精品解析：山东省滨州市滨城区北镇中学实验初中部2025—2026学年上学期第二次月考八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算x2•x3的结果是（　　） A. x6 ​ B. x2  ​ C. x3   ​ D. x5 2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（　　） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 三角形的两边之和大于第三边 3. 下列说法正确的是（    ） A. 是分式 B. 对于任意实数，总有意义 C. 是最简分式 D. 分式的分子为0，则分式的值为0 4. 如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 如图是一风筝的骨架图，点是中点，且垂直于，若，四边形的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（ ） A. 两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 9. 如下图杨辉三角给出了（，2，3，4…）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1恰好对应着的展开式中的各项系数；第4行的4个数1，3，3，1恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，的展开式中项的系数是（ ） 1 ………………………………… 1 …………………………… 1 1 …………………… 1 2 1 ………………1 3 3 1 ………1 4 6 4 1 A. 6 B. 10 C. 15 D. 20 10. 如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点与点关于轴对称，则的值为______． 12. 在中，，，则_________． 13. 若分式的值为零，则______． 14. 若，则可表示为________（用含a、b的代数式表示）． 15. 如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为______． 16. 当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如：由图1可得等式：． （1）由图2可得等式：________； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知且，则_______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知是的角平分线，，垂足为．，相交于点，，试求的度数． 18. 分解因式： （1） （2） 19. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，； （3）先化简再求值：，再从，中选择一个你喜欢的数代入求值． 20. 如图，，点在上． （1）求作：内部一点P，使点P到的两边、的距离相等，且；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹） （2）若上题中的点P到的距离是，则的长是____________． 21. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 22. 【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． 请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出，，之间的等量关系是______ ； （2）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式． ①根据图③，写出一个代数恒等式：______ ； ②若，，求的值． 23. 已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算x2•x3的结果是（　　） A. x6 ​ B. x2  ​ C. x3   ​ D. x5 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法性质am·an=am+n,即可解题. 【详解】解：x2•x3= x5 故选D. 【点睛】本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键. 2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（　　） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 三角形的两边之和大于第三边 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A． 【点睛】本题考查的三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（    ） A. 是分式 B. 对于任意实数，总有意义 C. 是最简分式 D. 分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为零的条件，根据分式的定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得A错误；根据，因此对于任意实数，总有意义，故可判断B正确；根据分子与分母没有公因式是最简分式可得C错误；根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零可得D错误． 【详解】解：A、不是分式，故选项A说法错误； B、对于任意实数，总有意义，正确，符合题意； C、，原选项不是最简分式，故选项C说法错误； D、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，则分式的值为0，原选项说法错误； 故选：B． 4. 如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 5. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 根据因式分解的方法，进行因式分解，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、无法分解因式，选项错误，不符合题意； 故选C． 6. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，解一元一次方程，代数式求值，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．利用三角形的内角和定理对各项已知条件逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：条件①：由，结合内角和，得，故，是直角三角形，故①符合题意； 条件②：设，，，则，解得，，是直角三角形，故②符合题意； 条件③：由，得，故，是直角三角形，故③符合题意； 条件④：由，得每个角为，无直角，故④不符合题意； 条件⑤：设，则，，由，解得，此时无角为，故⑤不符合题意； 综上，满足条件的为①、②、③，共3个， 故选：C． 7. 如图是一风筝的骨架图，点是中点，且垂直于，若，四边形的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，由四边形的周长即可求出． 【详解】解：∵垂直于 ∴ ∵四边形的周长为 ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（ ） A. 两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形有两条边和其中一边对角相等，但这两个三角形不全等， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角相等，这两个三角形不一定全等， 故选：A． 9. 如下图杨辉三角给出了（，2，3，4…）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1恰好对应着的展开式中的各项系数；第4行的4个数1，3，3，1恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，的展开式中项的系数是（ ） 1 ………………………………… 1 …………………………… 1 1 …………………… 1 2 1 ………………1 3 3 1 ………1 4 6 4 1 A. 6 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，读懂题意、归纳出式子的规律是解题的关键． 由题意可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，然后根据规律解答即可． 【详解】解：∵ 1 ………………………………… 1 …………………………… 1 1 …………………… 1 2 1 ………………1 3 3 1 ………1 4 6 4 1 …… ∴的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， ∴， ∴的系数为20． 故选D． 10. 如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的特征，“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，得到方程组，求解即可． 此题考查了坐标与图形，轴对称的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的特征，正确求得的值． 【详解】解：点与点关于轴对称 则， 解得：， ∴ 故答案为：7． 12. 在中，，，则_________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，由三角形的内角和定理可得：，再结合所给的条件，可得，从而可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∴， ， ． 故答案为：． 13. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 14. 若，则可表示为________（用含a、b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴====． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 15. 如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为______． 【答案】13或−11 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：13或−11． 16. 当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如：由图1可得等式：． （1）由图2可得等式：________； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知且，则_______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】（1）方法一：直接利用正方形的面积公式可求出图形的面积；方法二：利用图形的面积等于9部分的面积之和，根据方法一和方法二的结果相等建立等式即可得； （2）先将已知等式利用完全平方公式、整式的乘法法则变形为，再利用（1）的结论可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）方法一：图形的面积为， 方法二：图形的面积为， 则由图2可得等式为， 故答案为：； （2）， ， ， 利用（1）的结论得：， ， ，即， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积、整式乘法的应用，熟练掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知是的角平分线，，垂足为．，相交于点，，试求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理． 由对顶角相等可得，再根据垂直的定义可得，进而求得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：． 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先变形，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，； （3）先化简再求值：，再从，中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1）；（2），0；（3）；当时，原式或当时，原式原式,． 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、分式的混合运算、分式有意义的条件等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方、积的乘方运算，然后再化除为乘，最后再约分即可； （2）先用整式混合运算法则化简，然后将、代入求值即可； （3）先根据分式的混合运算法则化简，再选择使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 当，时，原式． （3） ； 当时，原分式无意义； 所以，选择时，原式； 选择时，原式． 20. 如图，，点在上． （1）求作：内部一点P，使点P到的两边、的距离相等，且；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹） （2）若上题中的点P到的距离是，则的长是____________． 【答案】（1）如图所示，点P即为所求； （2）8 【解析】 【分析】（1）直接利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质作图得出答案． （2）直接利用含角的直角三角形的性质，即可得到的长，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，点P到的距离是， ∴， ∴中，， ∵， ∴， 故答案为：8． 21. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 【答案】（1）5； （2）证明： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，分式都有意义． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、分式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据分式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2） 略 22. 【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． 请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出，，之间的等量关系是______ ； （2）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式． ①根据图③，写出一个代数恒等式：______ ； ②若，，求的值． 【答案】（1） （2）①；②9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及立方公式的几何背景，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键． （1）依据图形的特点，分为两种方法，一种依据边长运用面积公式直接求面积，另一种用大正方形的面积减去四个小矩形的面积，再根据两种方法面积相等即可得到数量关系； （2）①方法1：根据正方体的体积公式，正方体的边长的立方就是正方体的体积；方法2：2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积，由此即可得到结论； ②根据①中的结论求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，方法1：阴影部分是边长为的正方形，则其面积为； 方法2：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，则其面积为， ∵两种表示方法的面积相等， ∴ 【小问2详解】 解：①方法1：大正方体棱长为， ∴其体积为， 方法二：大正方体体积是所有长方体和所有小正方体的体积和，即， 故答案为：； ②由①得， ，， ； ∴． 23. 已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）的度数为 （2）为等边三角形，证明： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， 在与中： ∵， ∴， ∴， 又∵， 故为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确找出等量关系是解题的关键． （1）由和都是等边三角形，结合边长与角度的等量关系，证出，即，结合，可得，进一步得出的度数； （2）由（1）中的，得出，结合边长和角度关系，证出，故，又因为，可证为等边三角形． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故的度数为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $