第21章一元二次方程易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册 答案解析 一、单选题 1．方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A．1、2、-3 B．1、2、-6 C．1、-2、6 D．1、2、6 【答案】C 【分析】首先将方程化为一般形式: ,然后根据此一般形式,即可求得答案. 【详解】解:方程化成一般形式是, 二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为6. 所以C选项是正确的. 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式.注意一元二次方程的一般形式是:ax+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项. 2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（    ） A．2 B．3 C．3或2 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：由一元二次方程的定义得： 解得 关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得或（与不符，舍去）， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握定义和方程的解法是解题关键． 3．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式即可得到答案． 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根 ∴a-3≠0，且 解得：且a≠3 故选B． 【点睛】本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a的不等式，是解题的关键． 4．一元二次方程用配方法解该方程，配方后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把常数项-m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x2-2x-m=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=m， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=m+1， 配方得（x-1）2=m+1． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5．如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（    ） A．1或2 B．0或－3 C．或 D．0或3 【答案】D 【分析】把代入方程，得a2−3a+m=0①，把代入方程，得a2−3a−m=0②，再将①+②，解方程即可求出的值． 【详解】∵a是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，−a是一元二次方程x2+3x−m=0的一个根， ∴a2−3a+m=0①，a2−3a−m=0②， ①+②，得2(a2−3a)=0，即a2−3a=0 解得， 故选：D． 【点睛】考查方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解． 6．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289 【答案】A 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程． 【详解】根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2， ∴方程为289（1-x）2=256． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，掌握增长率类问题的一般等量关系是解题的关键． 7．若一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣24 B．24 C．﹣40 D．40 【答案】A 【分析】直接利用根与系数的关系得出答案即可． 【详解】∵一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，∴x1+x2＝8，x1x2＝﹣33，∴（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝8+1﹣33＝﹣24． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2． 8．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2， 所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850， 故答案为：D. 9．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（   ） A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102 【答案】C 【分析】根据题意做出简图如下，在中应用勾股定理即可． 【详解】根据题意做出简图如下： 其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5 中，由得， 故选C． 【点睛】本题考查了列方程解应用题，实质是考查了勾股定理的应用，做题过程中要注意做出简图是本题的关键． 10．已知实数是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【分析】分及两种情况考虑：当时，可求出；当时，利用根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．综上，此题得解． 【详解】解：当时，； 当时，实数、满足， ，， ． 故选． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减法，分及两种情况求出的值是解题的关键． 二、填空题 11．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 ． 【答案】 【分析】先求出m的值，再代入代数式求解即可． 【详解】 x2＋2x－3＝0 m是方程x2＋2x－3＝0的实根 或 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键． 12．方程(a2－4)x2＋(a－2)x＋3＝0，当a 时，它是一元二次方程；当a 时，它是一元一次方程． 【答案】≠±2和=-2 【分析】分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可. 【详解】解:(1)方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元二次方程, a2-4≠0,a≠2; (2) 方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元一次方程, 解得:a=-2. 【点睛】此题比较简单,解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义: (1)只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程; (2)只含有一个未知数,且未知数的最高次数的是1次的整式方程叫做一元一次方程. 13.某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有 个班级． 【答案】4 【分析】设共有个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设共有个班级参加比赛， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：或（舍去）． 则共有4个班级球队参加比赛． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”． 14．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果． 【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b ∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键． 15．已知，是方程的两个根，，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】首先根据根与系数的关系得到a+b=4①,ab=m②,ｂ+c=8③,bc=5m④,利用①③可以得到c-a=4,利用②④得到bc=5ab,然后求a、c,再求出m. 【详解】解：依题意得：a+b=4①， ab=m②， b+c=8③, bc=5m④, 由①③可以得到c-a=4⑤, 由②④得到bc=5ab ⑥, 当b=0时,m=0; 当b≠0时, ⑥变为c=5a⑦, 联立⑤⑦解之得a=1,c=5,b=3, m=3. 因此m=0或3. 故填空答案:0或3. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 16．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是 ． 【答案】7 【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3=0得到x1=3，x2=1，然后分类讨论：当三角形的腰为3，底为1时，易得三角形的周长；当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去． 【详解】x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1． ①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7； ②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去． 所以三角形的周长为7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值都为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法和因式分解法是解题的关键． （1）直接利用直接开平方法即可得出结论； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1） ， （2） 或 ，． 18．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件．商店想在让顾客实惠的同时还要使月销售利润达到240元，每件玩具应涨价多少元？ 【答案】涨价3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“单件利润×销售件数=总利润”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每件玩具应涨价x元， 由题意得，， 解得：（舍去），或， 答：每件玩具应涨价3元． 19．