21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

21.2解一元二次方程 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 7.关于x的方程x2+3x十m=0的两根为x1, 知识梳理ZHISHI SHUU ,且1+1=3， 元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两 十2=之，求m的值. 根x1,x2与系数a,b,c之间的关系是x1十x2= ,C1C2= 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一 利用根与系数的关系求两根之间关 系的代数式的值 1.关于x的一元二次方程x2一4x十1=0的两个 课后作业KEHOU ZUOYE 根为x1,x2,则x1十x2为( ) 1.下列方程中，两个实数根之和为2的一元二 A.4 B.-4 C.1 D.-1 次方程是( 2.一元二次方程x2一2x=0的两根分别为x1和 A.x2+2x-3=0 B.x2-2x+3=0 x2,则x1x2为( C.x2-2x-3=0 D.x2+2x+3=0 A.-2 B.1 2.已知一元二次方程x2一2x一1=0的两根分 C.2 D.0 3.已知a,B是一元二次方程x2十x一2=0的两 别为x1,x,则1十1的值为( 个实数根，则a十B-3的值是() B.1 A.2 B.-1 D.-2 A.3 C.-2 C.-1 D.-3 3.已知x1,x2是关于x的方程x2十bx一3=0 4.若x1,x2是方程x2十x一1=0的两根，则 的两根，且满足x1+x2一3x1x2=5,那么b的 (x1-2)·(x2-2)的值为 值为() 知识点二利用根与系数的关系求方程中待定 A.4 B.-4 C.3 D.-3 字母的值 4.若关于x的方程2x2+mx十n=0的两个根 5.已知x1,x2是一元二次方程x2十2x一k一1 是一2和1，则nm的值为( ) 0的两根，且x1x2=一3，则k的值为( A.-8 B.8 C.16 D.-16 A.1 B.2 5.若x1,2是方程x2一2mx十m2-m一1=0的两 C.3 D.4 个根，且x十2=1一xx2,则m的值为() 6.(天津静海区期中)已知关于x的一元二次方 A.-1或2 B.1或-2 程2x2+(2一4m)x+6m=0的两根之和与两 C.-2 D.1 根之积相等，则m的值为() 6.设x1,x2是一元二次方程x2-mx一6=0的 A.6.5 B.-1 两个根，且x1十x2=1,则x1= C.2 D.-2 x2= 13 数学九年级上册第二十一章一元二次方程 7.(天津和平区校级期中)设a,b是方程x2十10.若实数x1,x2满足x号一3x1十1=0，x一 x一2020=0的两个实数根，则b2+2b+a的 32十1=0，求+2的值. 值为 8.已知关于x的一元二次方程x2一2x十a=0 的两实数根x1,x2满足x1x2十x1十x2>0,求 a的取值范围.。 g能力提升ENGUTSIN6奇 9.已知关于x的一元二次方程x2一(2k一1)x十 11.如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线 十k一1=0有实数根. 交于点O,且OA,OB的长分别是关于x的 (1)求的取值范围； 方程x2+(2m-1)x十m2十3=0的根，求m (2)若此方程的两实数根x1,x2满足x十 的值. x2=11,求k的值. 14.2x=1±8， (4)3y2+4y-4=0, =1+89 2 w=18-7 .△=16+48=64>0， 2 2 (2)将原方程移项，得3x2十4x=-1, y=二4±64 6 方程两边同时除以3，得+号x=-}, y=号%=-2 配方，得 (5)x2-2x=15, +x+(号)°=-g+(号)， x2-2x-15=0, (x一5)(x+3)=0, 即(+)=日， ∴.x1=5,x2=-3. (6)2x2-5x-1=0, 2 开平方，得x十3 =士3 .△=25+8=33>0， =一号士 x=5±33 4 =-号+日= x,=5+√3，，=5√3 4 4 =号1 8.解(1)x2+3x十2 =x2+(1+2)x+1×2 (3).b2-4ac=(-1)2-4×1×(-7)=29>0, =(x+1)(x+2)=0, x=1±29 .x+1=0或x+2=0. 2 x1=-1,x2=-2. 即x1=1+2四，x,=1-√2四 2 (2)x2-2x-3 (4)原方程可化为x2-1-3.x+3=0, =x2+(-3+1)x+1×(-3) 即(x+1)(x-1)-3(x-1)=0, =(x+1)(x-3)=0, (x-1)(x+1-3)=0, ∴x十1=0或x-3=0. 于是x一1=0或x-2=0, .x1=-1,x2=3. .x1=1,x2=2. 能力提升 9.解设m=4x一5，n=3x一2， 课后作业 1.B2.C3.C4.A 则m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3, 原方程化为m2+n2=(m-n)2, 5.x2十x一6=0（答案不唯一） 整理得mn=0, 6.x1=1.5,x2=2 即(4x-5)(3x-2)=0, 7.解(1)(2x十3)2-16=0，(2x十3)2=16， ∴.4x-5=0,或3x-2=0, 开方，得2x十3=士4， 5 2 解得x1==了 “21.2.4一元二次方程的 (2)x2+4x-4=0, x2+4x=4, 根与系数的关系 x2+4x+4=4+4, 知识梳理 (x+2)2=8, b c x+2=土√8， aa 对点练习 .x1=-2+2√2，x2=-2-2√2. 1.A2.D3.B4.55.B6.B (3)(x-3)2-2x(x-3)=0, 7.解，方程x2十3.x十m=0的两根为x1,x2, (x-3)(x-3-2x)=0, .x1十x2=一3，x1x2=m, x一3=0，或一x一3=0， …x1=3,x2=-3. +这层 37 m=-2. 21.3实际问题与一元二次方程 课后作业 1.C2.D3.A4.C5.D 第1课时传播与球赛等问题 6.-237.2019 8.解·该一元二次方程有两个实数根， 知识梳理 ∴.△=(-2)2-4X1×a=4-4a≥0，解得a≤1. 1.(1)题意(2)设未知数(3)方程(4)解方程 由根与系数的关系可得x1x2=a,x1十x2=2, 2.(x+1)x(x+1)(x+1)2 3.(x+1)2=n :x1x2十x1十x2>0, 对点练习 ∴.a十2>0，解得a>-2. 1.C2.A .-2<a1. 9.解(1)关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+ 3.解(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得1十x十x(1十x)=144, k一1=0有实数根， 解得x1=11,x2=一13（不合题意，舍去）. .△≥0，即「-(2k一1)72一4×1×(k2+k一1)=-8k十 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人 5≥0，解得≤日 (2)144+144×11=1728(人). (2)由根与系数的关系可得x1十x2=2k-1,x1x2=2十 答：三轮传染后，患流感的有1728人. k-1, 4.B5.C .x+x=(x1十x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2十k 课后作业 1)=22-6k+3. 1.A2.B3.104.12 x+x号=11，.2k2-6k+3=11, 5.解设全组共有x名成员.由题意，得x(x-1)=132,即 解得k=4或k=一1. x2-x-132=0,解得x1=12,x2=一11（不合题意，舍 ≤智，k=4合去， 去)..全组共有12名成员， 6.解设每轮转发中平均一个人转发给x个人， .k=-1 由题意得：1+x+x2=133, 10.解当x1卡x2时，G1,x2是方程x2一3x十1=0的两根， 解得：x1=11,x2=一12（不合题意，舍去）， 有x1十x2=3,x1x2=1. 答：每轮转发中平均一个人转发给11个人】 故9十4=+运-0十)-2西=3-2×1=7. 7.解(1)设这个多边形的边数是n. 1 1 当x=x2时，原式=1十1=2. 根据题意，得0m-3》=14. 综上，原式的值是7或2. 整理，得n2-3n-28=0, 能力提升 解得n1=7,n2=一4. 11.解因为OA,OB的长是方程x2+(2m一1)x十m2+3= n≥3且n为整数，.n=7, 0的两个实数根，所以OA+OB=1一2m,OA·OB= 即这个多边形的边数是7. m2+3. (2)A同学的说法不正确.理由：设这个多边形的边数 在菱形ABCD中，OA2+OB=AB,(OA+OB)2- 为m,则2m(m-3)=10. 2OA·OB=AB2, 即(1-2m)2-2(m2+3)=25, 整理，得m-3m一20=0，解得m=3±√8。 2 化简得m2-2m-15=0. ,'.符合方程m2一3m一20=0的正整数m不存在. 解得m1=5,m2=-3. .多边形的对角线不可能有10条， 而方程有两实数根， 即A同学的说法不正确. 则b2-4ac=(2m-1)2-4(m2+3)≥0. 第2课时平均变化率与利润等问题 从而可知m<一头 知识梳理 因此m=5不合题意，舍去. 故m=-3. 1,增长率=增长数 基准数 a(1+x)a(1+x)2 38