专题04 空间与图形基础 专项练习 2026年中考数学一轮复习 （安徽专用）
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内容正文：
专题4 空间与图形基础
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4.1 三角形（全等、相似判定、边角关系、勾股定理）-----------------------------1
4.2 四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形性质与判定）-------------------19
4.3 圆的基础性质（圆周角、垂径定理、切线判定与性质）----------------------58
4.4 图形变换（轴对称、平移、旋转、三视图识别）--------------------------------85
考情分析：中考占比约35%，三视图必考题，圆的切线判定、垂径定理高频考，三角形全等、相似为解答题核心，图形旋转、折叠多在填空、几何综合题出现
4.1 三角形
一、解答题
1．如图，中，是边的中点，，为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求：的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明；
（2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
2．如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上．
(1)若，，求的长；
(2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得．
（2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形．
【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
（2）∵，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是等边三角形．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接，过点O作于点E．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，连接，延长交于点D，点P是x轴上的动点（不与点Q重合），且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：；
(3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)；理由见解析；
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，理解题意，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
（1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）过点作交延长线于点，则，如图所示标注角度，根据等边对等角及全等三角形的判定和性质得出，，即可证明；
（3）过点作交于点，同理得：，，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
∴；
（2）解：过点作交延长线于点，则，如图所示标注角度，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
又由（1）得，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴，即，
（3）解：过点作交于点，
由（1）（2），同理得：，，
∴，，
由（2）得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？
（2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？
（3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？
【答案】（1），理由见解析；
（2）是直角三角形，理由见解析；
（3），理由见解析
【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（）利用余角性质即可求解；
（）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解；
（）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
∵在中，，，
∴，
∴；
（2）是直角三角形．
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．如图，在中，，，平分，E为上一点，于F．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理；
（1）由三角形内角和定理求出，再依据角平分线定义即可求出；
（2）由三角形内角和定理求出，再由即可求出.
【详解】（1）解：∵，，
∴
∵平分，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴.
6．在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），当，时，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的性质，利用旋转得到对应边、对应角相等是解题的关键．
（1）首先根据旋转的性质得到对应边成比例，再证明两个边的夹角相等，即可证明；
（2）首先根据（1）中的结论得到和，从而可以在中利用勾股定理，求解得到的长，最终求得的长．
【详解】（1）解：∵将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，，
由（1）得：，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
7．如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径．
(1)求证：
①．
②．
(2)若，求的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)
【分析】（1）①根据切线长定理得到，即可根据证明；
②根据圆周角定理及（1）的结论推出，再结合平行线判定定理即可证明；
（2）连接，结合切线性质，以及直径所对圆周角为直角证明，利用勾股定理求出，再结合相似三角形性质求解，即可解题．
【详解】（1）①证明：为外一点，和为的两条切线，
，
，
；
②证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图，
由（1）知，
和为的两条切线，为直径，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质，圆周角定理，全等三角形判定与性质，平行线判定定理，直径所对圆周角为直角，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识．
8．如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，．
(1)求证：．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
（1）根据矩形的性质，垂直的定义得到，结合相似三角形的判定即可求解；
（2）根据线段和差得到，运用勾股定理得到，由相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，．
9．如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，，连接、、，交于点，交对角线于．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，关键是证明三角形的全等与相似．
（1）利用正方形的性质证明，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，从而得证；
（2）先根据勾股定理得，利用角平分线的性质结合（1）所得的，证明，得到，根据相似三角形的对应边成比例列式，再等量代换即可证得．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）证明：由（1）知，，，
四边形是正方形，
，，
根据勾股定理得，
平分，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，，
．
10．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接．
(1)根据题意知：______，______；（用含的代数式表示）
(2)当与相似时，求的值；
(3)连接、，当时，求的值．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
（1）根据题意列式即可；
（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据，，，，代入计算即可；
（3）过作于点，，交于点，则有，，，根据，得出，代入计算即可．
【详解】（1）解：根据题意知：，，
故答案为：；；
（2）解：，，，
；
分两种情况讨论：
①当时，，
，，，，
，
解得，
②当时，，
，
解得，；
∴当与相似时，或；
（3）解：如图，过作于点，，交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得（经检验是原方程的解）．
11．如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求：
(1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）；
(2)路灯杆的高度．
【答案】(1)和
(2)米
【分析】本题主要涉及相似三角形的判定和性质．
（1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似来找出相似三角形．
（2）利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于路灯杆高度和相关线段长度的方程，进而求解路灯杆的高度．
【详解】（1）解：由题意得，，
，
，
；
（2）解：由题可知，，，，
，
，
，
即①，
，
，
即②，
联立①②解得，；
答：路灯杆的高度米．
12．如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定．
（1）结合平行四边形性质推得，后可证，再由相似三角形性质即可得证；
（2）先由平行四边形性质中的推得，结合相似三角形性质推得，再证，由相似三角形性质即可求出，从而得出的长．
【详解】（1）证明：平行四边形中，，，
，，
，
，
，
，
又，
，
即；
（2）解：平行四边形中，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
即，
，
解得，
．
13．如图，．平分是的中点，连接交于点．
(1)求证：，
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）根据角平分线的定义可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得，由可求的长，通过证明，可得，即可求的长．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，为中点，
，