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键。 (1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可; (2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得：， 解得： ； （2）∵该方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：，即， 解得：（舍去）或， 则m的值为． 20．（1）解方程：． （2）已知：关于x的方程 ①求证：方程有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根是，求另一个根及k值． 【答案】（1）x1＝2，x2＝1；（2）①见解析；②另一个根为2， 【分析】（1）把方程x2﹣3x+2＝0进行因式分解，变为（x﹣2）（x﹣1）＝0，再根据“两式乘积为0，则至少一式的值为0”求出解； （2）①由△＝b2﹣4ac＝k2+8＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根； ②首先将x＝﹣1代入原方程，求得k的值，然后解此方程即可求得另一个根． 【详解】（1）解：x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x1＝2，x2＝1； （2）①证明：∵a＝1，b＝k，c＝﹣2， ∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； ②解：当x＝﹣1时，（﹣1）2﹣k﹣2＝0， 解得：k＝﹣1， 则原方程为：x2﹣x﹣2＝0， 即（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， 所以另一个根为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a，b，c 是常数且 a≠0) 的根的判别式及根与系数的关系；根判别式 △=b2−4ac ：(1)当 △>0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)当 △=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)当 △<0 时，一元二次方程没有实数根；若 x1 ， x2 为一元二次方程的两根时， x1+x2= ， x1∙x2=． 21．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为米 (2)不能围成面积为平方米的花圃．理由见解析 【分析】（1）根据题目设 AD的长为x 米，则 AB=27-3x，得x（27-3x）=54，解一元二次方程，按照条件，解得AD的长； （2）根据题意得：x（27-3x）=90，通过判别式确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃． 【详解】（1）设的长为米，则，根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为米， ∴， ∴， ∴，即的长为米； （2）不能围成面积为平方米的花圃． 理由如下： 根据题意，得，整理，得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【点睛】本题考查用一元二次方程解实际问题，按照题意列出方程，是解题的关键． 22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． (1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； (2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 【答案】(1)二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25% (2)当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元 【分析】（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设每台降价y元，则四月份可售出台，即可得出关于y的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%． （2）设每台降价y元，则四月份可售出台， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件商品进价为70元，售价为120元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）商场日销售量______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）． （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 【答案】（1）；；（2）20元． 【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，则商场日销售量为件，每件商品盈利=原来的盈利－降低的钱数； （2）等量关系为：每件商品的盈利×可售出商品的件数=2100，即可求得． 【详解】（1）设每件商品降价元 则商场日销售量为件 每件商品盈利（元） （2）根据题意可得 或 ∵该商场为了尽快降低库存，则不合题意，舍去 ∴ 故每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出等量关系是解题的关键． 24．已知：如图，在中,，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒， 求 秒后， 的面积等于 求 秒后，的长度等于 运动过程中，四边形APQC的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）2或3秒后；（2）0或2秒后；（3）不能. 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解； （2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可； （3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到. 【详解】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6， ， 整理得：x2-5x+6=0， 解得：，， 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2； （2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中， ∵BP2+BQ2=PQ2， ∴（5-t）2+（2t）2=52， 5t2-10t=0， t（5t-10）=0， t1=0，t2=2， 答：当t=0或2时，PQ的长度等于5cm． （3）设经过x秒以后四边形APQC面积为， - ， 整理得：x2-5x+8=0， ∵△=25-40=-15＜0， ∴四边形APQC的面积不能等于． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章一元二次方程易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A．1、2、-3 B．1、2、-6 C．1、-2、6 D．1、2、6 2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（    ） A．2 B．3 C．3或2 D． 3．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 4．一元二次方程用配方法解该方程，配方后的方程为（    ） A． B． C． D． 5．如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（    ） A．1或2 B．0或－3 C．或 D．0或3 6．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289 7．若一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣24 B．24 C．﹣40 D．40 8．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A． B． C． D． 9．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（   ） A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102 10.已知实数是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或2 D．或2 二、填空题 11．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 ． 12．方程(a2－4)x2＋(a－2)x＋3＝0，当a 时，它是一元二次方程；当a 时，它是一元一次方程． 13.某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有 个班级． 14．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝ ． 15．已知，是方程的两个根，，是方程的两个根，则的值为 ． 16．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是 ． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件．商店想在让顾客实惠的同时还要使月销售利润达到240元，每件玩具应涨价多少元？ 19．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 20．（1）解方程：． （2）已知：关于x的方程 ①求证：方程有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根是，求另一个根及k值． 21．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． (1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； (2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件商品进价为70元，售价为120元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）商场日销售量______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）． （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 24．已知：如图，在中,，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒， 求 秒后， 的面积等于 求 秒后，的长度等于 运动过程中，四边形APQC的面积能否等于？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $