山东省枣庄市第三中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

枣庄三中高二年级第一学期1月月考考试 数学试题 本试卷分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。满分150分，考试用时120分钟。答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上，且OM=2MA,N为BC中点， 则N等于() B 1a+2+1e A. B2a++c1a+6-1D2a+26-1 232 322 2 22 3 32 2.设直线1的方程为x-ysnθ+2=0，则直线1的倾斜角的范围是( A[0,π] ππ π3π 42 44 D ,,3 42(24 3.与直线3x-4y+5=0关于y轴对称的直线的方程为( A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0 4曲线 259=1与曲线、x ,y2 y2 一+ =1(m<9)的() 25-m9- A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在() A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线 D.一个圆上 6.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开 始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这 数学试题第1页（共4页） 一过程，就得到一条雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中 图形的周长依次记为C1,C2,C3,C4,则C4=() ② ④ A28 64 128 C D. 9 9 27 27 7.设F为抛物线C:y2=5x的焦点，过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N,若MF=5,则 ∠MFN=() A.120° B.90° C.60° D.30° 8.在长方体ABCD-AB,CD1中，AB=AD=2,AA=1,O是AC的中点，点P在线段AC1上， 若直线OP与平面ACD所成的角为0，则cosO的取值范围是() 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线：(m+1)x+2y-m-3=0,圆C:(x-2)+(y-1=25,点P为圆C上任意一点则 下列结论正确的是( ) A.直线1恒过定点（1,1) B.直线1与圆C恒有两个公共点 C.直线1被圆C截得最短弦长为2√6 D.当m=1时，点P到直线1距窝最大值为5+ 10.已知双曲线C: y2 =1(m∈R)的一条渐近线方程为2x-y=0,则() m+1m+7 A.(√6,0)为C的一个焦点 B.双曲线C的离心率为√5 C.过右焦点作直线与C交于A,B两点，则满足AB=14的直线有且只有两条 D.设A,B,M为C上三点且A,B关于原点对称，则MA,MB斜率存在时其乘积为4 数学试题第2页（共4页） 11.斐波那契数列指的是这样一个数列{an}：1,1,2,3,5,,从第3项开始，每一项都等于前两项 之和，即数列{a}满足4=1，a=1,a=a-1+a-2(n≥3)，记数列{a}的前n项和为Sn,则( ) A.a4,=55B.Sg=88C.S2025=42027-1D.41+a3+43+a2025=2026 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十 一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数 的2倍，则塔的顶层灯数为 13.已知点A(1,1,-1)在平面Q内，点P(0,2,1)在a外，且的一个法向量n=(2,1,-1),则点P到平面 o的距离为 14.已知4.B是双曲线C:亡-兰=1(a>0,b>0)的左、右顶点，4A®=4，P是双曲线C上的 a b 点，设直线AP的斜率为k,直线BP的斜率为，且k,= ,则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA'的 长为3，且∠AAB=∠AAD=120°. D' B D B (1)求AC"的长； (2)求异面直线BD与AC夹角的余弦值 16.(15分)已知圆心在直线y=-2x上的圆C经过点A(2,-1),且与直线x+y-1=0相切. (1)求圆C的标准方程； (2)设P为直线：x-2y+1=0上的点，若过点P引圆C的切线，切点分别为M和N,且满足 ∠MPN=60°，试求所有满足条件的点P的坐标. 数学试题第3页（共4页） 17.(15分)类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系： 只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”，“一”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地 就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立 (1)根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式： 名称 等差数列{a} 等比数列{也} ①4+an=42+an1=43+0m-2=. ① 常用性质 ② ②bb,.b=(bb)月 (2)在等差数列{a}中，若a04=0,则有4+a,+.+an=4+4+.+a4o47-n∈N*,n<404).相 应地，在等比数列{b}中，若b,25=1,请你类比推测出对偶的等式，并加以证明. (3)若等差数列an=2n-1,等比数列bn=3-1，令cn=abn,求数列{Cn}的前n项和T. 18.(17分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB,PC=2. C (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD; (2)若PA=PB,求平面PAC与平面PDC夹角的余弦值； (3)在(2)条件下，求三棱锥P-ABD外接球的表面积. 19a7列已第国r若云-a办>0)s过意c 2 且右焦点为F(1,0) (1)求椭圆E的标准方程： (2)若过右焦点F的直线与椭圆交于MN两点，且MW=3,求直线MN的方程； (3)若直线I过椭圆E的上顶点P,过椭圆E的右顶点A作直线AB⊥1，垂足为B,作直线AC/I交 椭圆E于点C,当△ABC面积最大时，求直线1的方程. 数学试题第4页（共4页）枣庄三中高二年级第一学期1月月考考试数学参考答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 B C A D B B C A ABD BD BCD 12 13 14 √6 5 3 2 2 15. 【解答】)因为AC=AB+AD+AA,所以AC=VAB+AD+A） ..2分 =VAB+AD+AA+2AB-AD+24BA4+2AD-44=5 ...4分 (2)BD=-AB+AD+A,所以BD=AB+AD+A④) .6分 =VAB+AD+4-24B4D-2AB44+24D44 =√17 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 .8分 AC-4B+AD.AC=2 .9分 BDAC=（-AB+AD+AAAB+AD)=-6;11分 cos<BD'.AC>= BD.AC-3√34 BDAC 349 …12分 所以异面直线BD与AC夹角的余弦值为3V34 ....13分 34 16.【解答】(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 因为圆心在直线y=-2x上，所以b=-2a, ..1分 因为圆C经过点A(2,-1),所以(2-a)2+(-1-b)2=2(r>0), 2分 因为圆C与直线+y-1=0相切，所以口+6=， 2 3分 b=-2a a=1 a+b-1 联列方程组 √5 ,解得b=-2, 6分 (2-a2+(-1-b)=r2 r=√反 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2..7分 数学试题答案第1页共6页 (2)因为∠MPN=60°，由对称性可知∠MPC=30°， 所以PC=2CM=2W2, 9分 且P在直线m:x-2y+1=0上， (x-1)2+(y+2=8 11分 x-2y+1=0 3 x=-1 x= 5 解得 y=0或 14分 所以点的坐标为(-10)安[) 15分 17. 【解答】(1)根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如下表： 名称 等差数列{a} 等比数列{b} ①41+an=a42+an-1=43+am-2=. ①b·bn=b2bn-1=bbn-2= 常用性质 ②a+a++a-号a+a) ②b6,b,=(b5,)月 2分 (2)类比推测出对偶的等式知，在等比数列凸，}中，若b2s=1,则有 bb2-b。=bbb4049-n1∈N*,n<4049);4分 证明如下： 由等比数列性质知bb09-n=b+2b48-n=…=b25=1；6分 4049 故当4049-n>n,即n<- 时， 2 b1b.2b4p-n=6n2s）o92”=1: 则bb2bn=bb2b4049-a.7分 同理当4049-n<,即4049>>4049 时， 2 b0-=)4091 则bb2bn=b·b2…bo49-n .8分 数学试题答案第2页共6页 综上所述：bb-bn=bb2…-b49-n0n∈N*,n<4049)9分 (3)因为cn=abn=(2n-1)3 所以T=1×3°+3×3+5×32+.+(2-1)×3-1① ①x3:37=1×3+3×32+5x33+.+(2n-1)×3”②10分 ①-②：-2T=1×3°+2×3+2×32+.+2×3m-1-(2n-1)×3”11分 27。=1+20+32++3)-(2m-)×3°=1+2×30-3) -(2n-1)×3”...12分 1-3 化简得：Tn=(n-1)3”+1....… .......15分 18.【解答】(1)取AB中点O,连接AC,CO,PO, 因为四边形ABCD是边长为2的菱形，所以AB=BC=2, 因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，所以CO1AB,OC=√5,1分 因为PA⊥PB,所以PO= AB=1, 因为PC=2,所以OP2+OC2=PC2,故CO⊥PO... .3分 因为AB∩PO=O,AB、POC平面PAB,所以CO1平面PAB,.4分 因为COC平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD5分 (2)因为PA=PB,所以PO⊥AB, 由(1)知，平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB, POc平面PAB,所以PO⊥平面ABCD, 所以直线OC,OB,OP两两垂直，以O为原点建立如图空间直角坐标系O-%,....6分 则0(0,0,0)，A(0,-1,0),B(0,1,0),C(5,0,0)D(5,-2,0)P0,0,1), 所以AP=(0,11),PC=（N5,0,-1,DC=(0,2,0), 设平面APC的法向量为m=（x,y,=), 数学试题答案第3页共6页 AP=0「y+z=0 由 m-Pc-0{5x-:=0取r=l,得m=(,-5,5, 8分 设平面PCD的法向量为n=（x,y,z), C:。a 由 nDC=0 10分 设平面PAC与平面PDC夹角为0， m~%2√7 所以cos日=cos<m,n>= 一一 7 所以平面PAC与平面PDC夹角的余弦值为2V7 7 12分 (3)设球心E坐标为(x,y,=),因为是三棱锥P-ABD的外接球，所以EA=EB=ED=EP=R, x2+(y+1)2+=2=R2 x=V3 x2+(y-1)2+2=R2 即 y=0 (-V矿+(+2列+：=R·解得 =0 16分 x2+y2+(-1)2=R2 R2=4 所以外接球表面积为S=4πR2=16π..… .17分 19.【解答】(1)设椭圆E:+ 京+F-1(a>b>0)的半焦距为c, 因为椭圆经过点GV巨， 23 2 所以+， 1分 因为右焦点为F(1,0),所以c=1, 「a2=b2+c2 2 3 d=A 联列方程组行+26-1，解得 2=31 3分 c=1 所以椭圆E的标准方程为：十 y2 =1.4分 4.3 (2)设直线MN的方程为x=y+1,M(x,y),N(x2,y2) 数学试题答案第4页共6页 送格一了，消去x整痒得3+4中6-g0 x=1y+1 6n2 9 .y+2= 3㎡2+42%3㎡+4 7分 则W=V+mV5+为)户-4，=12m=3,解得m=0, 3m2+4 所以直线MN的方程为x=1..10分 (3)椭圆E的右顶点A(2,0),显然直线1的斜率存在，设斜率为k, 则1：y=x+√3，IAc:y=k(x-2), VA 点A到直线1的距离d= 2k+V3 ,所UA列=d-22+3 .11分 Vk2+1 Vk2+1 x2,y2 联列方程组 4+31,消去y整理得3+4)-16x+16-12=0, y=k(x-2) 所以2x= 16k2-1 8k2-6 13分 3+4k 2,即x=3+42 所以4C=V+k-2-12+太 3+4k2 .14分 于是S4= Hcl- 5+2 .15分 3+4k2 若k<0,则斜率取-k时，S4aC显然更大， 故S。4Bc最大时k之0，SBc= 65+2k 3+4k2 61 令5+2k=t,则5eF-2N5t+6 6 f6237…16分 数学试题答案第5页共6页 由基本不等式得S4c最大时，16，-6-V3 2 以当S原大时，直线1的方程为y6,x+9 17分 数学试题答案第6页共6页