∵，
，
，
∵，
，
，且，，
，
∴（负值已舍去），
∵，
，
，
∴，
∵．
．
4.2 四边形
1．【问题原型】在矩形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，交于点．
（1）如图①，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______；
（2）如图②，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题变式】如图③，四边形为平行四边形，为锐角，且，点是射线上一点，作，交射线于点，若，则线段的长为______．
【答案】（1）；（2），见解析；【问题变式】或
【分析】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据条件证明两个三角形全等及相似是解题的关键．
（1）证明，由全等三角形的性质得出;
（2）证明，由相似三角形的性质则可得出结论：
【问题变式】分两种情况讨论：点F在上或点F在的延长线上，证，再由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）．
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【问题变式】分情况讨论：点F在上或点F在的延长线上．
当点F在上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
；
当点F在的延长线上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
2．如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由三角形中位线定理可得，据此可证明．
【详解】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
是中边上的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是中边上的中线，
为的中位线，
，
．
3．如图，在中，点分别是边的中点，连结，且与对角线分别相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键．
()根据平行四边形的性质可得，根据点分别是边的中点，可得，则四边形是平行四边形，进而证明，得出，即可得证；
()根据()的结论得出四边形是平行四边形，根据已知可得，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
点分别是边的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
又，
，
．
（2）连接，
由（）知，，，
四边形是平行四边形，
点分别是边的中点，
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形．
4．如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识．
（1）证明，则，又由即可证明结论；
（2）过点C作于点G，求出， 由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，．
∵F是AC的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形ADCE是平行四边形．
（2）解：过点C作于点G，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的判定是解题关键．利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可．
【详解】证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，为的中线，
∴，
∴四边形为菱形．
6．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点；
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质；
（1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解；
（2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴，
∴．
7．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解；
（2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知
，，则，则题目可证．
【详解】（1）解：，
设，，则，
，
，
，
，
则，且，
，
，
，
，，
，
，
的长为．
（2）证明：连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键．
8．如图，在中，是的中点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由三线合一定理可得，再由平行线的性质和垂线的定义可得
，，据此可证明结论；
（2）由三线合一定理和矩形的性质可得的长，再由勾股定理可得的长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）证明：在中，是的中点，
，即．
，
∴．
，
∴，
四边形是矩形．
（2）解：在中，是的中点，，
，
由（1）可知：四边形是矩形，
，
在中，，
∴．
，
∴由三角形的面积公式得，
．
9．如图，在四边形中，，过点B作交于点E，过点E作于点F．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、平行线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定、平行线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，，然后根据勾股定理可得，进而可得，则根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形；
（2）解：∵四边形为矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
10．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点、分别作、的平行线，相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据菱形的性质得，再根据矩形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出，根据矩形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵过点、分别作、的平行线，相交于点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，，，
∴，，即，
∴，
即线段的长为．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
11．已知，在平行四边形中，点E，F在分别边，上，且于点H，于点G．
(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】本题考查了平行四边形性质与判定，余角的求法，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
（1）先证四边形是平行四边形，证，再证四边形为矩形，即可得答案；
（2）先求出互余的角是，再证，即可得答案．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
；
（2），
，
互余的角是，
，
，
，
，
∴
∴互余的角有∶ ．
12．如图，在中，，D、E分别是，的中点，，
(1)求证：四边形是菱形
(2)连接交于点O，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得出，进而可得出结论．
（2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长及面积．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
点，分别是，的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：如图所示，连接，
，点为的中点，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形为菱形，
，，，
又∵点为的中点，
为的中位线，
，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，灵活应用以上知识是解题关键．
13．如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，四边形的面积为16，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可．
本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，如图所示：
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
即菱形的周长为．
14．如图，在中，，O，C 分别是，边的中点．连接，过点 B 作 交的延长线于点 A ，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形的面积为36
【分析】本题考查平行四边形/菱形判定、直角三角形斜边中线性质、勾股定理、面积计算．证全等得平行四边形，结合直角三角形性质证菱形；用勾股定理求线段，算菱形面积再求和．解题关键为用斜边中线证邻边相等；借菱形对角线算面积．易错点：漏用斜边中线性质；混淆面积组成．
(1) 由、O是中点，由证，得，定平行四边形；用斜边中线性质，得，平行四边形邻边相等，定菱形．
(2) 由菱形得，用勾股定理得，；算菱形面积；加面积，得总面积36．
【详解】（1）由，得；
又O是中点，
，且；
，
；
，
故四边形是平行四边形．
在中，C是中点，
；
，
故四边形为菱形．
（2）由菱形得，
在中，，O是中点，故；
由勾股定理得，故．
；
，
故；
．
15．如图，，点分别是和上的点，连接交于点，此时．若，，，于，解决下列问题：
(1)求证：四边形是菱形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，然后利用对角线互相平分证四边形为平行四边形，再由勾股定理的逆定理证为直角三角形，，则，即可得出结论；
（2）由菱形的面积得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
为直角三角形，，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
即，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键．
16．如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
()根据平行四边形的性质可证，，根据：点分别是的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立；
()根据菱形对角线垂直且平分的性质，得；根据三角形的面积可求得，进一步求得的值，在中，利用勾股定理计算出．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，分别是和的中点，
，.
，，
四边形为平行四边形.
，
，
四边形为菱形；
（2）如图，过点作于点，
由（）知四边形为菱形，
∵，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
17．在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道题目．以下两个小组分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这两小组提出的题目吧．
【励志小组】如图1，分别以长方形的边，所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E在线段上，以直线为轴，把翻折，点O的对应点D恰好落在线段上．
（1）直接写出点D坐标；直线表达式；点E坐标；
（2）P是x轴上的一动点，若，求点P坐标．
【创新小组】如图2，正方形纸片的边长为，点F是上一点，将沿折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点E，若，请直接写出的长．
【答案】（1），，（2）或【创新小组】
【分析】（1）由折叠得：，，根据勾股定理可得的长，由矩形的性质可得，可得点的坐标；利用待定系数法可得的解析式；设，在中，根据勾股定理列方程可得的长，得点的坐标；
（2）由题意可知，则，即，设，可得方程，解方程即可；
【创新小组】因为折叠，则有从而可知，利用线段比求出的长，即可求出
【详解】解：（1）由折叠得：，，
在中，，
，
，
，
，
设的解析式为：，
把和代入得：
，
解得：，
的解析式为：；
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
；
故答案为：，，；
（2）延长交轴于，
当时，，
，
；
∵把翻折得到，
∴，
∵，
∴，
即，
设
则
或
或，
∴或；
【创新小组】解：∵四边形是正方形，
，
∵将沿折叠得到，
∴设垂足为
，
，
，
，
∴，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，待定系数法求解析式，勾股定理，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题．
18．综合与实践
已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________．
【答案】（1）；（2）不发生改变，；（3）8或72
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）当可得四边形是正方形，此时、重合，可得；
（2）过作于，过作于，由旋转结合等腰三角形三线合一可得，再证明，得到，最后由，得到，，即可得到；
（3）参考（2）中作辅助线，过作于，过作于，先证明，得到，，再由，由得到，利用勾股定理求出，，最后根据计算，需要利用点与点位置去分类讨论．
【详解】解：（1）∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵点E在射线上，，
∴此时、重合，
∴，
∴；
（2）在旋转的过程中不变，理由如下：
如图，过作于，过作于，则，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理，当在点左边时，如图
∴，
∴；
综上所述，的面积为或．
19．【问题探究】
（1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接
①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”）
②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：；
【问题解决】
（2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边、上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计）
【答案】（1）①；②见解析；（2）
【分析】（1）①证明四边形是平行四边形得到，再证明，得到，则可得到；②证明得到，证明是的中位线，得到，由勾股定理得，据此可证明结论；
（2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）①解：如图1，过点C作，交于点F，
∵四边形是正方形
，，，
，
∵
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又∵，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
②证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
∴
，
，，
，
点P为的中点，
是的中位线，
，
在中，由勾股定理得
，即
（2）解：设的长为单位“1”．
点分别是正方形的边的中点，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
如图，作于点交的延长线于点，则，
又，
∴四边形是矩形，
，
，，
∴四边形是正方形，
，
在Rt中，由勾股定理得：，
如图，作于点，于点，
则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)点H在边上，且，连接交于点N．
①判断与的位置关系，并证明你的结论；
②连接．若，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题．
（1）根据等边对等角，结合旋转的性质得，证明即可得结论；
（2）①首先证明四边形是正方形，再证明即可解决问题．②如图，取的中点O，连接．利用三角形的三边关系解决问题即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①解：结论：．
理由：如图2中，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图3中，取的中点O，连接．
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴的最小值为．
21．【问题呈现】已知正方形中，点F为对角线上一点，点E在的延长线上，连接．
（1）如图1，连接，若，求的最小值；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点F为对角线上一点，点G在边上，，若，，求四边形的面积；
【拓展运用】
（3）如图3，将绕点F逆时针旋转得到，连接交于点H，试探索、满足怎样的数量关系时，点H恰为的中点；
【答案】（1）10；（2）16；（3）
【分析】（1）延长至点，使，连接，此时最小，根据正方形的性质可得，最后在中运用勾股定理即可求解；
（2）过点作于点，作于点，根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定和性质证明四边形是正方形，利用证明，则，进而可得，在中运用勾股定理求出，进而可得，最后运用等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）过作于点，交于点，连接，先根据正方形的性质可得，再运用勾股定理可得，进而可得，则可证明，可得，进而可证明，即可得到点恰为的中点．
【详解】解：（1）延长至点，使，连接，此时最小，如图，
四边形是正方形，
，，
，
，
在中，，，，
；
（2）过点作于点，作于点，如图，
，
四边形是正方形，
，，，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又∵，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
四边形是正方形，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
．
；
（3）当时，点恰为的中点，理由如下：
过作于点，交于点，连接，如图，
，
，
，
四边形是正方形，，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即点恰为的中点．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用和等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键．
4.3 圆的基础性质
一、解答题
1．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接．
(1)求的度数；
(2)若的直径为5，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论；
（2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
2．如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论；
（2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，进而可得，求得，即为的半径．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
由题意可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得，
∴的半径为．
【点睛】本题考查切线的证明，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
3．如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，则的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，可证，可得，可得结论；
（2）证明，得，，由勾股定理得，再证明，运用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴．
故答案 为：．
4．如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练利用切线的性质，进行角度的转换是解题的关键．
（1）连接，可得，根据，可得；
（2）求得，即可求得，，根据勾股定理求得，根据三角函数可得，即可解答．
【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下：
如图，连接，
，为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，即为等腰三角形；
（2）解：的半径为3，
，
，
，，
，
，
为直径，
，
根据三角函数可得，
即，
．
5．如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E．
(1)求证：直线是的切线
(2)若，的半径为5，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答．
（2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
直线是的切线；
（2）解：作，垂足为，如图2所示：
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
6．如图，是的外接圆，为的直径，为的切线，过点作于点，交于点，连接．
(1)连接，写出图中一对相等的角：_____，与的位置关系是_____；
(2)延长，交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)为等腰三角形，证明见详解
(3)
【分析】本题考查了圆的切线性质、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、及面积计算等知识；解题的关键是灵活运用几何定理进行角度和线段关系的推导，特别是通过弦切角定理和平行线性质转化角的关系.
（1）利用切线的性质得到半径与切线垂直，结合已知垂直条件推导平行关系，进而找出相等的角（如等边对等角或同位角相等）．
（2）通过延长线补全图形，结合弦切角定理和平行线性质推导角相等，从而证明三角形是等腰三角形．
（3）利用已知角度和长度，通过直角三角形边角关系、和等边三角形的判定，确定相关边长，最后计算等边三角形的面积．
【详解】（1）证明：连接，
∵
∴
∵为的切线
∴
∵
∴
故答案为；．
（2）判定为等腰三角形，理由如下：
证明：延长，交于点
∵四边形内接于
∴
又∵即
∴
由（1）得
∴
∴为等腰三角形
（3）∵
∴
∵
∴为等边三角形
∴
∴为等边三角形
∵
∴
又∵，
∴
∴，
又∵
∴为等边三角形
∴，
∵在中，
∴
∴
7．如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)与相切，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．
（）连接，先证，再说明即可证明结论；
（）先说明是等边三角形，进而得到，然后根据勾股定理求得，最后根据阴影面积等于计算即可．
【详解】（1）解：与相切，理由：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
8．如图①是一款蜗牛拖拉车玩具，图②是由其抽象出的示意图，，为蜗牛的头和身体，蜗牛壳与相切于点.连接，，，当从点处拉蜗牛头部的绳子时，，，三点共线，且，点为延长线上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，点到点的水平距离为，求绳子的长度．
【答案】(1)见解析
(2)绳子的长度为
【分析】本题主要考查圆的切线的性质、三角形全等与相似、平行线的性质；将角度证明转化为全等三角形的角等量代换，将线段计算转化为相似比例与方程求解，体现了几何问题中的转化与建模能力．
（1）根据与相切于点和可证得，由角的等量转化即可得证；
（2）过作交的延长线于，通过证，由线段的比例关系可得，在根据即可求解．
【详解】（1）证明：由题意，与相切于点，得，即，
，
在与中，
，
，
又，
，
；
（2）解：如图，过作交的延长线于，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
绳子的长度为．
9．如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为
【分析】本题考查了圆的切线判定、勾股定理的应用，利用弧中点性质与等腰三角形角的关系推导垂直是解题的关键．
（1）连接，，由为的下半圆弧的中点得，可得，由得，由得，结合对顶角可得即，得出，结合是的半径即可证明是的切线；
（2）由的半径，，得，，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵为的下半圆弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径，，
∴，，
∴．
10．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长．
【答案】(1)见解析；
(2)的半径为，．
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，由圆周角定理得到，进而得到，证明，即可得出结论；
（2）由解直角三角形得到，由勾股定理得到，即的半径为，证明，得到，即，求出，即可得出的长．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图：
在中，，
∵，
∴，
∴，即的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
11．如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点B作，交于点C，连接，过点C作，交于点D．连接并延长交于点M，交过点C的直线于点P，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为2，求扇形（其圆心角）的面积；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)直线PC与相切,理由见解析。
(2)扇形的面积为
(3)
【分析】（1）连接，由是切线得，结合推出，证得角的等量关系，再通过和进行角的代换，最终证得，判定是切线；
（2）由的度数推出，进而得到，利用等腰三角形性质求出圆心角，代入扇形面积公式计算；
（3）由全等得，由垂径定理得的长，证得比例式，设，，则．结合勾股定理和的长度列方程求解与，再代入比例式求的长．
【详解】（1）解：直线与相切．
理由：连接．
是的切线，
，即．
∴①，
，，
∴，（垂径定理），
又，
∴，
∴，即，
，
（内错角相等）．
又，
．
，
．
．
，则②，
∴由①②得，，
即，
∴，又，
∴，即．
是的半径，
直线与相切．
（2）解：，，
．
∴．
在中，．
扇形的面积．
（3）解：∵，
．
由，得．
∵，（因），
∴，又，
，
．
设，，则．
由，，，得，即．
在中，，联立得，
解得，．
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、扇形面积公式以及勾股定理的应用，解题的关键是连接圆心与切点构造直角三角形，利用平行线的性质、角的等量代换推导垂直关系，结合全等或相似三角形建立线段之间的数量关系．
12．如图1，点，，都在上，且平分，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，是的直径，与相交于点．
①若，，求的半径；
②若于点，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①的半径为8；②证明见解析．
【分析】（1）利用角平分线的定义、圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）①连接，设的半径为，则，，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，利用勾股定理列出方程解答即可；
②过点作于点，利用矩形的判定与性质得到；再利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用等量代换的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴是等腰三角形；
（2）①解：如图2，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（不合题意，舍去）或．
∴的半径为8；
②证明：如备用图，过点作于点，
∵，
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∵是的直径，
∴
∴．
∵．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键．
13．如图，是⊙O的直径，C为上一点，P为外一点，，且°，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切；
（2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
与相切；
（2）解：连接交于点，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
，，
．
【点评】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
14．如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，，求和的面积比；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理可得，由角平分线定义得，即可证；
（2）过点A作于点F，过点C作于点G，根据，可得，求得，进而得到，再证得，即可求得答案；
（3）先证明，可得，即，再根据，可得，即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，过点A作于点F，过点C作于点G，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质和相似三角形的性质是解题关键．
4.4 图形变换
一、单选题
1．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由三视图判断几何体和几何体的表面积．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．
根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为，
故表面积．
故选：B．
2．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体从正面、左面、上面看到的三个平面图形．则组成该几何体的小正方体的个数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体的小正方体个数，熟练掌握“通过俯视图确定底层个数，结合主视图、左视图确定上层个数”是解题的关键．
结合从正面、左面、上面看到的图形，确定每层小正方体的个数，再求和得到总数．
【详解】解：从上面看，底层小正方体的分布为：第一行有3个，第二行有1个，共个．从正面和左面看，上层小正方体的个数为1个．
总数：
故选：B．
3．如图是一个零件的示意图，则该零件的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的主视图概念，解题的关键是明确主视图是从物体正面观察得到的图形．
先确定主视图的观察方向（正面），再分析该圆柱零件从正面观察得到的图形形状，匹配对应选项．
【详解】解；主视图是从物体正面观察得到的视图．
该零件是圆柱，从正面观察圆柱，看到的图形是长方形
故选A．
4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图的相关知识．
观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可．
【详解】解：A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故本选项符合题意；
B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故本选项不符合题意；
C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故本选项不符合题意；
D、三视图分别为长方形，长方形及梯形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．如图，索玛立方体是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元拼成的一个的立方体，有400多种拼法．下列4个积木单元中，俯视图面积最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何体的俯视图面积，掌握从上方观察积木单元，数出俯视图包含的小正方形个数是解题的关键．
分别分析每个选项中积木单元的俯视图，计算其包含的小正方形个数，个数最少的即为俯视图面积最小的．
【详解】解：三个选项的俯视图都由3个小正方形组成，
C选项的俯视图由2个小正方形组成，
因此俯视图面积最小的是C选项中的图形．
故选：C．
6．如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，掌握三视图的画法是解题的关键．
根据三视图还原几何体，再求表面积即可．
【详解】解：根据三视图可知，这个几何体为圆锥．
直径为6cm，高为4cm，
圆锥母线长为，
表面积为．
故选：B．
7．将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查几何体的旋转与俯视图，掌握直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，圆锥的俯视图是圆是解题的关键．
先确定直角三角形绕直角边旋转一周所得的几何体，再分析该几何体的俯视图形状，进而判断选项．
【详解】解：绕直角边旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的俯视图是一个圆．
A、是圆且含圆心，符合圆锥俯视图的形状，符合题意；
B、是直角三角形，不符合题意；
C、是正方形，不符合题意；
D、是三角形，不符合题意．
故选：A．
8．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键．
通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项．
【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A；
由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D；
由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合．
故选：C．
9．如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这堆立体图形中小正方体的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据题意，得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二、三层正方体的个数，相加即可．
本题考查的是几何体的三视图和学生的空间想象能力，属于常考题型，掌握求解的方法是解题关键．
【详解】解：根据题意，得图如下：
一共有个，
故选：C．
二、解答题
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
(1)若平移得到，当的坐标为时，画出；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出，请写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点的坐标是
【分析】本题主要考查作图-旋转变换、作图-平移变换等知识点，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）先根据、可知，将向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到，据此确定，然后再顺次连接即可；
（2）先根据旋转的性质确定的对应点，再顺次连接即可完成作图；然后根据作图确定点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴将向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到，
∴如图：即为所求．
（2）如图，为所求．点的坐标是．
11．如图，是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形．
(1)将向右平移个单位长度，画出平移后的．
(2)将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的．
(3)试问能否经过一次旋转后与重合，若能，请在图中用字母表示旋转中心并写出旋转角的大小；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)能，旋转中心见解析，旋转角为
【分析】本题主要考查图形的平移和旋转：
（1）根据图形平移的基本性质作图即可；
（2）根据图形旋转的基本性质作图即可；
（3）连接，作线段的垂直平分线；连接，作线段的垂直平分线，可知两条垂直平分线必交于一点，该点即为点，的数值为旋转角．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．
（3）能，点如图所示．
连接，作线段的垂直平分线；连接，作线段的垂直平分线，可知两条垂直平分线必交于一点，该点即为点，的数值为旋转角．
由勾股定理可得，，．
因为，
所以．
所以旋转角为．
12．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，、．
(1)画出将向左平移6个单位长度后得到的；
(2)画出关于原点成中心对称的；
(3)若绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________，旋转角的度数为________°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，180
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）分别将点A、B、C向左平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可；
（2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知旋转角的度数．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为，
可知均由绕点M旋转得到，即旋转角的度数为．
故答案为：，180．
13．如图，已知的顶点分别为．
(1)若各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得的；所得的与有怎样的位置关系？
(2)作出向右平移5个单位长度后的图形．
【答案】(1)作图见解析，与关于轴对称
(2)作图见解析
【分析】本题主要考查轴对称图形，平移作图．
（1）根据题意先求出、、的坐标，再描点得到；观察图形即可得出结论；
（2）利用平移的定义作图即可．
【详解】（1）解：∵，各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，
∴，
如图所示，为所求；
观察图形得，与关于轴对称；
（2）解：如图所示，为所求．
14．在网格中，点A和直线l的位置如图所示：
(1)将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在图1中网格中标出点B并写出线段的长度______；
(2)在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______；
(3)若点A、B的坐标分别为，；点C为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点C点，点C的坐标是______．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)作图见解析，或
【分析】（1）根据要求画出线段即可，利用勾股定理求出的长．
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小．
（3）设，根据勾股定理建立方程，再利用平方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：如图1，线段即为所作，
根据题意，每个小正方形的边长为个单位长度，
∴．
故答案为：
（2）解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴，
∴，
∴的最小值为的长，则点即为所作，
此时，
∴的最小值为，
故答案为：；
（3）解：如图2，建立平面直角坐标系如图，设，取的中点，连接，
∵为直角三角形，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查作图—平移变换，轴对称—最短问题，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质及勾股定理．
15．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)将绕原点O旋转，画出旋转后的；
(4)在、、中， 与 成轴对称，其对称轴是 ； 与 成中心对称，其对称中心的坐标是 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)，，y轴，，，
【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平移变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（3）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（4）利用轴对称变换，中心对称变换的性质判断即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：即为所求；
（4）解：如图，在、、中，与成轴对称，其对称轴是y轴；与成中心对称，其对称中心的坐标是．
故答案为：，，y轴，，，．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为2，求点P的坐标．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
(3)或
【分析】本题考查网格中作三角形，网格中求三角形面积，轴对称性质，由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键．
（1）利用描点法在平面直角坐标系中描出、、即可得到，在网格中求出三角形面积即可得到答案；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得到答案；
（3）根据题意得到，求出，然后分情况求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：点与点关于y轴对称，
∴点的坐标为；
（3）解： ∵为轴上一点，若的面积为2，
∴
则，
∴
∴点的横坐标为或，
P点坐标为或．
17．已知，，．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点，，并画出；
(2)画出关于轴对称的；
(3)点在轴上，并且使得的值最小，请标出点位置并写出最小值．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)点位置见解析，的值最小为
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，轴对称图形以及最短路径问题，根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”找出最短路径是解题关键．
（1）根据题目给出的坐标描点连线；
（2）根据“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数”的坐标变换规则，找出点、、，然后依次连线；
（3）利用“轴对称的性质”，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为，根据两点之间线段最短，即为的最小值，利用勾股定理计算的长度即可．
【详解】（1）解：已知，，，
如图，依次连接、、，得到．
（2）解：根据轴对称的性质可知，关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数，可得：
的对应点为，
的对应点为，
的对应点为．
如图，依次连接、、，得到．
（3）解：如图，作点关于轴的对称点．
连接，与轴交点即为点，
由两点之间线段最短，可知的最小值为，
根据勾股定理，可得．
答：的值最小为．
18．如图，已知，，，
(1)的面积是 ；
(2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)见详解
(3)存在点P，、和
【分析】本题主要考查网格和对称的性质，以及全等三角形的性质和判定，解题的关键是分情况讨论的应用．
（1）根据网格求三角形面积即可．
（2）根据轴对称的性质先找出各顶点关于直线m对称的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据全等三角形的判定可知有三个点，结合全等三角形的性质即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：；
（2）解：如下图所示：
（3）解：存在，如图所示，
当，此时点；
当，此时点；
当，此时点；
则存在点P，使得与全等，、和．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形；
(2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________；
(3)在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹．
(4)在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)见详解
(4)
【分析】（1）首先确定点关于轴的对称，然后顺次连接即可；
（2）结合图形，即可获得答案；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即可获得答案；
（4）在轴上取点，结合勾股定理可得，，再结合，利用“”可证明，即可获得答案．
【详解】（1）解：作出关于轴的对称图形，如下图所示；
（2）解：由图可知，点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图，点即为所求；
（4）解：如下图，在轴上取点，
则，，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换、最短路径问题、勾股定理、全等三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)若与关于轴对称，画出，并写出点，，的坐标；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使点到，两点的距离之和最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)图见解析，，，
(2)
(3)图见解析
【分析】本题主要考查了利用网格求三角形的面积，作轴对称图形，最短路径问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质画出三角形，根据坐标系写出点的坐标；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解；
（3）根据轴对称的性质，先作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，即可求解．
【详解】（1）解：如图，，，．
（2）解：，，，
，
的面积为．
（3）解：如图，
先作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时点到，两点的距离之和最小．
21．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出；
(2)作出关于坐标原点O成中心对称的；
(3)在（1）的条件下，求出点C经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了旋转作图，中心对称作图，弧长公式．掌握旋转和中心对称的作法是解题的关键．
（1）根据旋转的性质确定出点的位置，然后顺次连接即可求解；
（2）根据中心对称的性质确定出点的位置，然后顺次连接即可求解．
（3）点C经过的路径是以点A为圆心，半径为，圆心角为的一段弧，据此进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：由题意可得，
∵点C经过的路径是以点A为圆心，半径为，圆心角为的一段弧，
∴点C经过的路径长为．
22．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为,,．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标．
(2)画出将绕点按顺时针旋转所得的．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的性质作出图形，根据关于原点对称的点的坐标特征写出点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
本题考查了作中心对称图形，中心对称图形的性质，旋转作图，掌握中心对称图形和旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求，其中点．
（2）解：如图，即为所求．
23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标；
(3)在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)．
【答案】(1)图见解析，点的坐标为
(2)图见解析，点的坐标为
(3)
【分析】本题主要考查轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键；
（1）先得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解；
（2）根据旋转的性质可进行作图；
（3）根据（2）及扇形面积公式可进行求解．
【详解】（1）解：所作如图所示：
∴由坐标系可知：点的坐标为；
（2）解：所作如图所示；点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∴线段所扫过的面积为．
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专题4 空间与图形基础
目录
4.1 三角形（全等、相似判定、边角关系、勾股定理）-----------------------------1
4.2 四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形性质与判定）-------------------5
4.3 圆的基础性质（圆周角、垂径定理、切线判定与性质）----------------------13
4.4 图形变换（轴对称、平移、旋转、三视图识别）--------------------------------17
考情分析：中考占比约35%，三视图必考题，圆的切线判定、垂径定理高频考，三角形全等、相似为解答题核心，图形旋转、折叠多在填空、几何综合题出现
4.1 三角形
一、解答题
1．如图，中，是边的中点，，为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求：的长．
2．如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上．
(1)若，，求的长；
(2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接，过点O作于点E．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，连接，延长交于点D，点P是x轴上的动点（不与点Q重合），且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：；
(3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
4．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？
（2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？
（3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？
5．如图，在中，，，平分，E为上一点，于F．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
6．在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），当，时，求的长．
7．如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径．
(1)求证：
①．
②．
(2)若，求的长．
8．如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，．
(1)求证：．
(2)求的长．
9．如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，，连接、、，交于点，交对角线于．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
10．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接．
(1)根据题意知：______，______；（用含的代数式表示）
(2)当与相似时，求的值；
(3)连接、，当时，求的值．
11．如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求：
(1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）；
(2)路灯杆的高度．
12．如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
13．如图，．平分是的中点，连接交于点．
(1)求证：，
(2)若，求的长．
4.2 四边形
一、解答题
1．【问题原型】在矩形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，交于点．
（1）如图①，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______；
（2）如图②，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题变式】如图③，四边形为平行四边形，为锐角，且，点是射线上一点，作，交射线于点，若，则线段的长为______．
2．如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：．
3．如图，在中，点分别是边的中点，连结，且与对角线分别相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是菱形．
4．如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
5．如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形．
6．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点；
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
7．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
8．如图，在中，是的中点，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
9．如图，在四边形中，，过点B作交于点E，过点E作于点F．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
10．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点、分别作、的平行线，相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求线段的长．
11．已知，在平行四边形中，点E，F在分别边，上，且于点H，于点G．
(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角．
12．如图，在中，，D、E分别是，的中点，，
(1)求证：四边形是菱形
(2)连接交于点O，若，，求四边形的面积．
13．如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，四边形的面积为16，求四边形的周长．
14．如图，在中，，O，C 分别是，边的中点．连接，过点 B 作 交的延长线于点 A ，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
15．如图，，点分别是和上的点，连接交于点，此时．若，，，于，解决下列问题：
(1)求证：四边形是菱形；
(2)求的长．
16．如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长．
17．在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道题目．以下两个小组分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这两小组提出的题目吧．
【励志小组】如图1，分别以长方形的边，所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E在线段上，以直线为轴，把翻折，点O的对应点D恰好落在线段上．
（1）直接写出点D坐标；直线表达式；点E坐标；
（2）P是x轴上的一动点，若，求点P坐标．
【创新小组】如图2，正方形纸片的边长为，点F是上一点，将沿折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点E，若，请直接写出的长．
18．综合与实践
已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________．
19．【问题探究】
（1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接
①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”）
②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：；
【问题解决】
（2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边、上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计）
20．如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)点H在边上，且，连接交于点N．
①判断与的位置关系，并证明你的结论；
②连接．若，请直接写出线段长度的最小值．
21．【问题呈现】已知正方形中，点F为对角线上一点，点E在的延长线上，连接．
（1）如图1，连接，若，求的最小值；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点F为对角线上一点，点G在边上，，若，，求四边形的面积；
【拓展运用】
（3）如图3，将绕点F逆时针旋转得到，连接交于点H，试探索、满足怎样的数量关系时，点H恰为的中点；
4.3 圆的基础性质
一、解答题
1．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接．
(1)求的度数；
(2)若的直径为5，，求的长．
2．如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
3．如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，则的长为______．
4．如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
5．如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E．
(1)求证：直线是的切线
(2)若，的半径为5，求的长．
6．如图，是的外接圆，为的直径，为的切线，过点作于点，交于点，连接．
(1)连接，写出图中一对相等的角：_____，与的位置关系是_____；
(2)延长，交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积．
7．如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
8．如图①是一款蜗牛拖拉车玩具，图②是由其抽象出的示意图，，为蜗牛的头和身体，蜗牛壳与相切于点.连接，，，当从点处拉蜗牛头部的绳子时，，，三点共线，且，点为延长线上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，点到点的水平距离为，求绳子的长度．
9．如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径，，求的长．
10．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长．
11．如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点B作，交于点C，连接，过点C作，交于点D．连接并延长交于点M，交过点C的直线于点P，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为2，求扇形（其圆心角）的面积；
(3)若，，求的长．
12．如图1，点，，都在上，且平分，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，是的直径，与相交于点．
①若，，求的半径；
②若于点，求证：．
13．如图，是⊙O的直径，C为上一点，P为外一点，，且°，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
14．如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，，求和的面积比；
(3)求证：．
4.4 图形变换
一、单选题
1．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体从正面、左面、上面看到的三个平面图形．则组成该几何体的小正方体的个数是 （ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个零件的示意图，则该零件的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，索玛立方体是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元拼成的一个的立方体，有400多种拼法．下列4个积木单元中，俯视图面积最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（）
A． B．
C． D．
9．如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这堆立体图形中小正方体的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、解答题
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
(1)若平移得到，当的坐标为时，画出；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出，请写出点的坐标．
11．如图，是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形．
(1)将向右平移个单位长度，画出平移后的．
(2)将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的．
(3)试问能否经过一次旋转后与重合，若能，请在图中用字母表示旋转中心并写出旋转角的大小；若不能，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，、．
(1)画出将向左平移6个单位长度后得到的；
(2)画出关于原点成中心对称的；
(3)若绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________，旋转角的度数为________°．
13．如图，已知的顶点分别为．
(1)若各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得的；所得的与有怎样的位置关系？
(2)作出向右平移5个单位长度后的图形．
14．在网格中，点A和直线l的位置如图所示：
(1)将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在图1中网格中标出点B并写出线段的长度______；
(2)在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______；
(3)若点A、B的坐标分别为，；点C为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点C点，点C的坐标是______．
15．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)将绕原点O旋转，画出旋转后的；
(4)在、、中， 与 成轴对称，其对称轴是 ； 与 成中心对称，其对称中心的坐标是 ．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为2，求点P的坐标．
17．已知，，．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点，，并画出；
(2)画出关于轴对称的；
(3)点在轴上，并且使得的值最小，请标出点位置并写出最小值．
18．如图，已知，，，
(1)的面积是 ；
(2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形；
(2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________；
(3)在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹．
(4)在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)若与关于轴对称，画出，并写出点，，的坐标；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使点到，两点的距离之和最小（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出；
(2)作出关于坐标原点O成中心对称的；
(3)在（1）的条件下，求出点C经过的路径长．
22．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为,,．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标．
(2)画出将绕点按顺时针旋转所得的．
23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标；
(3)在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)．
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