精品解析：甘肃省陇南市2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025—2026学年八年级第一学期期末监测 数学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，春节临近，彩纸巧剪，送给人们真挚的新年祝福．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. 如图所示，用尺规作图“作一个角等于已知角”，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 6. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 18 7. 如果是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 6 D. 8. 如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 9. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 数据0.0000000072用科学记数法可以表示为______． 12. 分解因式：2x2﹣8=_______ 13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 14. 已知，，则的值为___________． 15. 如图，，，若，则等于____． 16. 在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解：． 18. 计算：． 19. 解方程：． 20. 如图，，，．求证：． 21. 先化简，然后从，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出对应点的坐标． （2）在轴上求作一点P，使得的值最小，请在图中作出点P． 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图，是的高，是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 24. 如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当，时，求这个盒子底面面积． 25. 【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）； （2）． 26. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 27. 已知：，点是平分线上的一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． （1）如图1，若，连接，作于点，则和的数量关系是_____． （2）如图2，若，连接，试判断的形状，并说明理由． （3）如图3，当，点在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级第一学期期末监测 数学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，春节临近，彩纸巧剪，送给人们真挚的新年祝福．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项，选出符合题意的即可． 【详解】解：A项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以不是轴对称图形，故A错误； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以是轴对称图形，故B正确； C项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以不是轴对称图形，故C错误； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半互相重合，所以不是轴对称图形，故D错误， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘除、幂的乘方以及合并同类项．根据指数运算的基本规则逐一判断各选项的计算是否正确即可． 【详解】解：A项：，故A错误； B项：，故B错误； C项：，故C错误； D项：，故D正确， 故选：D． 3. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 4. 如图所示，用尺规作图“作一个角等于已知角”，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定．利用基本作图得，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得， 则可根据“”判定， 所以． 故选：A． 5. 把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 6. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：C． 7. 如果是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式可进行求解． 【详解】解：∵， ∴如果是一个完全平方式，则m的值是9； 故选B． 【点睛】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 8. 如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干信息可知，本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，通过线段间的等量代换即可求解． 【详解】∵△ABC为等腰三角形， ∴AB=AC， ∵BC=5， ∴2AB=2AC=21—5=16，即AB=AC=8， 而DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE=AE，故BE＋EC=AE＋EC=AC=8， ∴△BEC周长=BC＋BE＋EC=5＋8=13， 故选A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． 9. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 10. 如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠CAE=2∠ACB， ∵AD平分∠CAE， ∴∠CAE=2∠CAD， ∴∠CAD=∠ACB， ∴AD∥BC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC， ∴∠ACB=2∠ADB，故②错误； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB， ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90°，故③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC，∠ADC=∠DCF， ∵∠ADC+∠ABD=90°， ∴∠ADC=90°-∠ABD=， ∴， ∴∠BDC=90°-2∠ABD， ∴，故④错误． 故选：B 【点睛】此题考查了三角形外角性质，有关角平分线的计算，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 数据0.0000000072用科学记数法可以表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．对于小于1的数，n为负整数，其绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：将0.0000000072用科学记数法表示，需将小数点向右移动9位得到7.2，由于原数小于1，故，因此表示为． 故答案为：． 12. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 13. 已知等腰三角形两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为8，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当腰长为3时，不能构成三角形，不符合题意； ②当腰长为8时，，符合题意，此时周长为； 故答案为：19． 14. 已知，，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式，掌握完全平方公式的常用变形是解此题的关键． 利用完全平方公式的变形得到，再代入求解即可． 【详解】解：∵ 当时，原式， 故答案为：6． 15. 如图，，，若，则等于____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 在中，，和平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =， 故答案为：12． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，先利用平方差公式与完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ； 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键．通过观察分母关系，将方程简化后求解，并检验分母不为零． 【详解】解： 原方程化为：， 两边同乘（且）得：， 展开：， 化简：， ∴， ∴， 检验：当时，，满足条件， ∴ 原方程的解为． 20. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用证全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 21. 先化简，然后从，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分，然后根据分式乘法和除法的运算法则化简，再结合分式有意义的条件代入一个合适的a值即可． 【详解】解：原式 ， 由题意得，，，， ，0，1，， 当时，原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出对应点的坐标． （2）在轴上求作一点P，使得的值最小，请在图中作出点P． 【答案】（1）作图见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）作出的三个顶点关于轴的对称点，，，依次连接即可得到，进而可得到的坐标； （2）作点A关于y轴的对称点，连接，交轴于点，即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，关于x轴的对称图形， ∴． 【小问2详解】 解：如图，点P为所求． ∵点A与关于y轴的对称点， ∴，则，根据两点之间线段最短， ∴连接，则与轴的交点即是点的位置． 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图，是的高，是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形有关的角和线段，掌握三角形内角和定理与外角的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，由高的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理计算出，由角平分线的定义得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∵是的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24. 如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当，时，求这个盒子底面的面积． 【答案】（1） （2）63 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减运算，代数式求值，正确化简计算是解题的关键． （1）根据题意可知，这个盒子的长=等于长方形铁皮的长2倍的正方形的边长，这个盒子的宽=等于长方形铁皮的宽2倍的正方形的边长，由此求解即可得到答案； （2）把，代入求值即可 【小问1详解】 解：盒子底面的面积为： 【小问2详解】 解：当，时，盒子底面的面积为：． 25. 【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 26. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或或0或2． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）； （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或0或2． 27. 已知：，点是平分线上的一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． （1）如图1，若，连接，作于点，则和的数量关系是_____． （2）如图2，若，连接，试判断的形状，并说明理由． （3）如图3，当，点在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）的形状是等边三角形．理由见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义，角平分线的性质定理得到，，再证，得到，即可求解； （2）证明：如图所示，过点作于点，则，根据题意得到，根据四边形的内角和定理得到，可证，得到，根据等边三角形的判定即可求证； （3）根据题意可证，得到，再证，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵，点是平分线上的一点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下， 证明：如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵点是平分线上的一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 解：，理由如下， 证明：如图所示，过点作于点， ∵点是平分线上的一点，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $