精品解析：江苏省南京市联合体2025-2026学年八年级上学期数学期末复习仿真模拟练习卷

2025-2026学年南京市联合体八年级上学期数学期末复习练习卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上． 3．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中中对应的位置上 4．测试范围：新教材苏科版八年级上册全部内容 5．难度系数：0.65． 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1. 在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）个． A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A. B. C. D. 8. 正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 9. 年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为_________． 10. 已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是______． 11. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则取值范围是_____． 12. 如图，在中，平分，．若，，则________． 13. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 14. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为______． 15. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． 16. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 17. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 18. 平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 三、解答题（本题共9小题，合计64分．计算题要写出完整步骤！） 19. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 20. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根和的立方根． 21. 如图，在中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中画出关于原点成中心对称，点，，的对应点分别为，，，并直接写出点的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出向右平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到的，点，，的对应点分别为，，； （3）与关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标． 23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 24. 如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝18，AC＝6，求AF的长度． （3）直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系． 25. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离与行驶时间的函数关系如图（折线为快车，线段为慢车）： （1）甲、乙两地相距______，快车速度是______，慢车速度是______； （2）求图中点的坐标； （3）请求出慢车出发多长时间后，两车相距？ 26. 在平面直角坐标系与几何图形变换综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】 （1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：； 【一次函数与旋转交线】 （2）如图2，将图1以原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点． ①求边所在直线函数表达式； ②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点坐标】 （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 27. 综合与实践 某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． 特例感知 如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）的形状是________． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究 （3）如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段，和的数量关系． 拓展应用 （4）如图3，在四边形中，，是对角线，若，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南京市联合体八年级上学期数学期末复习练习卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上． 3．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中中对应的位置上 4．测试范围：新教材苏科版八年级上册全部内容 5．难度系数：0.65． 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1. 在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 中是无理数，故属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； （每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数， 无理数有、、（每两个之间依次多一个），共个， 故选：C． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 3. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故选：A． 4. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号是关键． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 5. 如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 6. 如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质、直线与三角形边的交点问题，确定直线的定点是解题关键． 先确定直线恒过定点，结合图形可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，求出直线过顶点、时的值即可得出的取值范围． 【详解】解：对于， 当时，令，即，解得，此时点的坐标为， 当时，令，此时直线为轴，直线经过点， 综上所述，直线一定经过点， 由图可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； 由图可知，当直线和的边有公共点时的取值范围为． 故选：． 7. 如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 8. 正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 9. 年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的近似数，将24986精确到1000人，即四舍五入到千位，需看百位数字．百位数字为9，，故向千位进1，再用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：24986精确到1000人，即精确到千位．百位上的数字是9，，因此向千位进1，千位4变为5，后面各位变为0，故近似数为25000． ； 故答案为：． 10. 已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性，等边三角形的定义， 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分都为零，进而得到且，求出，即可得到是等边三角形． 【详解】∵，，且， ∴且， ∴且， 解得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 11. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标关系，求不等式组的解集．根据关于原点对称的点的坐标关系，得出点的对称点坐标，再根据第四象限点的坐标符号特征列出不等式组求解． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为在第四象限， ∴ 解得： 故答案为：． 12. 如图，在中，平分，．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过D作于F，利用角平分线的性质定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解： 过D作于F， ∵平分，，， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 13. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式， ∴y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 14. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为______． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 15. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 16. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形．在直角中利用勾股定理即可求得的长，则、的横坐标可以求得，则点的纵坐标就是点的纵坐标，由此得出点的坐标；设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，从而求得的纵坐标． 【详解】解：在直角中，， 则，即、的横坐标是， 则点坐标为； 设，则， 在直角中，， ， 则， 解得：． 故的坐标是． 17. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 18. 平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 三、解答题（本题共9小题，合计64分．计算题要写出完整步骤！） 19. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 则， 解得． 20. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求出a，b的值； （2）求的平方根和的立方根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴的平方根为，的立方根为． 21. 如图，中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． 【小问2详解】 解：， ， ． ， ， 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中画出关于原点成中心对称的，点，，的对应点分别为，，，并直接写出点的坐标； （2）在平面直角坐标系中画出向右平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到的，点，，的对应点分别为，，； （3）与关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标． 【答案】（1）作图见解析，点的坐标为 （2）作图见解析 （3）对称中心的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征、图形的平移以及关于某点对称的对称中心的确定，解题的关键是掌握平移变换、中心对称的性质． （1）根据中心对称图形的性质得到其对应点，然后顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到其对应点，然后顺次连接即可； （3）在平面直角坐标系中，如果两个图形关于某点中心对称，那么对称中心是对应点连线的中点，连接线段，，线段交点即为该对称中心． 【小问1详解】 解：如答图所示， 点的坐标为； 【小问2详解】 如答图所示； 【小问3详解】 对称中心坐标为． 23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】（1）正确，见解析； （2）风筝垂直下降的高度为 【解析】 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【小问1详解】 解：他的说法正确． 理由如下： ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，． 【小问2详解】 由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 24. 如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝18，AC＝6，求AF的长度． （3）直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）AF=6 （3） 【解析】 【分析】（1）连接BD、CD，然后结合垂直平分线定理得到BD=CD，角平分线定理得到DG=DF，进而得证DBGDCF，最后得到BG=CF； （2）结合全等三角形的性质得到BG=CF，然后证明DGADFA得到AG=AF，进而利用已知条件求出AF的长； （3）先根据全等三角形的性质求出，，再根据等量代换求解即可． 【小问1详解】 证明：连接BD、CD， ∵ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB， ∴BD=CD，DG=DF，∠DGB=∠DFC=90°， ∴RtDBGRtDCF（HL）， ∴BG=CF． 【小问2详解】 解：∵AD平分∠BAF， ∴∠DAG=∠DAF， ∵DF⊥CA，DG⊥AB， ∴∠DGA=∠DFA=90°，DG=DF， ∴DGADFA（AAS）， ∴AG=AF， ∵BG=ABAG，CF=AF+AC，CF=BG， ∴ABAF=AF+AC， ∵AC=6，AB=18， ∴18AF=AF+6， ∴AF=6． 【小问3详解】 解：∵DBGDCF， ∴， ∵DGADFA， ∴， ∵， ∴ = = =． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是连接BD、CD构造全等三角形． 25. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离与行驶时间的函数关系如图（折线为快车，线段为慢车）： （1）甲、乙两地相距______，快车速度是______，慢车速度是______； （2）求图中点的坐标； （3）请求出慢车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】（1）400，100，40 （2） （3）慢车出发或或后，两车相距 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据图象及速度＝路程÷时间计算即可； （2）根据路程＝速度×时间分别求出线段、所在直线的函数关系式，二者联立建立关于和的二元一次方程组，求解即得点的坐标并描述其实际意义即可； （3）按照的取值范围，当两车相距时分别列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲、乙两地相距， 快车速度是：， 慢车速度是：． 故答案为：400，100，40． 【小问2详解】 线段所在直线的函数关系式为：， 设线段所在直线的函数关系式为：， 将点代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数关系式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． 【小问3详解】 当时， ，解得； 当时， ，解得（舍去）； 当时， ，解得； 当时， 解得． 综上所述，慢车出发或或后，两车相距． 26. 在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”． 【图形旋转与全等】 （1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：； 【一次函数与旋转交线】 （2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点． ①求边所在直线的函数表达式； ②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标． 【面积与点的坐标】 （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）证明见解析； （2）①边所在直线的函数表达式；②点的坐标为； （3）点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）通过旋转的性质证明，再根据证明为等腰直角三角形，进而证明； （2）①先求出、两点的坐标，根据旋转的性质可得出、两点的坐标，进而求出直线的表达式；②根据直角三角形的性质可证明直线与直线垂直，再根据点到直线的距离垂线最短，可知当点与点重合时，最小，联立两直线方程即可求解． （3）由（2）可知在边的高为，根据面积可求出．设点坐标为，过点向轴做垂线，垂线与直线交于点，则可得，再将、、表示出来，根据勾股定理求出，再分别以和为底计算的面积，据此建立方程，求出后分类讨论即可得出点坐标． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， , ， ，则为等腰直角三角形， ． （2）①解：边所在直线为， 令，则，令，则， 点A的坐标为，点B的坐标为， 根据旋转的性质，点的坐标为，点的坐标为， 设所在直线为， 将坐标代入得， 可得， 直线表达式为． 答：边所在直线的函数表达式． ②解：，，， ， ， 直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短， 当点与点重合时，的值最小， 联立直线与直线，可得 ， 解得， 故点坐标为． 答：当的值最小时，点的坐标为． （3）解：如图，过点作垂直于轴，与交于. 设点， 可得，，． 设到直线的距离为，根据（2）可知直线与直线垂直，故． ，的面积为30， ，可得， ， ， ， 当以为底时，的面积可表示为：， 当以为底时，的面积可表示为：， ， ， ，即， 当，解得， 将代入，得， 点坐标为； 当，解得， 将代入得， 点坐标为． 综上，点坐标为或． 答：点坐标为或． 【点睛】本题考查图形旋转的性质、一次函数的解析式求解、垂线段最短、三角形面积与点到直线距离．将三角形面积转化为点到直线的距离，进而列方程求解动点坐标是解题关键． 27. 综合与实践 某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． 特例感知 如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． （1）的形状是________． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究 （3）如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段，和的数量关系． 拓展应用 （4）如图3，在四边形中，，是对角线，若，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）直角三角形；（2），理由见解析；（3）；（4）3． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，即可求解； （2）根据旋转的性质可得，推出，，然后可求得，即可得到答案； （3）过点作，易证，，然后证得，可知，得到，结合勾股定理即可推出结论； （4）根据题意可知是等边三角形，将绕点顺时针旋转得到，连接，则有，，，进而得到为等边三角形，然后结合已知易得，从而根据勾股定理得到，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴ ， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）． 理由：由旋转可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图1，过点作， 则． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得， ∴． （4）如图2．将绕点顺时针旋转得到，连接． ∵，， ∴是等边三角形． 由旋转的性质知，，， 则为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质和判定，灵活运用以上知识点并利用辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $