2025--2026学年苏科版九年级上册数学期末复习2（几何专项）
|
2份
|
53页
|
481人阅读
|
23人下载
内容正文：
初三数学期末复习2（几何专项）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，AB是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在AB上．过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，连接OD，AD，BD．过点C作CE⊥OD于点 E．设AC＝a，CB＝b，则图中长度一定等于的线段是（ ）
A．CD B．OD C．OE D．DE
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD＝90°，∵∠DAC+∠ADC＝∠BDC+∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠BDC，∴△ADC∽△DBC，∴CD：BC＝AC：CD，∵AC＝a，CB＝b，∴CD，∵AB＝a+b，∴ODAB（a+b），∵CE⊥OD于点E，
∴∠DEC＝∠DCO，∵∠CDE＝∠CDO，∴△DCE∽△DOC，∴CD：OD＝DE：CD，∴DE．
故选：D．
2．已知AB为半⊙O的直径，AB＝4，点P是半圆内任意一点，以AB为边在半圆下方作矩形ABCD，连接PA，PB，PC，PD，记△PAD，△PBC，△PCD的面积分别为S1，S2，S3，若要求S3﹣S2﹣S1的值，需要添加的条件是（ ）
A．AD的长度 B．P到AD的距离
C．P到AB的距离 D．P到CD的距离
﹣（S2+S1）4×（P到AB的距离+AD）AD×44×P到AB的距离，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD⊥BC，
∵S1AD×P到AD的距离，S2BC×P到BC的距离，∴S2+S1AD×4，
∵S34×P到CD的距离4×（P到AB的距离+AD），
∴S3﹣S2﹣S1＝S3﹣（S2+S1）4×（P到AB的距离+AD）AD×44×P到AB的距离，
∴若要求S3﹣S2﹣S1的值，需要添加的条件是P到AB的距离，
故选：C．
3．如图，四边形ABCD是边长确定的正方形，点E、F分别在边DC、BC上，∠EAF＝45°，求△AEF的面积，只需要知道（ ）
A．△CEF的面积 B．△ADE的面积 C．△ABF的面积 D．△CEF、△ADE、△ABF的面积都必须要知道
【解答】解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图：
由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAF＝45°，∴∠BAH+∠BAF＝45°，∴∠FAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴S△AEF＝S△AHF＝S△ABF+S△ABH＝S△ABF+S△ADE＝（S正方形ABCD﹣S△ECF）÷2，
∵四边形ABCD是边长确定的正方形，
∴只需要知道△CEF的面积即可求出△AEF的面积，故选：A．
4．如图，在等边△ABC中，点F为AC边上的中点，以F为顶点作一个60°的角交AB、BC边于D、E两点，连结DE，则知道下列哪个条件就可以计算△ABC的周长（ ）
A．△ADF的周长 B．△DEF的周长
C．△CEF的周长 D．△BDE的周长
【解答】解：如图，取AB中点G，连结FG，在ED上截取EH＝EC，连结FH，
由∠EFD＝∠ECF＝∠FAD＝60°，∴∠EFC+∠FEC＝∠EFC+∠AFD＝120°，
∴∠CEF＝∠AFD，∴△CEF∽△AFD，∵AF＝CF，∴，∵∠EFD＝∠ECF，∴△CEF∽△FED，
即△CEF∽△FED∽△AFD，∴∠CEF＝∠FED，
∴△ECF≌△EHF（SAS），∴∠FHE＝∠FGA＝60°，∴∠FHD＝∠FGD＝120°，
∵∠FDH＝∠FDG，∴△FDH≌△FDG（AAS），
∴DG＝DH，∴C△BDE＝BE+DE+BD＝BE+EH+DH+BD＝BC+BGBC，
即为△ABC周长的一半，故选：D．
5．E为正方形ABCD内一点，DE⊥EC，已知下列四条线段哪一条线段长就可以求出S△BEC的值（ ）
A．AB B．BE C．EC D．ED
．
【解答】解：作EF⊥BC于F，EG⊥CD于G．BEC的面积等于BC与EF乘积的一半．
当已知AB的长，AB＝BC，E是动点，EF的长是个变量，不能求出△BEC的面积，选项A错误．
当已知BE的长，E在以B为圆心，BE为半径的圆上，随E的位置变化，EF的长是变的，BC的长不知道，不能求出△BEC的面积，选项B错误．
∠CED＝90°．EG是斜边上的高，△ECG∽△DCE，CE2＝CG•CD，CG＝EF，CD＝BC，△BEC的面积＝CE2的一半．选项C正确．
由选项C可知，当知道ED的长，确定△ADE的面积，不能得出△BEC的面积，选项D错误．
故选：C．
6．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形ABCD，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ）
A．四边形ABCD的面积 B．四边形EFGH的面积
C．△ADH的面积 D．△CDG的面积
【解答】解：设直角三角形BCF的长直角边CF为a，短直角边BF为b，直角三角形GCD的长直角边GD为m，短直角边GC为n．∴S△GCEGC•EFn（m﹣b），S△AEDAE•HDnb．
∴S阴影nmmn．∵S△GCDGC•GDmn．∴S阴影＝S△GDC．故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的应用．用直角三角形的直角边长表示出阴影部分的面积是解决本题的关键．
7．如图，▱ABCD中，∠BAD＝110°，E，F分别为AB，CD的中点，将▱ABCD沿直线EF折叠，点C落在边AD上点G处，则∠GFD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．50° D．40°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAD+∠GDF＝180°，
∵∠BAD＝110°，∴∠GDF＝70°，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF∥AD∥CB，
∴∠EFC＝∠GDF＝70°，由折叠的性质可得出∠EFC＝∠GFE＝70°，
∴GFD＝180°﹣∠EFC﹣∠GFE＝40°，故选：D．
二．填空题（共19小题）
8．如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
【解答】解：正五边形的每一个内角的度数为：∠A108°，
即阴影扇形的圆心角为108°，∴的长为，
设围成圆锥体的底面半径为r，由题意得2πr，解得r，故答案为：．
9．如图，AC⊥CB，AC＝CB，以BC为直径作半圆O，P为弧BC上一点，且∠CAP最大，延长AP、CB，交于点D．则sinD的值为 ．
【解答】解：如图，连接OP，
∵∠CAP最大，∴AD与半圆O相切于点P，∴OP⊥AD，∴∠OPD＝90°，∵AC⊥CB，∴∠ACD＝90°＝∠OPD，又∵∠ODP＝∠ADC，∴△ODP∽△ADC，∴，
设OB＝OC＝OP＝a，BD＝x，则AC＝CB＝2a，∴，
∴AD＝2a+2x，PD＝ax，∵AC⊥CB，以BC为直径作半圆O，
∴AC与半圆O相切于点C，∴AC＝AP＝2a，∴2a+2x＝2a+ax，∴xa，
∴OD＝a+xa，∴sinD，故答案为：．
10．如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.2cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为8cm，AE∥OF，则像CD的高为 20.8 ．
【解答】解：由题意得：AB∥CD，AE＝OB＝6cm，∵AE∥OF，∴∠CAE＝∠COF，∠CEA＝∠CFO，
∴△CAE∽△COF，∴，∴，∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴，
∴，解得：CD＝20.8，∴像CD的高为20.8cm，故答案为：20.8．
11．有一副直角三角板ABC、DEF，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°．如图，将三角板DEF的顶点E放在AB上，移动三角板DEF，当点E从点A沿AB向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．若直线DF与直线AB交于点M，当△MEF为等腰三角形时，则∠ACE的度数为 15°或82.5° .
