精品解析：江苏省盐城市鹿鸣路中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试题

初三年级数学课堂练习 一、选择题 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，即可求解． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 2. 盐城市12月份近期连续五天的当日最高气温为：9，10，8，5，5（单位：），则这五天的当日最高气温的众数为（ ） A. 9 B. 10 C. 8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数值，通过比较数据中每个数值的出现次数即可确定众数． 【详解】解：∵ 数据序列为：9，10，8，5，5；其中9出现1次，10出现1次，8出现1次，5出现2次； ∴ 出现次数最多的数值是5，故众数为5， 故选：D． 3. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 4. 已知两个相似三角形的周长比是，那么对应高的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比也等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴相似比为． 又∵相似三角形的对应高的比等于相似比， ∴对应高的比为． 故选：D． 5. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段c长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据比例中项的定义，c是a和b的比例中项，则，代入数值计算即可． 【详解】解：∵c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴或（舍去）， ∴线段的长为， 故选：A． 6. 如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：C． 7. 如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，，再根据的面积是12，推出． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线，， ∵的面积是12， ∴． 故选：D． 8. 如图，点E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，过点E作于点F，首先得出，得到，等量代换得到，即可判断A；结合即可得到，即可判断D；根据同角的余角相等得到，等量代换得到，然后根据角平分线的性质定理得到，，即可得到，进而判断B；首先得到，证明出，得到，然后等量代换得到，即可判断C． 【详解】解：如图所示，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故A正确； 又∵， ∴，故D正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故C错误． 故选：C． 二、填空题 9. 数据9，8，5，2，1，1的极差为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的极差，极差是一组数据中最大值与最小值的差，据此求解即可． 【详解】解：数据中的最大值为9，最小值为1，因此极差为． 故答案为：8． 10. 若，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 11. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 12. 校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分，90分，80分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为______分． 【答案】82 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，将各分数乘以其权重后求和，再除以权重总和即可得到答案． 【详解】解：分， ∴小鹿的最终成绩为82分． 故答案为：82． 13. 甲、乙两地实际相距，在地图上，用表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例尺的定义，但要先注意把单位统一，然后再根据定义求出答案． 【详解】解：实际距离，图上距离， 则比例尺． 故答案为：． 14. 如图，一块材料的形状是锐角，边，高．若把它加工成正方形零件，则正方形零件的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．设正方形零件的边长为，则，证明，然后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：设正方形零件的边长为，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 则这个正方形零件的边长为． 故答案为：． 15. 研究发现电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处视觉声音效果最佳，若舞台的长为16米，那么主持人可以站在距离点A处______为最佳位置．（结果保留根号） 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查利用黄金分割解决实际问题，还考查了解分式方程，解一元二次方程，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．根据黄金分割比列式求解即可得到答案． 【详解】解：设点为黄金分割点，，则， 当黄金分割点C离A近时，如图所示： ， 由黄金分割比可知， 代入得到， 解得，（不合题意舍去）， 经检验，是分式方程的解，则主持人可以站在距离点A处为最佳位置； 当黄金分割点C离A远时，如图所示： ， 由黄金分割比可知， 代入得到， 解得，（不合题意舍去）， 经检验，是分式方程的解，则主持人可以站在距离点A处为最佳位置； 综上所述，主持人站在离A点处或最自然得体， 故答案为：或． 16. 如图，在中，以点C为圆心，为半径作弧交于点D，点E在线段上，，，，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，证明，利用相似三角形的性质求出，进而得到，根据，推出，易证四点共圆，结合，根据圆周角定理推出，由三角形外角的性质结合已知得到，易证是等腰直角三角形，进而得到，再求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 三、解答题 17. 已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即， ∴，，． 18. 如图，已知，且，，，．求的大小和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．利用相似三角形的性质得到，再利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴． 19. 如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】先得，然后结合即可求证． 【详解】略 20. 如图，点B，D，E在一条直线上，与相交于点F，且．求证：． 【答案】 证明：∵==， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，首先证明出，根据相似三角形的性质定理得到，再根据三角形外角的性质即可证明结论． 【详解】略 21. 为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，某校开展了诗词知识竞赛活动，竞赛结束后从八年级和九年级参赛学生的成绩（满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 八年级 95 九年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生诗词知识掌握较好？请说明理由； （3）该校八年级300名学生和九年级200名学生参加了本次诗词知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1），， （2） 八年级的学生诗词知识掌握较好，理由如下： 八年级成绩的平均数大于九年级成绩的平均数，且八年级成绩的方差小于九年级成绩的方差，故八年级的学生诗词知识掌握较好； （3）估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为360． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，利用方差作决策，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键： （1）根据平均数，中位数的计算方法进行计算，根据方差的意义结合统计图判断方差的大小关系； （2）利用平均数和方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 九年级的数据排序后，第5个和第6个数据分别为， ∴； 由统计图可知，九年级的成绩波动程度大于八年级的成绩波动， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为360． 22. 近年来，随着滇池生态环境持续改善及市民游客爱鸥护鸥意识的增强，每年冬季赴昆越冬的海鸥数量稳定，“人鸥同乐”已成为春城一张亮丽的生态名片．如图是海埂大坝某停车场一处彼此相邻的五个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这五个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的四个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在位置的概率为___________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一共有5个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有20种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有8种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 23. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，点E，F分别在的边上，且，延长交于点M，延长交于点N． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵在中，，，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质易证，再根据，即可证明结论； （2）连接，根据平行四边形的性质可得，易证，进而得到，结合，证明，得到，再根据，证明，得到，即，进而得到，推出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，易证，结合，推出，可得旋似比，再根据三角形外角的性质得到，结合，推出，可得旋似角； （2）根据，，易证，推出，进而得到，可得旋似角； （3）由（2）知是直角三角形，根据点M是中点，可得，设，根据，得到，进而求出，利用勾股定理求出，进而求出，再根据等边对等角得到，由，推出，利用对顶角的定义推出，结合，证明，得到． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋似比为， ∵点B，C，D在一条直线上， ∴，， ∴， ∴旋似角为； 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段绕着点D旋似至线段的旋似角为； （3）由（2）知是直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段绕着点E旋似至线段的旋似比为． 26. 综合实践 纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．鹿鸣学堂数学兴趣小组对纸中的数学奥秘进行了探究， 【操作与发现】 （1）如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：．又因为，，所以．于是我们得出如下结论：纸的长与宽之比为_____； （2）如图2，将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．则的值为______； 【探究迁移】 （3）如图3，若矩形的边长为m，边长为n，于点M，分别交于点F，E，分别交于点G，H，求的值； 【拓展应用】 （4）如图4，F为矩形的边上一点，连接，，，点E与点A关于对称，连接，过点E作交于点G，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握对称的性质，相似三角形的判定定理及性质是解题的关键． （1）依题意，即可得到，即，即纸的长与宽之比为； （2）由折叠得到，结合矩形的性质可得，易证，推出，结合（1）中纸的长与宽之比得到，即可解答； （3）过点作于点，过点作于点，根据可得，由矩形的性质得到，利用四边形内角和为，得到，推出，易证，得到，再证明四边形，四边形都是矩形，得到，即可求解； （4）连接交于点，过点作的平行线分别交延长线于，过点作于点，易证四边形是矩形，得到，根据对称的性质得到，，推出，利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，再根据对称的性质求出，进而得到，利用直角三角形的性质求出，，由勾股定理求出，，同理（3）易证，推出即可求解． 【详解】解：（1）依题意， ∴或（舍去）， 即， 即纸的长与宽之比为， 故答案为：； （2）由折叠得到， ∵矩形中，， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）知纸的长与宽之比得到， ∴； 故答案为：； （3）过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴； （4）连接交于点，过点作的平行线分别交延长线于，过点作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称的性质得到，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由对称的性质求出， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 同理（3）易证， ∴． 27. 【教材呈现】下面是苏科版九年级下册53页的部分内容： 实践告诉我们一个基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题模型】（1）.图1为6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A，B，C，D，E均在格点上，点E为与的交点，则的值为_____； 【类比应用】（2）.在图2、图3的6×6正方形网格，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列问题，保留作图痕迹： ①在图2中，在线段AB上确定一点F，使； ②在图3中，在边AC上找一点P，使得． 【深究应用】（3）.如图4，在中，，，，点M以每秒1个单位长度的速度从A向B移动．点N以每秒2个单位长度的速度沿的反向延长线从A开始移动．当M到达B点时．同时停止，连接与，两线段交于点E．连接，设M、N的运动时间为秒． ①求运动过程中的最小值； ②延长交边于点F（如图5），当点F是边的四等分点时，求此时的值． 【答案】（1）.3； （2）① 点F即为所求． ② 点P即为所求． （3）.①；②或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）①根据题意，，根据勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可； ②在中，，，得到，继而得到，，连接交于点P，证明，即可得证． （3）①连接，并延长交于点Q，根据题意，得，，根据三角形相似的判定和性质，得到，得到点Q是定点，直线是定直线，当时，取得最小值，过点A作，交的延长线于点G，连接，过点B作，垂足为S，根据垂线段最短，得到当E与S重合时，取得最小值，根据勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的面积解答即可． ②连接，并延长交于点Q，证明，，延长、交于点T，证明，，得到，分，，，解答即可． 