)求抛物线的函数表达式； 中考考法 中考考法 (2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在． 令y＝0，则x2－5x－6＝0， 解得x1＝－1，x2＝6，所以C(6，0)． 过P，B分别向x轴作垂线PM，BN，垂足分别为M，N. 中考考法 返回 中考考法 课堂小结 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c y=a(x－x1)(x－x2) 二次函数的3种表达方式 顶点式 交点式 一般式 y＝－x2＋x＋4 解：当x＝－2时，y＝－5；当x＝－1时，y＝0； 当x＝0时，y＝3， 所以解得 所以二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，若抛物线y＝ax2＋bx－2经过A，B，C三点中的两个，则符合题意的a的最大值是(　　) A．－ B． C． D． 解：将点A(－1，0)，B(5，－6)，D(0，－6)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得解得 所以y＝x2－5x－6. 设P(m，m2－5m－6)，四边形PACB的面积为S， 则PM＝－m2＋5m＋6，AM＝m＋1，MN＝5－m，CN＝6－5＝1，BN＝6，所以S＝S△AMP＋S梯形PMNB＋S△BNC ＝(－m2＋5m＋6)(m＋1)＋(6－m2＋5m＋6)(5－m)＋×1×6 ＝－3m2＋12m＋36＝－3(m－2)2＋48，易知－1<m<5， 所以当m＝2时，S有最大值，为48， 这时m2－5m－6＝22－5×2－6＝－12，所以P(2，－12)． $