5.5三角恒等变换专题练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角恒等变换题型精练 知识点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦： : : 两角和与差的余弦： : : 两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：； 知识点2 二倍角公式与升（降）幂公式 1、二倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：； （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、升降幂公式 （1）升幂公式：， （2）降幂公式：， ， 知识点3 给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. 1、给值求值问题处理 （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、给值求角问题处理 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好； 若角的范围是，选正弦较好. 知识点4 辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 知识点5 三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 两角和、差、倍角公式 1._________. 2.下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 3.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 4.已知角θ满足，则（    ） A． B． C． D． 5.若，，则 A． B． C． D． 三角恒等变换中把特定量看作一个整体 1.已知，则的值为（ ） A．0 B． C． D．0或± 2.若是第三象限角，且，则__. 3.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 4.已知，，则（   ） A．3 B． C． D． 5.已知，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三角恒等变化+诱导公式 1.．若，则（ ） A． B． C． D． 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 3.已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 正弦、余弦、正切综合应用 1.若 ，则 A． B． C．1 D． 2.已知，则 A． B． C． D． 3.（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 5.若，则（    ） A． B． C． D． 6.若，则（   ） A． B． C． D． 7.已知，则（   ） A． B． C．7 D． 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 9.已知，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 和差化积 1.已知，，则的值为________. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换题型精练 知识点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦： : : 两角和与差的余弦： : : 两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：； 知识点2 二倍角公式与升（降）幂公式 1、二倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：； （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、升降幂公式 （1）升幂公式：， （2）降幂公式：， ， 知识点3 给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. 1、给值求值问题处理 （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、给值求角问题处理 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好； 若角的范围是，选正弦较好. 知识点4 辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 知识点5 三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 两角和、差、倍角公式 1._________. 【答案】1解析. 2.下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D解析，， ， 3.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为，而为锐角，解得：． 4.已知角θ满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】，故，则. 5.若，，则 A． B． C． D． 【答案】D【解析】由可得，，，答案应选D．另解：由及，可得，而当时 ，结合选项即可得． 三角恒等变换中把特定量看作一个整体 1.已知，则的值为（ ） A．0 B． C． D．0或± 【答案】C因为 两式相加可得，即 2.若是第三象限角，且，则__. 【答案】，由于是第三象限角，所以，所以. 3.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，而，因此， 则，所以 4.已知，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D【详解】因为，则，， 又因为， 则①， 等式①的两边同时除以 可得，解得. 5.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由于，所以，所以，所以，又，所以，所以，由题设显然，所以，所以，所以. 6.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以. 三角恒等变化+诱导公式 1.．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为，所以， 所以,所以,故选D． 2.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，所以，选A. 3.已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由题可得：，又因为，所以，所以，解得：或，因为，，所以. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由， 5.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由得，所以． 正弦、余弦、正切综合应用 1.若 ，则 A． B． C．1 D． 【答案】A【解析】由，，得，或 ，，所以， 则，故选A． 2.已知，则 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由可得，进一步整理可得，解得或，于是． 3.（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】[方法一]：直接法 由已知得：,即：，即：所以 4.已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为为锐角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此. 5.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由条件等式可知，，整理为，则， 又，，所以，，所以 . 6.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】∵，解得， ∴. 7.已知，则（   ） A． B． C．7 D． 【答案】D【详解】由，得，解得， 由于，则，又，则，则，则 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由，两边平方得： . 所以． 9.已知，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题意得，可得，.令，则，当且仅当，即时，等号成立.而是锐角，则. 和差化积 1.已知，，则的值为________. 【答案】因为，所以.①因为，所以.②因为，所以由得，即. 所以. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $