21.3 实际问题与一元二次方程（九大题型）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染后总患者为人；第二轮传染时，这些患者每人传染x人，故新增患者为人，两轮后总患者为人，故可得方程． 【详解】∵ 初始患者为1人， 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为． 故选：B． 2．流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 3．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 4．市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用该款运动相机今年11月份的销量该款运动相机今年9月份的销量（该款运动相机这两月销量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该款运动相机这两月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 因此，月平均增长率为， 故选：D． 5．为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据两次连续降价后的价格关系列方程求解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意，得， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故药品每次降价的百分率是， 故答案为：． 6．某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【答案】(1) (2)500件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用该商品三月份的销售量=该商品一月份的销售量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据（1）中的增长率，列算式求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：（件）， 答：四月份的销售量是500件． 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；利用小路的面积加上草地的面积等于矩形地面的总面积，列出方程求解即可，在计算小路面积时，要注意小路面积重合的部分. 【详解】解：设小路的宽度为x米， 小路的面积为： 由题意得： 或 解得：或（舍去） ∴小路的宽度为2m. 故选：B. 8．如图，在一块长12、宽8的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积90，设道路的宽为x，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确运用转化的思想． 由题意得：栽种花草的部分可合成为长为，宽为的矩形，据此即可求解． 【详解】解：∵道路的宽为x ∴栽种花草的部分可合成为长为，宽为的矩形 ∴ 解得：（舍去） 故答案为： 9．如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积S． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． 【答案】(1) (2)1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是找出题目中的数量关系； （1）根据花圃的面积长宽，列式即可． （2）根据通道面积与花圃的面积之比为，得出花圃的面积与整块长方形空地的面积之比为，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴花圃的面积S为． （2）解：∵通道面积与花圃的面积之比为， ∴花圃的面积与整块长方形空地的面积之比为， ∴， 解得：，， 当时，舍， ∴， 答：通道面积与花圃的面积之比为，通道的宽为1米． 题型四 数字问题（一元二次方程的应用） 10．两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据积为120列方程． 【详解】解：较小的偶数为，较大的偶数为，根据题意，得 ． 故选：B． 11．如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 12．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 13．年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点是一元二次方程的应用，具体来说是利用“利润(售价成本)销量”这一关系来建立方程，其中涉及到根据售价销量的变化，进而表示出销量的表达式，再结合成本和利润的要求列出方程． 【详解】解：设此时售价为元， 根据题意，成本为元/件，原售价元时月销量件，售价每提高元月销量减少件， 售价从元提高到元，提高了元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润(售价成本)销量， ∴可列方程：， 整理得：． 故选：A． 14．某公司推出了一款产品，成本为50元，以的盈利率定价，该公司希望通过调整售价的方式提高收入．据专业人士分析，以当前售价可以售出200件商品，若售价每件每涨5元，就少售出10件．若该公司想卖出后收入12600元，且让顾客享受到最大优惠，求调价后的盈利率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设涨价x次，成本为50元，初始盈利率，则定价为元，则售价为元，销售量为件，然后根据收入建立方程求解，再求解盈利率． 【详解】解：设涨价x次，由题意得， 整理得， 解得或．为让顾客享受最大优惠，取最小涨价， ∴售价为元， ∴盈利率为． 故答案为：． 15．阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，体大膘肥，肉质膏腻，农历9月的雌蟹、10月的雄蟹，煮熟凝结，雌者成金黄色，雄者如白玉状，滋味鲜美.某经销部门以每千克40元从养殖户处进货一批阳澄湖大闸蟹；据市场分析，若按每千克50元销售，一天能售出400千克，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10千克；物价部门规定：销售单价不能超过68元.要使日销售利润为6000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】60元 【分析】本题考查一元二次方程的应用；设销售单价应定为每千克x元，日销售利润日销售量每千克利润，根据“按每千克50元销售，一天能售出400千克，单价每上涨1元，日销售量就减少10千克”先表示出日销售量，然后根据日销售利润为6000元列方程求解，舍去不合题意的解即可得到答案. 【详解】解：设销售单价应定为每千克元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵销售单价不能超过68元， ∴， 答：销售单价应定为每千克60元． 题型六 动态几何问题问题（一元二次方程的应用） 16．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设t秒后，的面积为，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出t的值． 【详解】解：设t秒后，的面积为， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 故选：C． 17．如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 18．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【分析】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 题型七 行程问题（一元二次方程的应用） 19．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 20．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要 s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 21．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 题型八 其他问题（一元二次方程的应用） 22．把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 【详解】解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 23．徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 【答案】24 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有24名学生． 故答案为：24． 24．优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： (1)填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； (2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】(1)； ； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：； ∴，； （2）解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 题型九 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 25．某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键； 因为双循环比赛每两队之间比赛两场，所以总场次公式为 ，据此可列方程求解． 【详解】解：∵双循环比赛总场次为， ∴ ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ ，（舍去）， ∴， 故选：B． 26．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 27．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 【答案】(1)小诚的说法有道理，见解析 (2)原来有9人参加比赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）设原来有人参加比赛，设有一人比赛了场后退出比赛，可得方程，整理并求解即可． 【详解】（1）解：小诚的说法有道理．理由如下： 设有人报名参赛，由题意，得， 整理得． 解得． 与都不是整数， 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理． （2）解：设原来有人参加比赛， 由题意，得， 整理得． 解得（不符合题意，舍去）． 原来有9人参加比赛． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3 实际问题与一元二次方程 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 3．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 4．市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 5．为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 ． 6．某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 8．如图，在一块长12、宽8的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积90，设道路的宽为x，则 ． 9．如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积S． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． 题型四 数字问题（一元二次方程的应用） 10．两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 11．如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为 ． 12．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 13．年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 14．某公司推出了一款产品，成本为50元，以的盈利率定价，该公司希望通过调整售价的方式提高收入．据专业人士分析，以当前售价可以售出200件商品，若售价每件每涨5元，就少售出10件．若该公司想卖出后收入12600元，且让顾客享受到最大优惠，求调价后的盈利率为 ． 15．阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，体大膘肥，肉质膏腻，农历9月的雌蟹、10月的雄蟹，煮熟凝结，雌者成金黄色，雄者如白玉状，滋味鲜美.某经销部门以每千克40元从养殖户处进货一批阳澄湖大闸蟹；据市场分析，若按每千克50元销售，一天能售出400千克，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10千克；物价部门规定：销售单价不能超过68元.要使日销售利润为6000元，销售单价应定为多少元？ 题型六 动态几何问题问题（一元二次方程的应用） 16．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 17．如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 18．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 题型七 行程问题（一元二次方程的应用） 19．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（  ） A． B． C． D． 20．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要 s能到达终点． 21．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 题型八 其他问题（一元二次方程的应用） 22．把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 23．徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 24．优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： (1)填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； (2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 题型九 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 25．某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛两场，计划组织支球队参加，安排12场比赛，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为 ． 27．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 1 学科网（北京）股份有限公司 $