本题考查了网格作图，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：３． （2）①解：根据题意，得，且的交点为F， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故， 则点F即为所求． ②．解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于点P， 则点P即为所求 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 则点P即为所求． （3）①解：连接，并延长交于点Q， 根据题意，得，， ∵四边形是平行四边形，且，，， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故点Q是定点，直线是定直线， ∴当时，取得最小值， 过点A作，交的延长线于点G，连接， 根据题意，得，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点B作，垂足为S，根据垂线段最短，得到当E与S重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为； ②解：连接，并延长交于点Q， 根据题意，得，， ∵四边形是平行四边形，且，，， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 延长、交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的证明，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 故当t等于或或时，点F是的四等分点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学课堂练习 一、选择题 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 盐城市12月份近期连续五天的当日最高气温为：9，10，8，5，5（单位：），则这五天的当日最高气温的众数为（ ） A. 9 B. 10 C. 8 D. 5 3. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知两个相似三角形的周长比是，那么对应高的比是（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段c长（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，点E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 二、填空题 9. 数据9，8，5，2，1，1的极差为_____． 10. 若，则的值为______． 11. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 12. 校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分，90分，80分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为______分． 13. 甲、乙两地实际相距，在地图上，用表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是______． 14. 如图，一块材料的形状是锐角，边，高．若把它加工成正方形零件，则正方形零件的边长为________． 15. 研究发现电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处视觉声音效果最佳，若舞台的长为16米，那么主持人可以站在距离点A处______为最佳位置．（结果保留根号） 16. 如图，在中，以点C为圆心，为半径作弧交于点D，点E在线段上，，，，若，则的长为_______． 三、解答题 17. 已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 18. 如图，已知，且，，，．求的大小和的长． 19. 如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 20. 如图，点B，D，E在一条直线上，与相交于点F，且．求证：． 21. 为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，某校开展了诗词知识竞赛活动，竞赛结束后从八年级和九年级参赛学生的成绩（满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 八年级 95 九年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生诗词知识掌握较好？请说明理由； （3）该校八年级300名学生和九年级200名学生参加了本次诗词知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 22. 近年来，随着滇池生态环境持续改善及市民游客爱鸥护鸥意识的增强，每年冬季赴昆越冬的海鸥数量稳定，“人鸥同乐”已成为春城一张亮丽的生态名片．如图是海埂大坝某停车场一处彼此相邻的五个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这五个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的四个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在位置的概率为___________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 23. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24. 如图，点E，F分别在的边上，且，延长交于点M，延长交于点N． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 25. 【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 26. 综合实践 纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．鹿鸣学堂数学兴趣小组对纸中的数学奥秘进行了探究， 【操作与发现】 （1）如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：．又因为，，所以．于是我们得出如下结论：纸的长与宽之比为_____； （2）如图2，将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．则的值为______； 【探究迁移】 （3）如图3，若矩形的边长为m，边长为n，于点M，分别交于点F，E，分别交于点G，H，求的值； 【拓展应用】 （4）如图4，F为矩形的边上一点，连接，，，点E与点A关于对称，连接，过点E作交于点G，求的值． 27. 【教材呈现】下面是苏科版九年级下册53页的部分内容： 实践告诉我们一个基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题模型】（1）.图1为6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A，B，C，D，E均在格点上，点E为与的交点，则的值为_____； 【类比应用】（2）.在图2、图3的6×6正方形网格，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列问题，保留作图痕迹： ①在图2中，在线段AB上确定一点F，使； ②在图3中，在边AC上找一点P，使得． 【深究应用】（3）.如图4，在中，，，，点M以每秒1个单位长度的速度从A向B移动．点N以每秒2个单位长度的速度沿的反向延长线从A开始移动．当M到达B点时．同时停止，连接与，两线段交于点E．连接，设M、N的运动时间为秒． ①求运动过程中的最小值； ②延长交边于点F（如图5），当点F是边的四等分点时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $