精品解析：江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（七）

南昌一中2025-2026学年度高三数学周练七 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出集合，逐一验证即可. 【详解】由， 所以，故A错误，，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，由此可得出结论. 【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得. 故选：C. 4. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 5. 将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移变换得到，然后根据正切函数的性质得，结合的范围即可求解. 【详解】依题意，函数的最小正周期为 由为奇函数，可得,即， 因为，所以当时，. 故选：D. 6. 已知a，b为空间不重合的两条直线，为空间不重合的两个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行判定定理可判断A错误，B错误，由线面垂直性质可知C正确，利用线面垂直性质以及线面平行判定可知D 错误. 【详解】对于A，若，当，满足，如下图所示： 但此时相交，即A错误； 对于B，结合A中分析可知当时，满足，如下图所示： 但此时相交，即B错误； 对于C，如下图： 显然当时，成立，即C正确； 对于D，当时，满足，如下图所示： 但此时不成立，即D错误. 故选：C 7. 已知表示不超过的最大整数，.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由对数和指数的运算性质可得. 【详解】因为，所以，则， 又，则，所以， 所以，则，所以， 因为，，则， 因为，则两边同取根号得， 所以，则， 所以，则， 因为，，即，所以，即， 综上，. 故选：C. 8. 设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得到或，分别求出两种情况下的排列个数，相加即可. 【详解】对一切恒成立， 即， 或， 对于第一类：3必须居下面，7必须居上面， 分别取6，7时，分别取3，4，5，有种排列方法， 分别取5，7时，若，则，此时与3，4可全排列， 若，则，此时与3，4可全排列，共有种排列方法， 综上，第一类共有种排列方法， 同理第二类有16种排列方法，故共有32种起伏排列. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的性质可得，结合基本不等式判断各选项的结论. 【详解】随机变量，，， 则有， 所以，A正确； ，，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ， 当且仅当且，即，时等号成立，D正确. 故选：ACD. 10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ） A. B. C. 与面积之比为3 D. 面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程由求出的值判断选项A；由求出点坐标，得直线MN的斜率和的值判断选项B；联立方程组利用韦达定理求出点坐标，可求与面积之比判断选项C；结合的坐标求出面积判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为， ，即，解得，A选项正确； 抛物线，由，可得，. 直线MN的斜率为，则，B选项错误； 直线MN方程为，代入抛物线中有， 则有，得， ， 与面积之比为，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 当时， D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D. 【详解】对于A，设，定义域为， 则，故为奇函数，A正确； 对于B，，则， 故，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，设，则，则， 则曲线在点处的切线方程为，即，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】令求出，然后求出展开式中的常数项和含的项，分别与因式中的项相乘可得. 【详解】令可得，解得， 的展开式中通项，， 分别令，得， 所以展开式中的常数项和含的项分别为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 13. 在三棱锥中，平面于点，则三棱锥外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】借助线面垂直的性质定理可推导出，则可得中点即为三棱锥外接球的球心，再得到半径后结合球体表面积公式计算即可得. 【详解】如图，平面，平面，， 又，、平面，， 平面，又平面，， 又，、平面，， 平面，又平面，， 而，， 取中点，则在与中， ， 故点即为三棱锥外接球的球心，且其半径， 三棱锥外接球的表面积. 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别为．则的面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，结合正弦定理得出的关系①，再利用余弦定理结合已知条件得出的关系②，联立①②解出，再利用结合三角形内角的性质求出，最后根据面积公式求解． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ①， ， ②， 联立①②得：， ，， ， ， 故答案为：． 15. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能 （2） 的分布列如下表 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）由2×2列联表直接求解即可 （2）首先求出名教师中经验丰富和经验不丰富教师的人数，然后根据超几何分布求出对应的概率并列出分布列，最后根据期望公式求出期望. 【小问1详解】 零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关， 由题意， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关. 【小问2详解】 由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人， 则可取的值有， ，， ，，， 的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面. （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：取棱的中点O，连接， ，则，， 因为是等边三角形，且O是的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）取棱的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，则，， 设，,则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）集合，将集合的所有非空子集中最小元素相加，其和记为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列递推式可得，利用累乘法即可求得答案； （2）由题意依次求出最小元素为的子集个数，即可求出的表达式，结合错位相减法求和，即得答案. 【小问1详解】 依题意，， 则时，，当时满足该等式. （另解：.） 【小问2详解】 由题意知，M的非空子集有个， 其中最小元素为2的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有， 含3个元素的集合有，，含n个元素的集合有， 故最小元素为2的子集个数有， 同理最小元素为3的子集个数有个， ， 最小元素为的子集个数有1个， ① ② ②－①得. 18. 在中，分别是角的对边，，且. （1）求. （2）设是线段的中点，在线段上，且. ①求面积的最小值； ②求线段的长度的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合可得，利用余弦定理即可； （2）①过点作，得出，再在中利用正弦定理以及两角和差公式得出，利用来表示面积，结合基本不等式可求解； ②由①得出，再构造函数，通过求导研究其单调性，求最值即可. 【小问1详解】 利用正弦定理可化简为， 因为，则，即， 则； 【小问2详解】 ①过点作，垂足为，则，则， 在中利用正弦定理， 有，得， 则 ， 等号成立时，， 故面积的最小值为； ②由①可知，， 令， 则， 令，则， 则得，即； 得，即， 则在上单调递减，上单调递增， 则， 故的最小值为. 19. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）1 【解析】 【分析】（1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 【小问2详解】 （i）略 （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高三数学周练七 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b为空间不重合的两条直线，为空间不重合的两个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知表示不超过的最大整数，.若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 36 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ） A. B. C. 与面积之比为3 D. 面积为 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 当时， D. 曲线在点处的切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为______. 13. 在三棱锥中，平面于点，则三棱锥外接球的表面积为________. 14. 在中，角的对边分别为．则的面积为_______. 15. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面. （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）集合，将集合的所有非空子集中最小元素相加，其和记为，求. 18. 在中，分别是角的对边，，且. （1）求. （2）设是线段的中点，在线段上，且. ①求面积的最小值； ②求线段的长度的最小值. 19. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $