7.3 定义、命题、定理 同步练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.3 定义、命题、定理 一．选择题 1．（2025秋•安达市期末）下列四个命题中是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 2．（2024秋•渭南期末）对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1＝∠2＝90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（　　） A．∠1＝80°，∠2＝110° B．∠1＝10°，∠2＝169° C．∠1＝60°，∠2＝120° D．∠1＝60°，∠2＝140° 3．（2024秋•德化县期末）下列说法，正确的是（　　） A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题 4．（2024秋•亳州期末）下列命题为假命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．对顶角相等 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．（2025秋•雁塔区校级月考）下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•双阳区校级期中）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣3 二．填空题 7．（2024秋•古浪县校级期末）命题“等角的余角相等”的条件是　 　 ，结论是　 　 ． 8．（2024秋•寻乌县期末）命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”是　 　 ．命题．（填“真”或“假”） 9．（2025•格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　 　 ． 10．（2025秋•渭源县校级期末）定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是：　 　 ． 三．解答题 11．（2025秋•安庆校级期中）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 12．（2025秋•拱墅区校级期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数a和b，若a＞b，则一定有a2＞b2”，两人提出了如下问题： （1）小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． （2）小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b，若a＞b＞0，则一定有a2＞b2．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 13．（2025春•献县校级期末）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2． （1）求证：BC∥DE； （2）若命题“已知∠CDE＝ 　 　 ，则∠B＝40°”是真命题，请填空，并说明理由． 14．（2025春•忻州月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…那么…”的形式：　 　 ； （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，b⊥a，　 　 ．求证：　 　 ． 15．（2025春•舒兰市校级期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC与DE交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：∠B＝∠D； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由； （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 16．（2025春•宿豫区期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明． 17．（2025春•顺义区期末）阅读材料，并完成任务． 数学课上，同学们学习了两条直线平行的判定方法．之后小明又进行了探究，部分过程如下： （1）如图，两条直线l1，l2被第三条直线l3所截，其中∠1与∠2，∠3与∠4分别叫做外错角； （2）经过画图、观察、测量、验证等过程，得到猜想：“外错角相等，两直线平行”； （3）对于（2）中的猜想，先分清命题的条件和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明． 已知：如图，∠1＝∠2， 求证：　 　 ． 画图： 证明： 请你阅读以上材料，补全如表． 18．（2025春•沭阳县期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C＝180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C＝180°”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD ∴∠A+∠C＝180°（　 　 ） ∵AC∥BD， ∴∠A＝　 　 （ 　 　 ） ∴∠DBE+∠C＝180° （等量代换） （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 定义、命题、定理 一．选择题 1．（2025秋•安达市期末）下列四个命题中是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，所以A选项为假命题； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以B选项为假命题； C、实数与数轴上的点一一对应，所以C选项为真命题； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以D选项为假命题． 故选：C． 2．（2024秋•渭南期末）对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1＝∠2＝90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（　　） A．∠1＝80°，∠2＝110° B．∠1＝10°，∠2＝169° C．∠1＝60°，∠2＝120° D．∠1＝60°，∠2＝140° 【解答】解：对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1＝∠2＝90°”，能说明这个命题是假命题的反例可以是∠1＝60°，∠2＝120°． 故选：C． 3．（2024秋•德化县期末）下列说法，正确的是（　　） A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题 【解答】解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误； B、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误； C、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确； D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误． 故选：C． 4．（2024秋•亳州期末）下列命题为假命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．对顶角相等 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解答】解：A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0，是真命题； B．对顶角相等，是真命题； C．若|a|＝|b|，则a＝±b，原命题是假命题； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行是真命题； 故选：C． 5．（2025秋•雁塔区校级月考）下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图中的两个20°的角相等，但不是对顶角，能说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意； B、图中的两个20°的角相等，是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； C、图中的两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； D、图中的两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； 故选：A． 6．（2025秋•双阳区校级期中）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣3 【解答】解：A、a＞b，a2＝4，b2＝1，a2＞b2，不能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A不符合题意； B、a＞b，a2＝4，b2＝0，a2＞b2，不能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故B不符合题意； C、a＞b，a2＝4，b2＝1，a2＞b2，不能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故C不符合题意； B、a＞b，a2＝4，b2＝9，a2＜b2，能说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故D符合题意． 故选：D． 二．填空题 7．（2024秋•古浪县校级期末）命题“等角的余角相等”的条件是　两个角相等　 ，结论是　它们的余角也相等．　 ． 【解答】解：“等角的余角相等”可改写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”， 所以条件是：两个角相等；结论是：它们的余角也相等， 故答案为：两个角相等；它们的余角也相等． 8．（2024秋•寻乌县期末）命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”是　假　 ．命题．（填“真”或“假”） 【解答】解：命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”缺少了在同一平面内， 故命题是假命题； 故答案是：假． 9．（2025•格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 10．（2025秋•渭源县校级期末）定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是：　如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数　 ． 【解答】解：逆定理为“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数”． 故答案为：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数． 三．解答题 11．（2025秋•安庆校级期中）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）选择第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD． 12．（2025秋•拱墅区校级期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数a和b，若a＞b，则一定有a2＞b2”，两人提出了如下问题： （1）小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． （2）小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b，若a＞b＞0，则一定有a2＞b2．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【解答】（1）解：例如：a＝3，b＝﹣6，a＞b，a2＝9，b2＝36，得到a2＜b2； （2）证明：∵a＞b＞0， ∴a2＞ab，ab＞b2， ∴a2＞b2． 13．（2025春•献县校级期末）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2． （1）求证：BC∥DE； （2）若命题“已知∠CDE＝ 　140°　 ，则∠B＝40°”是真命题，请填空，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠BFD＝∠1， ∴∠2＝∠BFD， ∴BC∥DE； （2）解：命题“已知∠CDE＝140°，则∠B＝40°”是真命题，理由如下： 由（1）知BC∥DE， ∴∠C+∠CDE＝180°， ∵∠CDE＝140°， ∴∠C＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝40°． 故答案为：140°． 14．（2025春•忻州月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…那么…”的形式：　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行　 ； （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，b⊥a，c⊥a ．求证：b∥c ． 【解答】解：（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2） ∵b⊥a（已知）， ∴∠1＝90°（垂直的定义）， ∵c⊥a（已知）， ∴∠2＝90°（垂直的定义）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：c⊥a，b∥c． 15．（2025春•舒兰市校级期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC与DE交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：∠B＝∠D； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由； （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠CGE，∠D＝∠CGE， ∴∠B＝∠D； （2）解：∠B+∠D＝180°，理由如下： ∵AB∥DE，BC∥DF， ∴∠B+∠DGB＝180°，∠D＝∠DGB， ∴∠B+∠D＝180°； （3）解：综上所述，两边分别平行的两个角相等或互补． 16．（2025春•宿豫区期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明． 【解答】解：（1）逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线平行； （2）（1）中的命题是真命题， 已知：如图，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，EG⊥FG， 求证：AB∥CD， 证明：∵EG⊥FG， ∴∠G＝90°， ∴∠EFG+∠FEG＝180°﹣90°＝90°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∴∠BEF+∠EFD＝2（∠EFG+∠FEG）＝180°， ∴AB∥CD． 17．（2025春•顺义区期末）阅读材料，并完成任务． 数学课上，同学们学习了两条直线平行的判定方法．之后小明又进行了探究，部分过程如下： （1）如图，两条直线l1，l2被第三条直线l3所截，其中∠1与∠2，∠3与∠4分别叫做外错角； （2）经过画图、观察、测量、验证等过程，得到猜想：“外错角相等，两直线平行”； （3）对于（2）中的猜想，先分清命题的条件和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明． 已知：如图，∠1＝∠2， 求证：AB∥CD ． 画图： 证明： 请你阅读以上材料，补全如表． 【解答】解：已知：如图，∠1＝∠2， 求证：AB∥CD． 证明：∵∠AGH＝∠1，∠DHG＝∠2，∠1＝∠2， ∴∠AGH＝∠DHG， ∴AB∥CD． 故答案为：AB∥CD． 18．（2025春•沭阳县期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C＝180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C＝180°”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD ∴∠A+∠C＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ） ∵AC∥BD， ∴∠A＝　∠DBE （ 　两直线平行，同位角相等　 ） ∴∠DBE+∠C＝180° （等量代换） （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 【解答】解：（1）补全证明过程及推理依据如下： 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠DBE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DBE+∠C＝180° （等量代换）； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等； （2）选取①③作为题设，②作为结论．即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠DBE+∠C＝180°， ∴∠A＝∠DBE（等量代换）， ∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）． 学科网（北京）股份有限公司 $