5.3.2 第1课时 函数的极值 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“函数的极值”，通过过山车轨道高低起伏、高台跳水运动员高度变化的现实情境导入，连接导数与函数单调性，搭建从直观现象到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过合作探究中“f(x)=x³导数为0却非极值点”的反例分析发展数学思维，典例与方法归纳用规范步骤强化数学语言。采用情境导入、合作探究等方法，课堂小结用“波峰波谷”比喻，帮助学生理解极值本质，教师可直接使用完整教学流程提升效率。

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2（1）函数的极值 导入新知：过山车轨道的高低起伏分析 导入新知：过山车轨道的高低起伏分析 A 新知探究 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 问题1 函数h(t)在此t = a处的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? t h O a b (1) 放大t=a附近的图象, 如图(2)所示. (2) 新知探究 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 函数f (x)在x=a处的函数值比它附近的函数值都小. 函数f (x)在x=b处的函数值比它附近的函数值都大. 以x=a, b两处为例 f ′(a)=0 f ′(b)=0 在x=a附近 左侧递减f ′(x)<0, 右侧递增f ′(x)>0 在x=b附近 左侧递增f ′(x)>0, 右侧递减f ′(x)<0 概念生成 •极小值点与极小值：若函数y=f(x)在 x=a 处的函数值比它在点x=a附近其它点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在x=a 附近的左侧 f'(x)<0、右侧 f'(x)>0，则 a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f (a) 叫做函数y=f(x)的极小值。 •极大值点与极大值：若函数 f (x) 在 x=b 处的函数值比它在点x=b附近其它点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在x=b 附近的左侧 f'(x)>0、右侧 f'(x)<0，则 b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f (b) 叫做函数y=f(x)极大值。 极小值点、极大值点统称为极值点——自变量(横坐标) 极小值和极大值统称为极值——函数值(纵坐标) (1) b (2) 概念生成 图中的极大值点为 极小值点为 极大值为 极小值为 b、d a、c、e f(b)、f(d) f(a)、f(c)、f(e) 思考2：一个函数的极小值一定小于极大值吗？ 思考1：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？ 合作探究 思考3：若f '(x0)=0，则x0一定是极值点吗？ 思考2：一个函数的极小值一定小于极大值吗？ 思考1：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？ 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小 合作探究 不一定；一个函数可能有多个极大值和极小值 x y O f (x) ＝x3 x y O x y O f (x)＝x O b x y c a d y = f (x) 思考3：若f '(x0)=0，则x0一定是极值点吗？ 不一定 合作探究 f ′(x0)=0 x0左右两侧导数异号 x0为极值点 x y O f (x) ＝c x y O f (x) ＝x3 跟踪练习 典例分析 例5 单调递增 单调递减 单调递增 解： 求导 求f ′(x)=0的根 求极值 列表 f(x)的定义域为R 求定义域 方法归纳 求可导函数f (x)极值的步骤： （1）确定函数的定义域 （2） 求导数f ′(x)； （3）求方程f ′(x)=0的根 （4）由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号，来判断f (x)在这个根处取极值的情况 （5）求极值 求定义域—求导—求临界点—列表—求极值 巩固练习 解： 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) 巩固练习 课堂小结 一、极小值、极大值的概念 二、求可导函数f (x)极值的步骤 （1）确定函数的定义域 （2） 求导数f ′(x)； （3）求方程f ′(x)=0的根 （4）由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号， 来判断f (x)在这个根处取极值的情况。 （5）求极值 求定义域—求导—求临界点—列表—求极值 波峰时别骄傲，因为函数还会向下延伸；波谷时别气馁，因为下一段就是向上的区间。 课后作业 1.教材92页练习题 2.某科研团队研究发现，某种细菌的数量y（单位：个）与培养时间t（单位：小时）的函数关系为y=te⁻ᵏᵗ（k为正常数）。求细菌数量增长的极值点。 拓展延伸 因为，所以． 令，解得，或． 当变化时，、的变化情况如表所示． 因此，当时，有极大值，并且极大值为． 当时，有极小值，并且极小值为． x － 0 ＋ 单调递减 单调递增 所以函数 的极小值为 ,无极大值． 求下列函数的极值： (1) ; (2) ． (1) 的定义域为 , . 令 ,解得： ,列表得： 求下列函数的极值： (1) ; (2) ． $