【解答】解：根据题意可知∠F＝45°，∠DEF＝90°，∠A＝30°，
①EM＝FM时，如图：
∴∠MEF＝∠F＝45°，∴∠CEB＝90°﹣45°＝45°，∵∠A+∠ACE＝∠CEB，
∴∠ACE＝45°﹣30°＝15°；
②EF＝FM时，如图：
∴∠MEF+∠M＝45°，∴∠MEF＝22.5°，∴∠DEM＝90°+22.5°＝112.5°，∵∠A+∠ACE＝∠DEM，
∴∠ACE＝112.5°﹣30°＝82.5°．综上所述，∠ACE的度数为15°或82.5°．
12．如图，矩形OABC与矩形OA'B'C'关于点O位似，则点O、B与点B' 一定 共线．（填“一定”或“一定不”或“不一定”）
【解答】解：∵矩形OABC与矩形OA'B'C'关于点O位似，∴点O、B与点B'一定共线，
13．已知菱形ABCD和菱形AECF，B、E、F、D在同一直线上，且∠EAF＝∠ABC，设，则y关于x的函数表达式为 y＝x2 ．
【解答】解：如图，连接AC，交EF于点N，∵四边形ABCD和四边形AECF是菱形，
∴∠ABD∠ABC，∠EAC∠EAF，AC⊥BD，ENEF，BNBD，
∵∠EAF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EAC，又∵∠ANE＝∠ANB＝90°，∴△AEN∽△BAN，
∴，∴AN2＝EN•BN，∴，
∵设，∴y＝x2，故答案为：y＝x2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点D是BC边上一动点，且△ABC∽△ADE，则△CDE面积的最大值为 ．
【解答】解：过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2AC，BCAC＝2，
∴，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ADB∽△AEC，∴，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴∠ECM＝60°，
∴∠CEM＝30°，∴CE＝2CM，
∴EMCM，BD＝2CE＝4CM，∴CD＝BC﹣BD＝24CM，
∴S△CDECD•EM（24CM）•CM＝﹣2CM2+3CM＝﹣2．
即△CDE面积的最大值为．故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AD＝2BD＝6，点E在线段BC上（不与点B、C重合）将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当点F落在△ABC的中位线上时，则BE的值为 3或 ．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于H，∵AD＝2BD＝6，∴BD＝3，AB＝9，
若点F落在以AB中点和AC中点所在的中位线上，∴FHAB，
∵将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，∴DE＝EF，∠DEF＝90°＝∠ABC＝∠FHE，
∴∠DEB+∠FEH＝90°＝∠DEB+∠EDB，∴∠EDB＝∠FEH，∴△DEB≌△EFH（AAS），
∴BE＝FH，
此时点F不在以AB中点和AC中点所在的中位线上，故舍去；
若点F落在AC中点和BC中点所在的中位线上，∴BHBC＝6，∵△DEB≌△EFH，
∴DB＝EH＝3，∴BE＝3，
当点F落在落在AB中点和BC中点所在的中位线MN上，∵△DEB≌△EFH，∴DB＝EH＝3，BE＝FH，
∴NH＝6﹣3﹣BE＝3﹣BE，∵tan∠MNB，∴，同理可求BE，
故答案为：3或．
16．如图，BC是⊙O的弦，OA是⊙O的半径，且OA⊥BC，点D是弧AB的中点，若OA＝4，∠BDC＝100°，则弦CD的长为 4 ．
【解答】解：连接OC，OD，过O作OH⊥CD于H，∵∠CDB＝100°，∴优弧BC的度数＝2×100°＝200°，∴劣弧BC的度数＝360°﹣200°＝160°，∵OA⊥BC，
∴，∴的度数160°＝80°，∵点D是弧AB的中点，∴的度数80°＝40°，
∴的度数＝160°﹣40°＝120°，∴∠COD＝120°，∵OH⊥CD，OD＝OC，
∴∠COH∠COD＝60°，CD＝2CH，∵sin∠COH＝sin60°，OC＝AO＝4，
∴CH＝2∴CD＝2CH＝4．故答案为：4．
17．如图，PB是⊙O的切线，切点为B，连接OP交⊙O于点C，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为 2π ．
【解答】解：∵PB是⊙O的切线，切点为B，∴OB⊥BP，∴∠OBP＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OBP中，∵∠BOP＝60°，
∴PBOB＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OBP﹣S扇形BOC2×22π．
故答案为：2π．
18．如图，点D是等边△ABC边AB上一点，AB＝12，连接CD，将△ACD沿CD翻折，得到△CDE，若以D为圆心，DA为半径的圆经过△CDE一边的中点，则⊙D的半径是 6或﹣2+2 ．
【解答】解：如图1，第一种情况：当⊙D过CD边的中点时，设CD与⊙D的交点为点F，作DG⊥BC于G，
设⊙D的半径为r，则DE＝DF＝FC＝AD＝r，∴DB＝AB﹣AD＝12﹣r，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴DG＝DB•sin60°（12﹣r），BG＝DB•cos60°（12﹣r）＝6r，
∴CG＝BC﹣BG＝12﹣（6r）＝6r，由题意可得点F为CD中点，
∴CD＝2DF＝2r，
在Rt△DGC中，DC2＝DG2+GC2，∴（2r）2，
整理得：3r2+12r﹣144＝0，解得：r1＝﹣2+2，r2＝﹣2﹣2（舍去），
∴⊙D的半径为﹣2+2；
如图2，第二种情况：当⊙D过CE边的中点时，设CE与⊙D的交点为点H，连接DH，
设⊙D的半径为r，则DE＝DH＝AD＝r，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝12，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△CDE是由△ACD折叠而得，
∴EC＝AC＝12，∠DEC＝∠DAC＝60°，∵△DEH中，DE＝DH，∠DEH＝60°，
∴△DEH是等边三角形，∴DE＝DH＝EHEC＝6，∴⊙D的半径为6；
综上所述，⊙D的半径为6或﹣2+2，故答案为：6或﹣2+2．
19．已知，如图AB∥DE，点C在BD上，BC＝2CD，AC＝DE，∠ACB＝∠E，若AB＝6，则AC＝ 66 ．
【解答】解：作AF∥EC，交CB的延长线于点F，则∠F＝∠DCE，在△AFC和△DCE中，
，∴△AFC≌△DCE（AAS），∴FA＝CD，∠FAC＝∠D，∵BC＝2CD，∴BC＝2FA，
设FB＝x，FA＝m，则FC＝x+2m，∵AB∥DE，AB＝6，∴∠FBA＝∠D，
∴∠FBA＝∠FAC，∵∠F＝∠F，∴△FBA∽△FAC，∴，∴FA2＝FB•FC，
∴m2＝x（x+2m），
解关于x的方程得x1＝（1）m，x2＝﹣（1）m（不符合题意，舍去），∴FB＝（1）FA，
∴1，∴1，∴AC＝66，故答案为：66．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD翻折至△BDE处，若BE恰好经过点C，则tan∠ABD的值为 ．
【解答】解：∵△BDA沿BD对折得到△BDE，∴△BDA≌△BDE，∴∠ABD＝∠DBE，DA＝DE，BE＝AB，AD＝DE，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，
∴BE＝10，∴CE＝10﹣8＝2，
设CD＝x，则DE＝AD＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2，即（6﹣x）2＝x2+22，解得：x，
∴CD，∴tan∠ABD＝tan∠DBC，故答案为：．
21．如图，△ABC和△DBC都是边长为1的等边三角形，点B1在BC边上，将△DBC沿BC方向平移到△D1B1C1的位置．当四边形ABD1C1为矩形时，平移距离BB1＝ 1 ．
【解答】解：当移动距离BB1＝1时，四边形ABC1D1是矩形．理由：连接BC1，AD1，
∵△ABD，△BDC都是边长为2的等边三角形，∴AD＝BD＝DD1，∠ADB＝60°，
∴∠DAD1＝∠DD1A＝30°，∴∠BAD＝60°+30°＝90°，
根据等边三角形的性质，得到AC＝B1D1，∠BB1D1＝∠ACC1，∴△BB1D1≌△ACC1，
∴AC1＝BD1，∵AB＝C1D1，∴四边形ABD1C1是平行四边形，∴平行四边形ABC1D1是矩形．
故答案为：1．
22．如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A1B1C1有 2 个．
【解答】解：如图所示：
故答案为：2．
23．如图，AB＝6，点C为线段AB上一个动点，在AB上方构造等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，点F，G分别在边AD和BE上，且满足，则FG的最小值为 ．
【解答】解：过点F作FHAB于H，过点G作GK⊥AB于K，过点F作FL⊥GK于L，如图所示：
则四边形FHKL为矩形，∴FL＝HK，FH＝KL，∵△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴AC＝DC，∠A＝45°，∵FH⊥AB，∴△AHF为等腰直角三角形，即FH＝AH，
∵FH⊥AB，∠ACD＝90°，∴FH∥CD，∴△AHF∽△ACD，∴，
∴AH＝FHAC，同理：△BKG∽△BCE，∴，∴BK＝GKBC，
设BC＝x，则AC＝AB﹣BC＝6﹣x，∴AH＝FHAC，BK＝GKBC，
∴FL＝HK＝AB﹣AH﹣BK，GL＝|GK﹣KL||x﹣2|，
在Rt△FGL中，由勾股定理得：FG2＝FL2+GL2，即FG2，
整理得：FG2，∴当x＝3时，FG2为最小，最小值为10，∴FG的最小值为．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是线段AD上一动点，以E为直角顶点在EB的右侧作等腰三角形EBF，连接DF，设DF＝t，当t为整数时，点F位置有 11 个．
【解答】解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设AE＝t（0≤t≤12），过F作FG⊥AD，则△BAE≌△EGF，∴GF＝AE＝t，EG＝BA＝6，
∴F（t+6，6﹣t），∴点F在线段y＝﹣x+12（6≤x≤18）上，当x＝6时，F1（6，6），
当x＝18时，F2（18，﹣6），过D作DH⊥F1F2，求得，又∵DF1＝6，，
当F在F1与H之间时，3DF≤6，DF为整数有5、6；
当F在 F2与H之间时，，DF为整数有5、6、7、8、9、10、11、12、13，
∴满足条件的点F共有11个．故答案为：11．
25．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是 3 ．
【解答】解：如图：连接OA，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交格点为点B，点C，
由题意得：BC3，∴BC的长度是3，故答案为：3．
26．已知正方形ABCD，E为射线DC上一点（点D除外），点F为点D关于AE的对称点，若△FCB是等腰三角形，则∠DFA的度数是 75°或60°或15° ．
【解答】解：当点E在CD上时：
①如图所示，当FC＝FB时，∠FCB＝∠FBC，在正方形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，
∴∠ABF＝∠DCF，又∵DC＝AB，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴AF＝DF，∵点F为点D关于AE的对称点，∴AE垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AD＝AF＝DF，即△ADF是等边三角形，∴∠DFA＝60°；
②如图所示，当BF＝BC时，同理可得AD＝AF，又∵正方形ABCD中，AD＝BC＝AB，
∴AF＝BF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，又∵∠BAD＝90°，∴∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴△ADF中，∠DFA75°；
当点E在DC延长线上时，
③如图所示，当BC＝BF时，同理可得AD＝AF，又∵正方形ABCD中，AD＝BC＝AB，
∴AF＝BF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，又∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠DAF＝90°+60°＝150°，∴△ADF中，∠DFA15°；
综上所述，若△FCB是等腰三角形，则∠DFA的度数是 75°或60°或15°．
故答案为：75°或60°或15°．
三．解答题（共30小题）
27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB交于点F，点E在DC的延长线上．
（1）结合以上信息，从①AE与⊙O相切；②AC＝EC；③AD＝AE这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由；
你选择的条件是 ① ， ② ；结论是 ③ .（只要填写序号）
（2）在（1）的条件下，若，CD＝3，求⊙O的直径．
【解答】解：（1）选择的条件①②；结论是③，
命题为：如果AE与⊙O相切，AC＝EC，那么AD＝AE，该命题是真命题，理由如下：
∵AE与O相切，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠EAC＝∠ABC＝∠ADC，
∵AC＝AE，∴∠E＝∠EAC＝∠ADC，∴AE＝AD；
选择的条件①③；结论是②，
命题为：如果AE与O相切，AD＝AE，那么AC＝EC，该命题是真命题，理由如下：∵AE与O相切，
∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠EAC＝∠ABC＝∠ADC，∵AE＝AD，
∴∠E＝∠ADC＝∠EAC，∴CE＝CA；
选择的条件②③；结论是①，
命题为：如果AC＝EC，AD＝AE，那么AE与OO相切，该命题是真命题，理由如下：∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D＝∠B，∵AC＝EC，∴∠E＝∠EAC＝∠B，∴∠B+∠CAB＝90°，∴∠EAC+∠CAB＝90°，
∴AE与⊙O相切；
故答案为：①②；③（答案不唯一）；
（2）解：∵∠E＝∠E，∠EAC＝∠D，∴△EAC∽△EDA，即：，
解得：EC＝2（负值舍去），如图，过点A作ED的垂线段，交ED于点G，
∵AE＝AD，∴EG，
根据勾股定理可得：AG，∵∠E＝∠B，∠AGE＝∠ACB，
∴△AEG∽△ACB，∴，即：，解得：AB，
∴⊙O的直径是，
28．如图，△ABC中，AB＝2AC，点P为BC延长线上一点．
（1）若 ①∠PAC＝∠B ， ③CP＝2 ，求PA的长；（请从信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，③CP＝2”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答．）
（2）在（1）的条件下，当AC＝AP时，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）若①∠PAC＝∠B，③CP＝2，求PA的长；∵∠PAC＝∠B，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBA，∴∵AB＝2AC，∴，∴PA＝2CP＝4；
另外（ⅰ）如果选择①∠PAC＝∠B，②BC＝6，
同理△PAC∽△PBA，∴，∴PB＝2PA，PA＝2CP，此时求不出PA的长；
（ⅱ）如果选择②BC＝6，③CP＝2，此时也求出PA的长．
故答案为：①∠PAC＝∠B，③CP＝2．
（2）过点A作AD⊥PC于D，如图所示：
∵在（1）的条件下，∴CP＝2，AP＝4，∴AC＝AP＝4，∴CD＝PD＝1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD，
∴S△PACCP×AD2，∵△PAC∽△PBA，，
∴S△PAC：S△PBA＝1：4，∴S△PAB＝4S△PAC，∴S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC．
29．如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，MN∥GA∥PQ∥BH，AB∥NP，两个反光镜KI∥CD，直线MN、GA之间的距离为5cm，∠MNP＝122°．与MN平行的一束光线经两个反光镜反射后沿O2F射出，其中O1O2∥AB．（参考值：sin29°≈0.49，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
（1）当G、A、I三点共线时，求反光镜KI的长度；（结果保留一位小数）
（2）已知AB＝4米，求点A到直线BH的距离．
【解答】解：（1）过K作KS⊥AG，垂足为S，
∵MN∥EO1，O1O2∥AB∥NP，∴∠KO1E＝∠NKI，∠O1O2＝∠NIK，由题意：∠KO1E＝∠O1O2，
∴∠NIK＝∠NKI（180°﹣∠MNP）＝29°，∵MN∥GA，∴∠KIS＝∠NKI＝29°，
在Rt△KSI中，KI10.2（cm），∴反光镜KI的长度为10.2cm；
（2）过A作AT⊥BH，垂足为T，∵MN∥GI，∴∠AIP＝∠MNP＝122°，
∵AB∥NP，∴∠GAB＝∠AIP＝122°，∵GA∥BH，∴∠GAB+∠ABT＝180°，
∴∠ABT＝180°﹣122°＝58°，在Rt△ATB中，AT＝AB•sin∠ABT＝AB•sin58°＝4×0.85＝3.4（m），
∴点A到直线BH的距离为3.4m．
30．已知以AB为直径的半圆O上有一点C，CD⊥OA，垂足为点D，点E是半径OC上一点（不与点O、C重合），作EF⊥OC交弧BC于点F，连接OF．
（1）如图1，当FE的延长线恰好经过点A时，求的值；
（2）如图2，作FG⊥AB，垂足为点G，连结EG．试判断EG与CD的大小关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）当FE的延长线经过点A时，∵EF⊥OC，∴AE＝FEAF，∠A+∠AOE＝90°．
∵CD⊥OA，∴∠C+∠AOE＝90°，∴∠A＝∠C．在△AOE和△COD中，，
∴△AOE≌△COD（ASA），∴AE＝CD，∴CDAF，∴；
（2）EG与CD的大小关系为：EG＝CD．理由：
如图2，延长FE交⊙O于点M，延长FG交⊙O于点N，延长CD交⊙O于点H，连接MN，OH，ON，OM，
∵OE⊥FM，∴EF＝EM．∵AB为直径，FG⊥AB，∴FG＝GN．∴EG为△FMN的中位线，
∴EGMN．∵AB为直径，CD⊥OA，∴CD＝DHCH．∵OC＝OH，OA⊥CH，∴∠COH＝2∠COD．
∵∠FEO＝∠FGO＝90°，∴∠EFG+∠EOG＝180°．∵∠AOC+∠EOG＝180°，∴∠AOC＝∠EFG，
∴∠COH＝2∠EFG．∵∠MON＝2∠EFG，∴∠MON＝∠COH，∴，∴CH＝MN，∴EG＝CD．
证法二：延长FE交AB于点H，取OF的中点P，连接PE，PG．
∵∠FEO＝∠FGO＝90°，OP＝PF，∴PE＝PFOF＝OP＝PG，∴E，F，O，G四点共圆，
∴∠EFO＝∠EGO，∵∠FHO＝∠GHE，∴△HEG∽△HOF，∴，
在Rt△ODC和Rt△HEO中，sin∠COD，∴，OF＝OC，∴EG＝CD．
（1）请用直尺与圆规在CD边上画一点F，使得AF恰是∠DFE的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠EAB＝30°，，求S△AEF的值．
【解答】解：（1）如图，点F为所作；
（2）过A点作AH⊥EF于H点，如图，∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，
∴AB＝AH＝AD，在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，∴BEAB（3）1，
∴CE＝3（1）＝2，∵∠CEF＝180°﹣∠BEF＝60°，∴EF＝2CE＝4，
∴S△AEF4×（3）＝6+2．
32．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），线段AE是由线段AD绕点A逆时针旋转2α得到，连接DE．判断直线DE与BC的位置关系，并说明理由．
【解答】解：DE⊥BC，理由：如图，延长ED交BC于点F，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠E，
∵∠DAE＝2α，∴∠ADE＝90°﹣α，∵∠ADE＝∠CDF，∴∠CDF＝90°﹣α，∵∠C＝α，
∴∠CDF+∠C＝90°﹣α+α＝90°，∴∠CFD＝90°，即DE⊥BC，
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AC上一动点，△BCD的外接圆⊙O交边AB于点E．
（1）用圆规和没有刻度的直尺在线段AB上求作一点F，使∠ACF＝∠CBD；
（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连结CF交BD于点G，若FG•FC＝4，求BF的长度．
【解答】解：（1）如图，点F即为所求：
；
（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACF＝∠CBD，
∴∠ABC﹣∠CBD＝∠ACB﹣∠ACF，即∠ABD＝∠FCB，又∵∠BFG＝∠CFB，
∴△BFG∽△CFB，∴，∴BF2＝FC•FG＝4，∴BF＝2（负值已舍去）．
34．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D．
（1）请用无刻度的直尺在⊙O上找一点P，使得CP平分∠ACB，保留作图痕迹，并说明理由；
（2）若AB＝8，BC＝10，求OD的长．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
方法：连接DO并延长交⊙O于点P，则点P即为所求作的点．
理由：连接OA、OB，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°．又∠BAC＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD，又∵AO＝BO，∴PD垂直平分AB，
由垂径定理：点P是弧AB 的中点，∴CP平分∠ACB；
（2）过点O作OH⊥AC，垂足为H，∵△ABD是等腰直角三角形，AD＝DBAB＝8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，，
∴AC＝AD+DC＝8+6＝14，∵OH⊥AC，∴，∵DH＝CH﹣DC＝7﹣6＝1，
又∵∠ADG＝∠BDG＝45°，∴OH＝DH＝1，∴．
35．如图1，△ABC中，点O为AC的垂直平分线与AB的交点，以O为圆心，OA为半径作⊙O与AB的另一个交点为点E，且 ∠CAE＝30° ， AC＝BC ．
给出以下信息：①∠CAE＝30°，②AC＝BC，③CB与⊙O相切．
（1）请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明．
条件： ①∠CAE＝30° ， ②AC＝BC ，结论： CB与⊙O相切 ．
（2）如图2，在（1）的条件下，点D在⊙O上，且2，连接CD，求证：CD⊥AB．
【解答】（1）解：条件为：①∠CAE＝30°，②AC＝BC，结论为：③CB与⊙O相切．
故答案为：①∠CAE＝30°，②AC＝BC；③CB与⊙O相切．
证明：如图1：连接OC，
∵O在AC的垂直平分线上，∴AO＝OC，∴∠OCA＝∠CAO＝30°，点C在⊙O上，
∴∠BOC＝60°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠A＝30°，∴∠OCB＝90°，∴BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，DE，∵2，∴∠AOD＝2∠DOE，∵∠AOD+∠DOE＝180°，
∴∠DOE＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝60°，∵∠CDE＝∠CAE＝30°，
∴∠CDO＝30°，∴∠ODC＝∠CDE，∴CD⊥AB．
36．如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图1上，利用网格图，过点C作⊙O的切线；
（2）在图2的圆上作到一点D，使得∠ADC＝∠BCD．
．
【解答】解：（1）如图1中，直线PC即为所求；
（2）如图2中，点D即为所求．
37．如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求BC的长；
（2）若AC经过圆心O，延长CD交BA延长线于点E，求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠BDC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的半径为，∴BC＝2．
（2）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，∴∠EAD＝∠DCB，∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分△ABC的外角∠EAC．∵AC经过圆心O，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，
∴AE＝AC＝2，作OF⊥BC，垂足为F，OF1，
OF为△ABC的中位线，∴AB＝2OF＝2，∴BE＝AB+AE＝AB+AC＝2+2．
38．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝120°．
（1）仅用圆规在直线BC下方的圆弧上求作一点D，使点D到点B，点C的距离相等；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AD交BC于E，若AD＝7，，求AE的长．
【解答】解：（1）作图如下：
点D即为所作；证明：连接BD，CD，
根据∠BAC＝120° 可得∠BDC＝60°，即可证明△BDC是等边三角形，则有BD＝CD；
（2）连接BD，CD，如图，
∵BD＝CD，∴，∵∠BAC＝120°，∴∠BDC＝60°，∴△BDC是等边三角形，
∴，∵∠DBE＝∠DAB，∠BDA＝∠EDB，∴△DBE∽△DAB，∴，即DB2＝DA•ED，∵37＝7•ED，，∴．
39．如图，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在线段BC上找一点E，使得△CAE∽△CBA（注：每个工具只限用一次）；
（2）若，AC＝3，求BC的长．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求；
（2）∵，∴∠CAE＝∠CBA，∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，∴AC：CB＝CE：AC，∴AC2＝CE•CB，∴32＝EC），
∴EC＝2或EC（舍去）．∴BC＝BE+EC2＝4.5．
40．如图．正方形ABCD顶点A，B在⊙O上．BC与⊙O交于点E，CD与⊙O相切于点P．
（1）用无刻度的直尺作出弦AB的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）；
（2）若正方形的边长为4，求CE长．
【解答】解：（1）连接OP并延长交AB于点 F，点F即为所求，理由：∵CD与⊙O相切于点P，
∴∠DPO＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠AFO＝∠DPO＝90°，∴AF＝BF；
（2）设OA＝x，OF＝4﹣x，AF＝2，由勾股定理可知：（4﹣x）2+4＝x2，解得：x＝2.5，∴OF＝1.5，
∵BE＝2OF＝3，∴EC＝1．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质和正方形的性质是解题的关键．
41．学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法：
问题1：若a﹣2b＝3，求2a﹣4b+1的值．
解决思路：2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×3+1＝7．
问题2：如图1，分别以△ABC的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．
解决思路：将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，则阴影面积为2π．
问题3：已知a2+b2＝3ab（a＞b＞0），求的值．
解题思路：对已知条件进行恒等变形，a2+b2+2ab＝5ab，（a+b）2＝5ab，因为a＞b＞0，所以，类似可以得到a﹣b＝…．
问题：
（1）方框内3个问题的解决都用到了 C 的数学思想方法（从下列选项中选一个）；
A．分类讨论B．数形结合C．整体D．从特殊到一般
（2）方框内问题3中的值为 ；
（3）如图2，已知⊙O的半径为5，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝8，CD＝6，求与的长度之和．
【解答】解：（1）由题中所给三个问题可知，
在解决问题的过程中都用到了整体思想．
故选：C．（2）继续问题3的解题过程，a2+b2﹣2ab＝ab，
所以（a﹣b）2＝ab，因为a＞b＞0，所以a﹣b，所以．
故答案为：．
（3）连接AO并延长，交⊙O交于点M，连接MB，
∵AM是⊙O的直径，∴∠ABM＝90°．在Rt△ABM中，BM，
∴BM＝CD，∴，∴．
又∵∠AOM＝180°，∴，即与的长度之和为5π．
42．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC；
（1）求证：BC＝CD；
（2）在AB、BC上分别取点E、F，连接EF、AC，若EF∥AC，只用圆规分别在CD、AD上取点G、H，使四边形EFGH是矩形，并证明；（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，设，问当x为何值时，四边形EFGH的面积最大．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ADC＝∠ADB+∠CDB，∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD；
（2）解：如图，在CD上截取CG＝CF，AD上截取AH＝AE，连接EH，HG，FG，四边形EFGH即为所求作的矩形；
∵AB＝AD，BC＝CD，∴AC垂直平分BD，∵，∴EH∥BD，
同理可得：FG∥BD，HG∥AC，∴EH∥FG，HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形；
（3）解：设AB＝a，则AE＝ax，∴BE＝a﹣ax，∴，∵，，∴EH＝xBD，EF＝（1﹣x）AC，
∴四边形EFGH的面积＝EH×EF＝xBD•（1﹣x）AC＝（﹣x2+x）BD•AC，∴当x时，四边形EFGH的面积有最大值．
43．如图，点B在线段AC上，分别以AB、BC为直角边画如图所示的等腰Rt△ABD与等腰Rt△BCE，连接DE．
（1）用无刻度的直尺画线段DE的中点M；
（2）在（1）的条件下，若AB＝2，BC＝1，求线段MB的长．
【解答】解：（1）如图，点M即为所求；
（2）∵△ABD，△EBC都是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠EBC＝90°，∠DBA＝∠C＝45°，AB＝AD＝2，BE＝BC＝1，∴BE∥DR，DB∥ER，
∴四边形DREB是平行四边形，∴DR＝BE＝1，BM＝MR，∴AR＝AD+DR＝3，
∴RB，∴BM．
44．AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，若AO＝2AC＝4．
（1）如图1，用圆规和无刻度的直尺在AB上求作一点D，使得CD为⊙O的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹）
（2）如图2，在（1）的条件下，连接OD，OD与⊙O相交于点E，求线段AC、AD、ED与弧EC围成的图形的面积．（结果保留根号和π）
【解答】解：（1）如图，直线CD即为所求；
（2）如图2中，连接OB．∵AO＝2AC＝4，CD⊥AO，∴DO＝DA，∴∠DOA＝∠A，
∵直线DB，直线CD是切线，∴OB⊥BD，∠BOD＝∠DOC，∵∠B＝90°，
∴∠A＝∠DOA＝∠BOD＝30°，∴CD＝OCtan30°，
∴S阴＝S△AOD﹣S扇形OEC4．
45．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．
（1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ .（填序号）（2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【解答】解：（1）选择的条件是：①②，结论是：③．（答案不唯一）．证明如下：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．
（2）作出线段BD的垂直平分线，
如图所示，四边形BEDF即为所求作的四边形．
46．已知点D为直角△ABC中BC边延长线上一点，∠ACB＝90°，E、F分别为AB、AD的中点．
（1）求证：∠BAD＝∠ECF；
（2）只使用圆规一次，在CD上找一点G（不与点C重合），使∠EGF＝∠EAF；
（3）若BC＝3，CD长为x，用含x的代数式表示CG的长度．（直接写出答案）
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，∴∠ACD＝90°，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴CE＝AEAB，CF＝AFAD，∴∠CAE＝∠ECA，∠CAF＝∠FCA，
∴∠CAE+∠CAF＝∠ECA+∠FCA，即∠BAD＝∠ECF．
（2）如图所示：用尺规作图找出BD中点G，连接FG、EG，则四边形AEFG为平行四边形，
会有∠EGF＝∠EAF（平行四边形的对角相等）．
（2）由（2）知G是BD中点，则BG＝DGBD，∵BC＝3，CD＝x，∴BD＝3+x，
∴BGBD，∴CG＝BG﹣BC3．
47．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，
（1）若∠E＝50°，∠F＝30°，求∠A的度数；
（2）如图2，若∠E＝∠F，，BC＝6，CG是⊙O的切线且平分∠BCF，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵∠CDE＝∠ABC，而∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠CDE+∠CBF＝180°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CBF，∵∠DCE＝∠BCF，∴∠CDE+∠E＝∠CBF+∠F，∴180°﹣∠CBF+50°＝∠CBF+30°，解得∠CBF＝100°，∵∠CBF＝∠A+∠E，∴∠A＝100°﹣50°＝50°；
（2）连接AC，如图2，∵∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
而∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC为⊙O的直径，在Rt△BCF中，∵tanF，∴BFBC6＝8，∴CF10，∵CG平分∠BCF，∴，∴BG＝3，
∵CG为⊙O的切线，∴AC⊥CG，∴∠ACG＝90°，∵∠CAB+∠ACB＝90°，∠BCG+∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠BCG，∴Rt△GBC∽Rt△GCA，∴CB：BG＝AB：BC，即6：3＝AB：6，解得AB＝12，
在Rt△ACB中，AC6，∴⊙O的半径为3．
48．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，然后在把纸片展平；
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，求证：四边形AEA′D是正方形；
（2）如图2，若AC′＝2，DC′＝4，求△AC′M的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′E＝A′D，∴四边形AEA′D是菱形，∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）如图，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，又∵EC′＝C′E，∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，∴MC′＝ME，设AM＝x，∵AC′＝2，DC′＝4，
∴AE＝AD＝2+4＝6，∴C'M＝BM＝6﹣x，
在Rt△MC'A中，由勾股定理，得AC'2+AM2＝MC'2，即22+x2＝（6﹣x）2，解得x，即AM，
∴△AC′M的面积AC'•AM2．
49．已知：如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，点D是弧BC上一动点．连接AD交弦BC于点E，点F在弦AD上，且BD＝BF．
（1）求证：△EBF∽△EAB；
（2）如图2，若AD是⊙O的直径，AF＝5，，求直径AD的长；
（3）如图3，保持点B位置不变，调整点A、D的位置使得直线BF经过圆心O，点M在⊙O上，使得成立的所有点M中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点M，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵BD＝BF，∴∠BDF＝∠BFD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠BDF＝∠C，∴∠BFD＝∠ABC，∵∠BEF＝∠AEB，∴△EBF∽△EAB；
（2）解：∵若AD是⊙O的直径，AB＝AC，∴，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DBC＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBC．∵△EBF∽△EAB，∴∠BAD＝∠EBF，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBC＝∠EBF．∵，∴tan∠EBF＝tan∠BAD．
∵tan∠EBF，tan∠BAD，∴．∵BD＝BF，AD⊥BC，∴DE＝EF．
设EF＝2x，则BE＝3x，DE＝2x，AEx．∵AE＝EF+AF＝5+2x，∴5+2xx，∴x＝2．∴DE＝EF＝4，∴AD＝DE+EF+AF＝4+4+5＝13．
（3）解：有一个点的位置始终不变，这个点的位置为BF的延长线与⊙O的交点．理由：
延长BF，交⊙O于点M，连接CM，如图，
∵△EBF∽△EAB，∴∠EBF＝∠BAD，，∴，∴BD＝CM．∵BD＝BF，
∴CM＝BF，∴，∴．
∴有一个点的位置始终不变，这个点的位置为BF的延长线与⊙O的交点．
50．综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，经过焦点F的光线AE经凸透镜L折射后平行于主光轴MN沿EA’射出，与光线AO交于点A'，过点A'作主光轴MN的垂线段A'B'，垂足为B'，即可得出物体AB所成的像A'B'．
【模型验证】
设焦点F到光心的距离FO称为焦距，记为f；物体AB到光心的距离BO称为物距，记为u；像A'B'到光心的距离OB'称为像距，记为v．
已知AB＝b1，A'B'＝h2，当f＜u＜2f时，求证：．
证明：∵A'B'⊥MN，AB⊥MN，∴∠ABO＝∠A'B'O＝90°，又∠AOB＝∠A'OB'∴△AOB∽△A'OB'，
∴，即．同理可得△ABF∽△EOF，∴，即 ，
∴ ，∴uv﹣vf＝uf，∴，即．
请结合上述材料，解决以下问题：
（1）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含v，f的代数式表示）；
（2）若该凸透镜L的焦距为20cm，物体距凸透镜L的距离为30cm，物高为10cm，则物体AB所成的像A'B'的高度为 20 cm；
（3）如图2，由物理学知识知“经过点A且平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后经过点A'”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线CA'始终经过主光轴MN上一定点．若该凸透镜L的焦距为20cm，物高为10cm，试说明这一物理现象．
【解答】解：（1）①，②．
（2）根据题意可知，OF＝20，AB＝10，BF＝10，∵，∴OE＝20．由题可知，
OE＝A'B'＝20．故答案为：20．
（3）设CA'交于主光轴上点F'，设OF'＝x，由上述证明过程可知：，
，∵△OCF'∽△B'A'F'，得，
∴，由证明过程知，∴，整理得vx＝uv﹣ux，x．
∴x＝20，即OF'＝20为定长，光线CA'始终经过主光轴MN上一定点．
51．背景知识
我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”．进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半？”
问题：
（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，CD是斜边AB上的中线，则，请利用尺规作图的方法在斜边AB上另找一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求DE的长．
操作并探究
（3）在Rt△ABC中，斜边AB上存在两点到点C的距离等于，请直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）以C为圆心，CD长为半径画弧交AB于E，如图：
点E即为所求；
（2）过C作CH⊥AB于H，如图：∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB5，
∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，∴CH，∵CDAB，∴DH，∵CD＝CE，CH⊥AB，∴EH＝DH，∴DE＝DH+EH；∴DE的长为；
（3）如图，作△ABC的中线CD，∴CD＝AD＝BDAB，
则点D在以C为圆心，CD为半径的圆上运动，当⊙C与线段AB相切时，则斜边AB上存在一点到点C的距离等于，此时，CD⊥AB，且AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC，∴1，
当⊙C与过点B时，则CD＝BC，∴AD＝BD＝CD＝BC，∴△BDC是等边三角形，∴∠B＝60°，
∴tanB，综上所述：当1时，斜边AB上存在两点到点C的距离等于．
52．将▱ABCD绕点D逆时针旋转得四边形DEFG，点A的对应点落在AB上点E处，G、F、C三点共线．
（1）如图1，若DA＝2，AE＝3，，求FC的长度；
（2）如图2，若点F与点C重合，且S△ADE＝4，S△CBE＝5，求tan∠DAE的值；
（3）如图3，∠ABC＝120°，EF交CD于点H，若G、H、B三点共线，求的值．
【解答】解：（1）∵AE＝3，，∴AB＝CD，∵旋转，
∴∠ADE＝∠CDG，AD＝DE＝2，CD＝DG，∴，∴△ADE∽△CDG，∴，即，
解得CG，∵GF＝DE＝2，∴FC＝CG﹣GF．
（2）∵S△ADE＝4，S△CBE＝5，且两个三角形是等高的，∴，设AE＝4x，BE＝5x，则AB＝CD＝9x，
由（1）知△ADE∽△CDG，∴，即，∵AD＝DE＝CG，∴AD2＝36x2，
∴AD＝6x＝DE，过作EF⊥CD于点F，
则由勾股定理可得EF2＝DE2﹣DF2＝CE2﹣CF2，∵CE＝AB＝9x，DF+CF＝9x，
∴（6x）2﹣DF2＝（9x）2﹣（9x﹣DF）2，解得DF＝2x，∴EF4x，
∴tan∠EDF2，∵DA＝DE，CD∥AB，∴∠DAE＝∠DEA＝∠EDF，
∴tan∠DAE＝tan∠EDF＝2．
（3）∵∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，∵DA＝DE，∴△ADE是等边三角形，
同理△CDG也是等边三角形，∵∠EDH＝∠DEH＝∠A＝60°，
∴△EDH是等边三角形，设AD＝DE＝AE＝a，AB＝CD＝GD＝CG＝b，则DH＝DE＝a，
∵DH∥AB，∴△GDH∽△GAB，∴，即，整理得a2+ba﹣b2＝0，
解得ab（负值舍去），∴BE＝AB﹣AE＝b﹣ab，∴．
53．已知，△ABC是半径为5的⊙O的内接三角形，点D是△ABC的内心，射线AD分别交BC、⊙O于点E、F．
（1）如图1，连接BF，求证：△AEC∽△ABF；
（2）如图2，∠BAC＝90°；
①若AB＝8，求AF的长；
②若∠ABC＝30°，求的值；
（3）如图3，∠BAC＝60°，射线BD、CD分别交⊙O于点G、H，点A在直线BC上方的圆弧上运动．无论点A如何移动，线段DF、DG、DH中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
【解答】（1）证明：∵点D是△ABC的内心．∴∠BAF＝∠FAC，∵，∴∠C＝∠F，
∴△AEC∽△ABF．
（2）解：①由题意知AB＝8，∠BAC＝90°，直径BC＝10，由勾股定理得，如图，连接BF，OF，过点B作BG⊥AF于点G，
∵点D是△ABC的内心．∴∠BAF＝∠FAC45°，∴，，
在Rt△BGF中． ，
∴．
②如图，连接BF，过点B作BR⊥AF于点R，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵，∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
∵点D是△ABC的内心，∴∠BAF＝∠FAC＝45°，∴，∴，，∴AF＝AR+RF，
∵，∴，
∴，∴．
（3）解：如图，连接OB，BF，OD，FC，
∵点D是△ABC的内心，∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠FAC＝30°，∠ABD＝∠DBC，
∵，∴∠FAC＝∠FBC，∴∠FBC＝∠BAF，
∵∠BDF＝∠BAD+∠ABD，∠FBD＝∠FBC+∠DBC，∴∠BDF＝∠FBD，∴BF＝FD，∵，
∴∠BOF＝2∠BAF＝2×30°＝60°，又∵OB＝OF，∴△OBF为等边三角形，
∴BF＝OB＝5，∴DF＝FC＝BF＝5，同理DH＝AH，DG＝AG，但AH，AG随着点A的运动而变化，
∴线段DF为定值，且DF＝5．
54．综合与实践
问题情境：已知，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝m，点E在边AB上（点E不与A，B重合），G为BC的中点，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．
猜想证明：
（1）如图1，当点F与点G重合时，试判断△EFD与△FCD是否相似，并说明理由；
问题解决：
（2）如图2，若FG＝3，求m的值；
（3）如图3，H为CD中点，连结AH分别与DE，DF交于M，N两点，若△AME为等腰三角形，求cos∠BEF的值．
【解答】解：（1）△EFD与△FCD相似；理由如下：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝m，由折叠知，∠DFE＝∠A＝90°，DF＝AD＝m，∠ADE＝∠FDE，∵F为BC中点，CF，∴sin∠FDC，∠FDC＝30°，
∴∠EDF＝30°＝∠FDC，又∵∠EFD＝∠C，∴△EFD∽△FCD；
（2）由折叠的性质可知，AE＝EF，∴EF＝6﹣BE，∵FG＝3，∴BF，CF，
∵∠BFE+∠BEF＝90°＝∠BFE+∠CFD，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C，
∴△BFE∽△CDF，∴，则，
∴6BE，36﹣6BE，∴36，
整理得（m﹣10）（m+6）＝0，解得m＝10或m＝﹣6（舍去），∴m的值为10；
（3）由题意知，当△AME为等腰三角形时，分AM＝AE，AM＝ME，AE＝ME三种情况求解；
①当AM＝AE时，∵AM＝AE，∴∠AEM＝∠AME，∵∠AEM＝∠FED，∴∠AME＝∠FED，
∴MN∥EF，∴∠MND＝∠EFD＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，
∴∠HDM＝∠MEA＝∠AME＝∠DMH，
∴MH＝HD＝3，设AE＝AM＝a，则AH＝a+3，∴S△ADHAD×DHAH×DN，即m×3（a+3）×DN，解得DN，∵∠MND＝90°，∴∠DHN＝90°＝∠C，又∵∠HDN＝∠FDC，∴△NHD∽△CFD，∴，即，整理得m2＝6（a+3），
③在Rt△ADH 中，由勾股定理得AD2+HD2＝AH2，即9+m2＝（a+3）2 m2＝a2+6a a2+6a＝6（a+3），解得a＝3或a＝﹣3（舍去），∴cos∠BEF；
②当AM＝ME时，∵AM＝ME，∴∠MAE＝∠MEA，
∵∠MEA+∠ADE＝90°＝∠MAE+∠DAM，∴∠ADE＝∠DAM，∴M为DE的中点，
∵∠EAD＝∠HDA，AD＝AD，∠EDA＝∠HAD，∴△EAD≌△HDA（ASA），∴AE＝DH＝3，
∴EA＝EF＝EB＝3，此情况不成立，舍去；
③当AE＝ME时，∵AE＝ME，∴∠EAM＝∠EMA，
同理①可得MD＝HD＝3，设EF＝AE＝b，则ED＝b+3，BE＝6﹣b，
在Rt△EAD中，由勾股定理得EA2+AD2＝ED2，即b2+m2＝（b+3）2时，m2＝6b+9，
∵△BFE∽△CDF，∴，即，解得CF，
在Rt△CFD中，由勾股定理得DF2＝CF2+DC2，即m2，b2＝3b+9，
解得b或b（舍去），∴cos∠BEF，
综上，cos∠BEF的值为1或2．
55．图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．
设有两只电阻，R1＝6千欧，R2＝4千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．
（1）①R1＝6千欧，R2＝4千欧，计算R＝ 千欧；
②如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB的角平分线，OA＝R1，OB＝R2，OC＝R．用你所学的几何知识说明：；
（2）如图2，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB的角平分线，OA＝R1，OB＝R2，OC＝R．此时关系式可以写成m•，其中m≠0的常数，求m的值；
（3）如图3，若∠AOB＝α，（2）中其余条件不变，请探索R1，R2，R之间的关系．（用含α的代数式表示）
【解答】（1）①解：根据并联电路电阻公式可得，即R，
故答案为：；
②证明：如图1，过点C作OB的平行线，交OA于点 D．
∵∠AOB＝120°，OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∵DC∥OB，
∴∠DOC＝∠BOC＝∠DCO＝60°，∴△DOC为等边三角形，
∴DC＝OC＝DO＝R，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOB，∠ACD＝∠ABO，∴△ADC∽△AOB，
∴，即，可得R2R1﹣RR2＝RR1，R，故；
（2）解：如图2，过点C作OB的平行线，交OA于 点E，
同上述原理可得△AEC∽△AOB，∠ECO＝∠EOC∠AOB＝45°，∴CE＝OE＝sin45°×OCR，
可得，即，整理后可得R，即，∴m；
（3）解：2cos•．理由如下：
过点C作OB的平行线，交OA于点F，过 点F作FG⊥OC，交OC于点G，
同上述原理可得△AFC∽△AOB，∠FCO＝∠FOC∠AOB，∴CG＝OG＝4，
∴CF＝OF，可得，∴，
整理后可得R，即2cos•．．
56．如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的各边上．
【初步认识】
（1）如图1，若AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH一定是 B ．
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【变式探究】
（2）如图2，若AC、BD交于点O，E、H分别是AB、AD上一点，OE＝OH，AE≠AH，EO、HO的延长线分别交在CD、BC于点G、F，求证：四边形EFGH是矩形．
【深入思考】
（3）如图3，若AC、BD交于点O，且AO＝10，OD＝5，当AH满足什么条件时，可作出两个不同矩形EFGH，请直接写出你的结论．
（4）在（3）的条件下，设AH＝x，AE＝y，请探索y与x满足的关系式．
【解答】解：（1）连接AC、BD，交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝BC＝CD，又∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴AE＝AH＝CF＝CG，又∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝HG，EH＝FG，∴四边形EHFG是平行四边形，
∵∠BAD＝∠BAD，AE＝AH，BE＝DH，∴∠AEH＝∠AHE＝∠ABD＝∠ADB，
∴EH∥BD，同理可得EF∥AC，
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EHFG是矩形，故选：B；
（2）证明：四边形ABCD是菱形，
∴AO＝DC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAO＝∠BCO＝∠DAO＝∠DOO，
又∵∠AOE＝∠COG，∠COF＝∠AOH，
∴△AOE≌△COG（AAS），△FOO＝≌△HOA（AAS），
∴OF＝OH，OG＝OE，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵OF＝OH，OG＝OE，OE＝OH，
∴OF＝OH＝OG＝OE，
∴FH＝EG；
四边形EFGH是矩形；
（3）∵∠AOD＝90°，AO＝10，OD＝5，
∴，
∴，
①当四边形EFGH形成的矩形如图1一样时，此时AH＝AE，此时AH满足的条件为 ，
②当四边形EFGH形成的矩形如图2一样时，OE＝OH，AE≠AH，由图可得AH最大为，点H与点G重合，AH最小时，点B与点E重合，点G与点D重合，对角线ED、FH交于点O，BH⊥AD，
∵AO⊥BD，BH⊥HG，AO＝10，BD＝OD＝2＝10，，
∴，代入数值得，
解得 ，
∴由勾股定理可得，
∴当时，满足四边形EFGH为矩形，当 时，，如图所示，
∴此时四边形EFGH同时满足①②，
∴故不能形成两个矩形，不满足题意，
综上可得，当AH满足且 时，可作出两个不同矩形EFGH．
（4）由（3）可得①当AH＝AE时，即x＝y，
②∵AH的取值范围为 ，根据旋转的性质可得AE的取值范围为，即x+y＝8，
综上可得：．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/29 15:27:47；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001
第2页（共35页）
学科网（北京）股份有限公司
$
态度决定基础 思维决定高度
(
初三
数学期末复习
2
（几何）
)
1．如图，AB是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在AB上．过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，连接OD，AD，BD．过点C作CE⊥OD于点 E．设AC＝a，CB＝b，则图中长度一定等于的线段是（ ）
A．CD B．OD C．OE D．DE
2．已知AB为半⊙O的直径，AB＝4，点P是半圆内任意一点，以AB为边在半圆下方作矩形ABCD，连接PA，PB，PC，PD，记△PAD，△PBC，△PCD的面积分别为S1，S2，S3，若要求S3﹣S2﹣S1的值，需要添加的条件是（ ）
A．AD的长度 B．P到AD的距离
C．P到AB的距离 D．P到CD的距离
3．如图，四边形ABCD是边长确定的正方形，点E、F分别在边DC、BC上，∠EAF＝45°，求△AEF的面积，只需要知道（ ）
A．△CEF的面积 B．△ADE的面积 C．△ABF的面积 D．△CEF、△ADE、△ABF的面积都必须要知道
4．如图，在等边△ABC中，点F为AC边上的中点，以F为顶点作一个60°的角交AB、BC边于D、E两点，连结DE，则知道下列哪个条件就可以计算△ABC的周长（ ）
A．△ADF的周长B．△DEF的周长 C．△CEF的周长 D．△BDE的周长
5．E为正方形ABCD内一点，DE⊥EC，已知下列四条线段哪一条线段长就可以求出S△BEC的值（ ）
A．AB B．BE C．EC D．ED
6．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形ABCD，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ）
A．四边形ABCD的面积 B．四边形EFGH的面积
C．△ADH的面积 D．△CDG的面积
7．如图，▱ABCD中，∠BAD＝110°，E，F分别为AB，CD的中点，将▱ABCD沿直线EF折叠，点C落在边AD上点G处，则∠GFD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．50° D．40°
二．填空题（共19小题）
8．如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
9．如图，AC⊥CB，AC＝CB，以BC为直径作半圆O，P为弧BC上一点，且∠CAP最大，延长AP、CB，交于点D．则sinD的值为 ．
10．如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.2cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为8cm，AE∥OF，则像CD的高为 ．
11．有一副直角三角板ABC、DEF，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°．如图，将三角板DEF的顶点E放在AB上，移动三角板DEF，当点E从点A沿AB向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．若直线DF与直线AB交于点M，当△MEF为等腰三角形时，则∠ACE的度数为 .
12．如图，矩形OABC与矩形OA'B'C'关于点O位似，则点O、B与点B' 共线．（填“一定”或“一定不”或“不一定”）
13．已知菱形ABCD和菱形AECF，B、E、F、D在同一直线上，且∠EAF＝∠ABC，设，则y关于x的函数表达式为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点D是BC边上一动点，且△ABC∽△ADE，则△CDE面积的最大值为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AD＝2BD＝6，点E在线段BC上（不与点B、C重合）将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当点F落在△ABC的中位线上时，则BE的值为 ．
16．如图，BC是⊙O的弦，OA是⊙O的半径，且OA⊥BC，点D是弧AB的中点，若OA＝4，∠BDC＝100°，则弦CD的长为 ．
17．如图，PB是⊙O的切线，切点为B，连接OP交⊙O于点C，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，点D是等边△ABC边AB上一点，AB＝12，连接CD，将△ACD沿CD翻折，得到△CDE，若以D为圆心，DA为半径的圆经过△CDE一边的中点，则⊙D的半径是 ．
19．已知，如图AB∥DE，点C在BD上，BC＝2CD，AC＝DE，∠ACB＝∠E，若AB＝6，则AC＝ ．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD翻折至△BDE处，若BE恰好经过点C，则tan∠ABD的值为 ．
21．如图，△ABC和△DBC都是边长为1的等边三角形，点B1在BC边上，将△DBC沿BC方向平移到△D1B1C1的位置．当四边形ABD1C1为矩形时，平移距离BB1＝ ．
22．如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A1B1C1有 个．
23．如图，AB＝6，点C为线段AB上一个动点，在AB上方构造等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，点F，G分别在边AD和BE上，且满足，则FG的最小值为 ．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是线段AD上一动点，以E为直角顶点在EB的右侧作等腰三角形EBF，连接DF，设DF＝t，当t为整数时，点F位置有 个．
25．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是 ．
26．已知正方形ABCD，E为射线DC上一点（点D除外），点F为点D关于AE的对称点，若△FCB是等腰三角形，则∠DFA的度数是 ．
27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB交于点F，点E在DC的延长线上．
（1）结合以上信息，从①AE与⊙O相切；②AC＝EC；③AD＝AE这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由；
你选择的条件是 ， ；结论是 .（只要填写序号）
（2）在（1）的条件下，若，CD＝3，求⊙O的直径．
28．如图，△ABC中，AB＝2AC，点P为BC延长线上一点．
（1）若 ， ，求PA的长；（请从信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，③CP＝2”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答．）
（2）在（1）的条件下，当AC＝AP时，求△ABC的面积．
29．如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，MN∥GA∥PQ∥BH，AB∥NP，两个反光镜KI∥CD，直线MN、GA之间的距离为5cm，∠MNP＝122°．与MN平行的一束光线经两个反光镜反射后沿O2F射出，其中O1O2∥AB．（参考值：sin29°≈0.49，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
（1）当G、A、I三点共线时，求反光镜KI的长度；（结果保留一位小数）
（2）已知AB＝4米，求点A到直线BH的距离．
30．已知以AB为直径的半圆O上有一点C，CD⊥OA，垂足为点D，点E是半径OC上一点（不与点O、C重合），作EF⊥OC交弧BC于点F，连接OF．
（1）如图1，当FE的延长线恰好经过点A时，求的值；
（2）如图2，作FG⊥AB，垂足为点G，连结EG．试判断EG与CD的大小关系，并证明你的结论．
31．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点．
（1）请用直尺与圆规在CD边上画一点F，使得AF恰是∠DFE的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠EAB＝30°，，求S△AEF的值．
32．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），线段AE是由线段AD绕点A逆时针旋转2α得到，连接DE．判断直线DE与BC的位置关系，并说明理由．
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AC上一动点，△BCD的外接圆⊙O交边AB于点E．
（1）用圆规和没有刻度的直尺在线段AB上求作一点F，使∠ACF＝∠CBD；
（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连结CF交BD于点G，若FG•FC＝4，求BF的长度．
34．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D．
（1）请用无刻度的直尺在⊙O上找一点P，使得CP平分∠ACB，保留作图痕迹，并说明理由；
（2）若AB＝8，BC＝10，求OD的长．
35．如图1，△ABC中，点O为AC的垂直平分线与AB的交点，以O为圆心，OA为半径作⊙O与AB的另一个交点为点E，且 ， ．
给出以下信息：①∠CAE＝30°，②AC＝BC，③CB与⊙O相切．
（1）请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明．
条件： ， ，结论： ．
（2）如图2，在（1）的条件下，点D在⊙O上，且2，连接CD，求证：CD⊥AB．
36．如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图1上，利用网格图，过点C作⊙O的切线；
（2）在图2的圆上作到一点D，使得∠ADC＝∠BCD．
37．如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求BC的长；（2）若AC经过圆心O，延长CD交BA延长线于点E，求BE的长．
38．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝120°．
（1）仅用圆规在直线BC下方的圆弧上求作一点D，使点D到点B，点C的距离相等；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AD交BC于E，若AD＝7，，求AE的长．
39．如图，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在线段BC上找一点E，使得△CAE∽△CBA（注：每个工具只限用一次）；
（2）若，AC＝3，求BC的长．
40．如图．正方形ABCD顶点A，B在⊙O上．BC与⊙O交于点E，CD与⊙O相切于点P．
（1）用无刻度的直尺作出弦AB的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）；
（2）若正方形的边长为4，求CE长．
41．学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法：
问题1：若a﹣2b＝3，求2a﹣4b+1的值．
解决思路：2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×3+1＝7．
问题2：如图1，分别以△ABC的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．
解决思路：将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，则阴影面积为2π．
问题3：已知a2+b2＝3ab（a＞b＞0），求的值．
解题思路：对已知条件进行恒等变形，a2+b2+2ab＝5ab，（a+b）2＝5ab，因为a＞b＞0，所以，类似可以得到a﹣b＝…．
问题：
（1）方框内3个问题的解决都用到了 的数学思想方法（从下列选项中选一个）；
A．分类讨论B．数形结合C．整体D．从特殊到一般
（2）方框内问题3中的值为 ；
（3）如图2，已知⊙O的半径为5，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝8，CD＝6，求与的长度之和．
42．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC；
（1）求证：BC＝CD；
（2）在AB、BC上分别取点E、F，连接EF、AC，若EF∥AC，只用圆规分别在CD、AD上取点G、H，使四边形EFGH是矩形，并证明；（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，设，问当x为何值时，四边形EFGH的面积最大．
43．如图，点B在线段AC上，分别以AB、BC为直角边画如图所示的等腰Rt△ABD与等腰Rt△BCE，连接DE．
（1）用无刻度的直尺画线段DE的中点M；
（2）在（1）的条件下，若AB＝2，BC＝1，求线段MB的长．
44．AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，若AO＝2AC＝4．
（1）如图1，用圆规和无刻度的直尺在AB上求作一点D，使得CD为⊙O的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹）
（2）如图2，在（1）的条件下，连接OD，OD与⊙O相交于点E，求线段AC、AD、ED与弧EC围成的图形的面积．（结果保留根号和π）
45．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．
（1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 ，结论是 .（填序号）（2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
46．已知点D为直角△ABC中BC边延长线上一点，∠ACB＝90°，E、F分别为AB、AD的中点．
（1）求证：∠BAD＝∠ECF；
（2）只使用圆规一次，在CD上找一点G（不与点C重合），使∠EGF＝∠EAF；
（3）若BC＝3，CD长为x，用含x的代数式表示CG的长度．（直接写出答案）
47．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，
（1）若∠E＝50°，∠F＝30°，求∠A的度数；
（2）如图2，若∠E＝∠F，，BC＝6，CG是⊙O的切线且平分∠BCF，求⊙O的半径．
48．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，然后在把纸片展平；
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，求证：四边形AEA′D是正方形；
（2）如图2，若AC′＝2，DC′＝4，求△AC′M的面积．
49．已知：如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，点D是弧BC上一动点．连接AD交弦BC于点E，点F在弦AD上，且BD＝BF．
（1）求证：△EBF∽△EAB；
（2）如图2，若AD是⊙O的直径，AF＝5，，求直径AD的长；
（3）如图3，保持点B位置不变，调整点A、D的位置使得直线BF经过圆心O，点M在⊙O上，使得成立的所有点M中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点M，并说明理由．
50．综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，经过焦点F的光线AE经凸透镜L折射后平行于主光轴MN沿EA’射出，与光线AO交于点A'，过点A'作主光轴MN的垂线段A'B'，垂足为B'，即可得出物体AB所成的像A'B'．
【模型验证】
设焦点F到光心的距离FO称为焦距，记为f；物体AB到光心的距离BO称为物距，记为u；像A'B'到光心的距离OB'称为像距，记为v．已知AB＝b1，A'B'＝h2，当f＜u＜2f时，求证：．
证明：∵A'B'⊥MN，AB⊥MN，∴∠ABO＝∠A'B'O＝90°，
又∠AOB＝∠A'OB'∴△AOB∽△A'OB'，∴，即．
同理可得△ABF∽△EOF，∴，即 ，
∴ ，∴uv﹣vf＝uf，∴，即．
请结合上述材料，解决以下问题：
（1）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含v，f的代数式表示）；
（2）若该凸透镜L的焦距为20cm，物体距凸透镜L的距离为30cm，物高为10cm，则物体AB所成的像A'B'的高度为 cm；
（3）如图2，由物理学知识知“经过点A且平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后经过点A'”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线CA'始终经过主光轴MN上一定点．若该凸透镜L的焦距为20cm，物高为10cm，试说明这一物理现象．
51．背景知识
我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”．进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半？”
问题：
（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，CD是斜边AB上的中线，则，请利用尺规作图的方法在斜边AB上另找一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求DE的长．
操作并探究
（3）在Rt△ABC中，斜边AB上存在两点到点C的距离等于，请直接写出的取值范围．
52．将▱ABCD绕点D逆时针旋转得四边形DEFG，点A的对应点落在AB上点E处，G、F、C三点共线．
（1）如图1，若DA＝2，AE＝3，，求FC的长度；
（2）如图2，若点F与点C重合，且S△ADE＝4，S△CBE＝5，求tan∠DAE的值；
（3）如图3，∠ABC＝120°，EF交CD于点H，若G、H、B三点共线，求的值．
53．已知，△ABC是半径为5的⊙O的内接三角形，点D是△ABC的内心，射线AD分别交BC、⊙O于点E、F．
（1）如图1，连接BF，求证：△AEC∽△ABF；
（2）如图2，∠BAC＝90°；
①若AB＝8，求AF的长；
②若∠ABC＝30°，求的值；
（3）如图3，∠BAC＝60°，射线BD、CD分别交⊙O于点G、H，点A在直线BC上方的圆弧上运动．无论点A如何移动，线段DF、DG、DH中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
54．综合与实践
问题情境：已知，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝m，点E在边AB上（点E不与A，B重合），G为BC的中点，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．
猜想证明：
（1）如图1，当点F与点G重合时，试判断△EFD与△FCD是否相似，并说明理由；
问题解决：
（2）如图2，若FG＝3，求m的值；
（3）如图3，H为CD中点，连结AH分别与DE，DF交于M，N两点，若△AME为等腰三角形，求cos∠BEF的值．
55．图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．
设有两只电阻，R1＝6千欧，R2＝4千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．
（1）①R1＝6千欧，R2＝4千欧，计算R＝ 千欧；
②如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB的角平分线，OA＝R1，OB＝R2，OC＝R．用你所学的几何知识说明：；
（2）如图2，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB的角平分线，OA＝R1，OB＝R2，OC＝R．此时关系式可以写成m•，其中m≠0的常数，求m的值；
（3）如图3，若∠AOB＝α，（2）中其余条件不变，请探索R1，R2，R之间的关系．（用含α的代数式表示）
56．如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的各边上．
【初步认识】
（1）如图1，若AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH一定是 ．
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【变式探究】
（2）如图2，若AC、BD交于点O，E、H分别是AB、AD上一点，OE＝OH，AE≠AH，EO、HO的延长线分别交在CD、BC于点G、F，求证：四边形EFGH是矩形．
【深入思考】
（3）如图3，若AC、BD交于点O，且AO＝10，OD＝5，当AH满足什么条件时，可作出两个不同矩形EFGH，请直接写出你的结论．
（4）在（3）的条件下，设AH＝x，AE＝y，请探索y与x满足的关系式．
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页
1
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
