山东省青岛市城阳区第六中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年度九上数学期末模拟考试试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】移项后分解因式即可求解． 【详解】， ， x(x-1)=0， ， 故选C 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法解方程的一般步骤为：（1）移项：将方程的右边化为零；（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）转化：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，达到降次的目的；（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 3．在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据“2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，”即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据题意得： ． 故选：D 4．在△ABC中，若，则∠C的度数是(   ) A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵|sinA−|+(1−tanB)2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C． 【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°. 5．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、菱形的面积的计算，证明四边形是菱形是解题的关键． 作于，作于，连接交于点，先证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出的长，从而得到的长，最后由菱形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，作于，连接交于点，    两条纸条的宽度相同， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 6．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（   ） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1 【答案】D 【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可． 【详解】由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(-6，4)，B(-3，0)．以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（        ) A．(2，-1) B．(3，-2) C． D． 【答案】B 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点A的横纵坐标乘以即可得到答案． 【详解】∵△OAB与OCD关于原点O位似，位似比为， 设点C坐标为， 点A坐标为，点A与点C是对应点， ，， ∴C点坐标为：（3，-2） 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 8．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则线段的长为(   ) A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，平行四边形的判定和性质，关键是判定，推出，判定四边形是平行四边形，判定，推出，求出，判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：． 9．如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 连接，，设与轴交于点，由轴，则，然后由反比例函数比例系数的几何意义得出，最后由图象即可求解． 【详解】解：连接，，设与轴交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10．如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线．以下结论：；；关于的方程一定有两个不相等的实数根；当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据抛物线的开口方向和对称轴以及与轴的交点即可判断，利用抛物线的对称轴即可判断，由图象结合抛物线的性质即可判断和． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线交轴于负半轴， ， ， ， ，故正确； 抛物线的对称轴是直线， ， ，故正确； 由图象可知，抛物线与轴交于不同的两点， 关于的方程一定有两个不相等的实数根，故正确； 由抛物线的对称性以及对称轴得：抛物线与轴的两个交点坐标为，， 当时，，故正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．由已知条件，将所求表达式拆分为，然后代入计算． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 12．日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可． 【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线， ∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影． 13．将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解答关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来进行求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位， 得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 14．如图，温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当时，可判断应满足的条件． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， ∴， 由已知得图象在第一象限内， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∵当气球内的气压时，气球将爆炸， ∴为了安全起见即，气球内气体体积满足的条件是，即不小于． 故答案为：． 15．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是 ．    【答案】m 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是， 故答案为：m． 16．如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、作图题（本小题4分） 17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．在四边形中找一点，使到，的距离相等，且． 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图——垂直平分线和作一个角等于已知角，掌握基本作图方法是解题关键．根据垂直平分线的作法作的垂直平分线，再以为角的顶点，为角的一边，如图作等于，交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求作． 四、解答题本大题共8个小题，共68分） 18．（每题4分，共8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用因式分解法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：因式分解得，， ∴或， ∴，． 19．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求m． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 20．（6分）一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回．搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球次数 50 100 200 400 1000 2000 摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为______（精确到），由此估计出袋子中红球有______个； (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率． 【答案】(1)0.33，2 (2) 【分析】本题了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率所求事件的结果数总的结果数是解题的关键．． （1）根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可； （2）画出树状图，根据概率=所求事件的结果数÷总的结果数计算求值即可； 【详解】（1）通过观察表格可知频率在0.33附近摆动 设红球有 x 个，则摸到白球的概率为 ​ ． 已知摸到白球的频率稳定在0.33附近摆动， 因此可以建立方程： 解这个方程得到 ． 经检验：是方程的解， 所以红球共2个； （2）将两个红球分别记作红1、红2，列表如下： 第一个第二个 白 红1 红2 白 （红1，白） （红2，白） 红1 （白，红1） （红2，红1） 红2 （白，红2） （红1，红2） 共有6种等可能的结果， 其中恰好摸到两个不同颜色的球的情况有4种， （红1，白）、（红2，白）、（白，红1）、（白，红2）。 则P（不同颜色）． 21．（8分）如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1)见解析 (2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； 选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：选①时，四边形是菱形； 理由：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴平行四边形是菱形； 选②时，四边形是矩形； 理由：如图， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22．（6分）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下实践报告： 对象 太谷白塔 目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】太谷白塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 太谷白塔的高度约为． 23．（6分）如图，等腰直角三角形的腰长为2． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______． (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 【答案】(1)12 (2)30 (3) 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用： （1）利用梯形面积公式求解； （2）利用梯形面积公式求解； （3）用含n的式子表示出梯形的上底、下底、高，利用多项式乘多项式的运算法则求解． 【详解】（1）解：等腰直角三角形的腰长为2， ， ，， 四边形是矩形， ，，， 四边形的面积为：， 故答案为：12； （2）解：由题意得 ，， ，，， 四边形的面积为：， 故答案为：30； （3）解：由题意得 ，， ，， 四边形的面积为：， 故答案为：. 24．（8分） 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元．知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】24元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设每件降价m元，每天的利润为W元，根据每天的利润等于每件商品的利润乘以销售量列出W关于m的二次函数关系式，再求出m的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每件降价m元，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随m增大而增大， ∴当时，W有最大值， 答：每件应降价24元才能使每天获得的利润最大． 25．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，连接BE，EF⊥BE交AD于点F．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？ （2）连接PQ，设五边形AFEPQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）y＝；（3）存在，t的值为3或5；（4）存在，t的值是 【分析】（1）在Rt△ECB中，根据勾股定理，得BE＝20，过P作PG⊥QB于G，证明△PBG∽△BEC，根据相似三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的性质求出DF、PG的长，由面积的和差即可得出S与t的关系式； （3）根据S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD＝33∶64，列出方程，解方程即可解答； （4）过Q作QM⊥EF于M，若点Q在∠AFE的平分线上，则QM＝QA，分别延长EF、BA相交于点O，根据相似三角形的性质求出QM＝，从而得到＝3t，解方程即可解答． 【详解】解：∵AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点， ∴CE＝12cm， 在Rt△ECB中，根据勾股定理，得BE＝20（cm）， 过P作PG⊥QB于G， 若点P在线段BQ的垂直平分线上， 则PQ＝PB，GB＝BQ＝（24﹣3t）， ∵∠C＝∠PGB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠PBG＝∠BEC， ∴△PBG∽△BEC， ∴，即， ∴t＝， ∴当t＝时，点P在线段BQ的垂直平分线上； （2）∵四边形ABCD是矩形，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点， ∴DE＝CE＝12，∠C＝∠D＝90°，∠DEF＋∠DFE＝90°， ∵EF⊥BE， ∴∠DEF＋∠CEB＝90°， ∴∠DFE＝∠CEB， ∴△DFE∽△CEB， ∴，即， ∴DF＝9， 由（1）知，△PBG∽△BEC， ∴，即， ∴PG＝， ∴五边形AFEPQ的面积y＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S△DEF﹣S△PBQ ＝24×16﹣×12×16﹣×12×9﹣（24﹣3t）× ＝， ∴y与t的函数关系式为：y＝； （3）∵S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD＝33∶64， ∴＝×24×16，即t2﹣8t＋15＝0， 解得：t1＝3，t2＝5， ∴存在，t的值为3或5； （4）过Q作QM⊥EF于M，若点Q在∠AFE的平分线上，则QM＝QA，分别延长EF、BA相交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴△OAF∽△EDF， ∴， ∴OA＝， ∴OB＝AB＋OA＝24＋＝， ∵QM⊥EF，EF⊥BE， ∴QM∥BE， ∴，即， ∴QM＝， ∴， 解得：t＝． 答：存在，t的值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、面积的计算等知识；解题关键是用速度时间表示线段长，根据题意列出方程或比例式． 试卷第14页，共24页 试卷第1页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九上数学期末模拟考试试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．， D．， 2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 3．在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为(      ) A． B． C． D． 4．在△ABC中，若，则∠C的度数是(   ) A．45° B．60° C．75° D．105° 5．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C． D． 6．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（   ） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1 7．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(-6，4)，B(-3，0)．以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（        ) A．(2，-1) B．(3，-2) C． D． 8．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则线段的长为(   ) A．10 B．9 C．6 D．5 9．如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线．以下结论：；；关于的方程一定有两个不相等的实数根；当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若，则 ． 12．日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 投影．（填“平行”或“中心”） 13．将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ． 14．如图，温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ． 15．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是 ．    16．如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 三、作图题（本小题4分） 17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．在四边形中找一点，使到，的距离相等，且． 四、解答题（本大题共8个小题，共68分） 18．（每题4分，共8分）解方程： (1)； (2)． 19．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求m． 20．（6分）一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回．搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球次数 50 100 200 400 1000 2000 摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为______（精确到），由此估计出袋子中红球有______个； (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率． 21．（8分）如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 22．（6分）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下实践报告： 对象 太谷白塔 目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 23．（6分）如图，等腰直角三角形的腰长为2． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______． (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 24．（8分） 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元．知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 25．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，连接BE，EF⊥BE交AD于点F．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？ （2）连接PQ，设五边形AFEPQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第14页，共24页 第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 $